3.1.1 第1课时 函数的概念(一)(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

049 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 新课程标准解读 学科核心素养 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关 系刻画函数，建立完整的函数概念 数学抽象 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 数学抽象、数学建模 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算 3.1.1 函数的概念 第1课时 函数的概念（一） 教材梳理明要点 ●情境导入 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时 [提示] 刻的指标值，据此可以描绘出心电图.医生会根据 集合M中的任意一个 心电图图形的整体形态来给出心脏健康状况的诊 元素t,在集合N中 断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）. 都有唯一的元素V与 如果测量时的每一个时间t构成的集合记为 之对应 [知识点反思] M,测量的每一个指标值，构成的集合记为N,那么集合M中的元素t与集 ,函数的定义中有 合N中的元素有什么关系呢？ P[提示] “三性”：任意性、 存在性、唯一性，即 e新知初探 对于非空数集A中的 知识点函数的概念 任意一个（任意性）数 般地，设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 x,在非空数集B中都 有（存在性）唯一（唯一 函数概念 按照某种 的对应关系f,在集合B中都有 的数y 性)的数y与之对应， 和它对应，那么就称∫：A→B为从集合A到集合B的一个函数 这三性只要有一个不 符号表示 y=f八x）,teA 满足使不能构成玉数 2.y=fx)仅是函数的 定义域 x叫做自变量，x的 叫做函数的定义域 一个符号。不表示“当 等于于与x的乘 值域 与x的值相对应的y值叫做 ,函数值的集合 叫做 积”，除(x)外，还 函数的值域 常用g(x),F(x),Gx) 等来表示函数 [知识点反思] 050 预习自测 1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是 x x<2 2≤x≤3 x>3 -1 0 1 A.{yl-1≤y≤1 B.R C.|yl2≤y≤3 D.1-10,1 2.函数f八x)= 的定义域是 4-x 题型探究 提技能 题型一 函数概念的理解 例1.()下列对应关系式中是从集合A到集合B的函数的是 A.AeR.B∈R,x2+y2=1 B.A=1,2,3,4},B={0,1{,对应关系如图： C.A=R,B=Rf:x→y= [方法总结I] x-2 判断一个对应关系是 D.A=Z,B=Zf:xy=2x-1 否是函数的方法 (2)设M={xl-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数y=f(x)的定义域 依据函数定义中的任 为M,值域为N,对于下列四个图形，不可作为函数y=(x)的图 意性、存在性、唯一 象的是 性逐一验证判断，这 三性只要有一个不满 足使不能构成函数 D [方法总结2] ●[方法总结1] 票函数的定文域的 )跟踪训练1 方法： 如果仅有函数解析式 (多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是 而没有特别说明，则 A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 函数定义城就是使解 B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值》 析式有意义的自变量 C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考 的集合，可依据0分 试号 式的分母不为0： D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税 ②偶次根式的被开方 题型二求函数的定义域 数非奥：④y=x°要 求x≠0等限制条件列 例2求下列函数的定义域： 出不等式姐解得：如 (1)r=（x+2)0 [方法总结2] 果是实际问题，还需 2(2)=v4- x-1 要考虑自变量的实际 含义的限制」 ●051 】跟踪训练2 函数y= 1 的定义域是 √x+1 A.{xlx≥-1 B.{xl-1≤x≤0 C.xlx>-1 D.{x-1<x<0 题型三求函数值 例3已知=+eR.且≠-De)=+2eR. [方法总结3] 求函数值的方法 (1)求f(2),g(2)的值； fa)表示当x=a时， (2)求f[g(3)]的值 ●[方法总结3] 函数于x)的值，是一 个常量，己知f(x)的 解析式时，只需用Q 皆换解析式中的x即 得fa)的值：求扎ga】 跟踪训练3 的值应遵循由里往外 的原则. 已知f)=2x8()=-2+2 特别要注意替换x的 (1)求f(3),g(3)的值 数Q心须是函数定义 (2)求f[g(2)]的值. 城内的值，否则求值 无意义 随堂检测重反馈 1.设M={x10≤x≤2，N={y0≤y≤2！，给出下列四个图形： 2 012元 012x 012x 012元 ① ④ 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.对于函数f:A→B,若a∈A,b∈A,则下列说法错误的是 A.f(a)∈B B.f(a)有且只有一个 C.若f(a)=f(b),则a=b D.若a=b,则f(a)=f(b)》 3若f(x)=1-则(3)= f[f(-2)]= 4.下列对应关系是从集合P到集合Q上的函数的是 ①P=Z,Q=N”,对应关系：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应； ②P={-1,1,-2,2,Q={1,4},对应关系f:x→y=x,x∈P,y∈Q: ③P={三角形，Q={xx>0,对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16]当-。<1时，即a<-1时，不等式的解集为-<x< 第三章函数的概念与性质 ->1时，即-1<a<0,不等式的解集 3.1函数的概念及其表示 为印<<-} 3.1.1函数的概念 当-上=1时，即a=-1时，不等式的解集为空集 第1课时函数的概念（一） 故当a<-1时，不等式的解集为{x <<} 教材梳理明要点 当-1<a<0时，不等式的解集为印<<- 新知初探 a了 知识点 当a=-1时，不等式的解集为空集 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立： 函数值{f代x)x∈A ②若m≠0.则不等式x-mx-1<0恒成立白 预习自测 「m<0. 1.D函数值只有-1.0.1三个数值，故值域为-1,0.1， 解得-4<m<0. L△=m2+4m<0. 2.1xlx<4 由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 综上可知，实数m的取值范围是{m-4<m≤0：. lxlx<4. (2)令y=mx2-mr-1, 题型探究提技能 ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立： 例1：(1)B(2)C ②当m>0时，若对于x∈{x1≤x≤3引不等式恒成立， 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-，显 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 然对任意xEA,y值不唯一，故不符合：对于B项，符合函数的 所以-1<0， g310鲜得m<6,所以m< 定义：对于C项，2eA,但在集合B中找不到与之相对应的 数，故不符合：对于D项，-1eA,但在集合B中找不到与之 ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2 相对应的数，故不符合， (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 若x∈x1≤x≤3时不等式恒成立， 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 函数 mER, 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 所以m<0,符合画意 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 综上所述，实数m的取值范倒是{m<石} 与其对应，故C选项错误.故选ABD 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 (3)令u=mx2-mx-1=(x2-x)m-1, 若对满足1m≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 2002部得<0，且-2 当m=-2时<0且当m=2时.4<0 即-2(r-x)-1<0 故原函数的定义域为xx<-2或-2<x<0, 解得-，5x<+ (2）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 12(x2-x)-1<0. 2 2 4-≥0即≤4 所以实数x的取值范围是{： x-10.x≠1， 2 故原函数的定义域为|xx<1或1<x≤4！ 例：(1)设每件的售价为1元，依题意得(8-一气泸x02小≥ 限紧训练2：C要使函数y三十有意义，应满足+1>0 25×8. 整理得2-651+1000≤0，解得25≤1≤40 .x>-1,.函数y= 」二的定义域为xx>-1小 V+I 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元. 第：到x2=2写 (2)依题意得，当x>25时，不等式1x≥25×8+50+ 又g(x)=2+2.,g(2)=22+2=6. 6 (23)=产+2=1，g3]=f)=+7 600)+号有解。 跟踪训练3：(1f(3)=2-3=-1,g(3)=-3+2=-7 等价于当x>25时.a 0+言+有解 150x 因为0+2 50.=10 (21g2)]=2-22-(-2+2令 Vx 6 随堂检测重反馈 当组仅当0言即=30时等号成立，此时0言+号 1.B图①不满足定义域M={x10≤x≤2：图3不满足集合V 6 =y0≤y≤2引：图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 =10.2,所以a≥10.2. 不同的y值：②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 故当该商品改革后的销售量？至少达到10.2万件时，才可能 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. 使改革后的销售收人不低于原收入与总投入之和，此时该高品2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应司一个 每件售价为30元 函数值.故选C -332 +3=0.即(2a+3)(a+1)=0a=-号或a=-1,故 1--2=-3*f/(-2)1=f(-含） 选C. 13.ADA中，可构成函数关系：B中，对于集合A中元素1，在 1 集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系：C中，A 1( 中元素0的倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应， 因此不是函数关系：D中，可构成函数关系 4.②对①，0eP,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P4.(1)3579(2)4a+1(3)2x+1 上的函数.对②，Vx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 15.x-3 x-4 ≥3，且4g(x)=x-3)= x-3-1 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系，故填②， R-3 练案[16] 子：解不等式细03，且4 1.ACD结合函数的定义可知.A、C,D均可能，只有B是有的 16.(1)由“eR,对应关系∫使方程的解与业对应n=一了， 一个x对应两个y,不满足函数的定义，故选ACD, 每一个∈R,都有唯一的≤0与之对应.故？=f()是 2.B由f(1)=-2得a+b=-2,由f(-1)=0得-a+b=0, 函数 .a=-1,b=-1,故选B (2)因为∈B={xx≤01，由r2+2m=0可得2=-2≥0， 3,D根据函数的概念可知对于定义域中的任意一个自变量x 此时存在，使得2个不同的u与之对应，故“=g()不是 都有唯一的函数值与之对应，当是定义域内的值时，有一个 函数 交点，当a不是定义域内的值时，直线x■a与函数图象没有 交点，故选D 第2课时函数的概念（二）】 4,A由对应关系y=-x2+2x得：当x=-1时，y=-(-1)2 +2×(-1）=-3;当x=0时，y=0:当x=1时，y=-12+2 教材梳理 明要点 ×1=1:当x=2时，y=-22+2×2=0:当x=3时，y=-32+ 新知初探 知识点一 2×3=-3.所以值城为-3.0,11： rx-3≠0. 1.[a,b](a,b)[a,b)(a.b] rx43, 2.(-g.+g)[a.+3）(a,+g）(-0.a](-g,a) 5.C由题意可知 x-20, x≥2，x>2,且x*3,故 知识点二 lx-2≠0. x≠2， 定义域对应关系 选C 6x0<x<1或1<x≤2}观察函数的图象，图象上所有点的 知识点三 :a>0a<0 横坐标构成的集合为x10<x<1或1<x≤2，即为定义域 预习自测 7.12f(a)=√a-3=3,解得a=12. 1.A 8.1-1.1,3,5.7x=1,2,3,4,5,且f(x）=2x-3,f(x) 2.B由y=-x2+1,xe[-1,2),可知当x=2时，y=-4+1= 的值域为-1,1,3,5,7引. -3;当x=0时，ym=1,因为x≠2，所以函数的值域为(-3， 9.:△4BC的底边长显然大于0，即y=10-2x>0, 11. x<5,又两边之和大于第三边， 题型探究提技能 24>10-2 例1：(1)③5(2)见解析 【解析】(1)①f(x)与g(x)的定义战不同，不是同一函数： 此函数的定义域为子<<5} ②(x)与(x)的对应关系不同，不是同一函致：③虽然表示自变 10.(1)使根式，：+5有意义的实数x的集合是{x1x≥-51， 量的字母不同，但f(x)与g()的定义提相同，对应关系相同，故 是同一个西数：④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一函数： 使分式有意义的实数x的集合是≠21。 5f()与g(x)的定义城，对应关系皆相同，故是同一函数. 所以这个函数的定义域是xx≥-5∩|x|x≠2={xx≥-5 (2)不相网.对于扇数y=V-可·中，由-1≥0解得 且x≠2. 1x+1≥0， 2-4)=/45+-+21-右= x≥1，故定义城为xlx≥1，对于函数y=√(x+1)(x-1) 6 6 由(x+1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义战为xx≥ ()-√层5+2 173 【或x≤-1，显然两个函数定义城不同，故不是同一函数 跟踪训练1：D对于A,g(x)=√星=xl,与f(x)的对应关系 不同：对于B,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为xlx≠1： -3 对于CJ(x)的定义城为{xx≠-3}，g(x)的定义城为R:对 3 4 11.ABC根据题意，依次分析选项：对于A,y=1,是常数函数 于D)==1(x>0)g()==1(x>0),对应关系 是函数：对于B,y=x2,是二次函数，是函数；对于C,y=1- 与定义域都相同，故(x)与g(x)表示同一函数 x,是一次函数，是函数：对于D,y=x-2+1-x,有 任-20不等式组无解，x的取值范围为空集，不是函数 3:0(-1,3）(2(-15)(3)0,6 11-x≥0， 【分析】(1)∫(x)的定义域为(-1,2)，即x的取值范图为 12.Cf1)-12+a-1+2-a+2,ff(1)]=f(a+2)= (-1,2).(2x+1)中x的取值范围（定义域）可由2x+1e (a+2)2+(a-1)(a+2)+2=2a2+5a+4=1,.2a2+5a (-1,2)求得 333