2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

044 随堂检测重反馈 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是 ( A.x2+2x<-1 B.x2+x+1<0 C.2+3+1<0 D.x2+1<0 2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xl1<x<2{,则a+b的值为 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.关于x的不等式ax-b>0的解集是{xlx>1|,则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 () A.{xl-1<x<3 B.xl1<x<3 C.{xlx<1或x>3 D.{xlx<-1或x>3} 4.不等式-x2-3x+4>0的解集为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究提技能 题型一解简单的分式不等式 [方法总结1] 分式不等式的解法 例1解下列不等式： 1,利用·两数相除同 D<0:(2≥0：3)+>1 。[方法总结1门 号得正异号得负”和 “两数相乘同号得正 异号得负”把比较简 单的分式不等式，直 接转化为一元二次不 等式或一元二次不等 式组求解，但要注意 等价变形，保证分母 不为零 跟踪训练1 2,对于不等号右边不 解下列不等式： 为零的较复杂的分式 不等式，先项再通 ①≥0：(2 t*1s3 分（不要去分母），使 之转化为不等号右边 为零的形式，然后再 用上迷方法求解， ●045 题型二一元二次方程根的分布 例2已知方程8-(m-1)x+m-7=0有两实根，如果两实根都大于1， [方法总结2] 方祖ax2+bx+c=0(a 求实数m的取值范围 [方法总结2] 0)的根的分布问题 得解法 ,把问题转化为两根 积与两根和的表达 式，利用b达定理得 到系数的关系式，再 进一步求解： 2.结合函数图象，利 用根的判别式和特殊 自变量函数值的正负 构造不等式组来解决 】跟踪训练2 要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1 小，则实数a的取值范围是 题型三一元二次不等式恒成立问题 例3，关于x的不等式（心-1）r-(a-1)x-1<0的解集为R,求实数a的 取值范围。 讨论二次项系数a2-1是否为0 跟踪训练3 当x>0时，不等式x2+mx+9>0恒成立，求实数m的取值范围， 046 题型四一元二次不等式的实际应用 例4国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户 向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即 8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率 降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税 [方法总结3] 求解一元二次不等式 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 应用问题的步张 [方法总结3] 风法埋解、认真 市题。把提问趣 中的关键量。找 难不等关 持文宇语言转化 为符号语言，用 建不等式表示不等 关手。建立相应 的数学模型 )跟踪训练4 解不等式，得到 叔学结论.要注 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于 意数宇模型中元 惯性往前滑行的距离)sm和汽车刹车前的车速xkm/h有如下关系：s=-2x 素的买脉受义 +皮2.在一次交通事故中，测得这种车的利车距离不小于2.5m,那么这辆 四？实际河趣， 汽车刹车前的车速至少为多少？ 持数字结论还原 为买际问趣的结 随堂检测 重反馈 1,不等式址≥0的解集是 11 Ax-3≤x≤4 B✉-≤< Cx>4或x≤- D.≥4或x≤- 2若不等式㎡2+5x+1≤0的解集为-≤x≤-引，则不等式号<0的解集为 3.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立，则实数k的取值范围是 4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元， 销售就可能减少2000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为 元 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[15]练案[14] 12.B 当a<1时,B=xla<x<1l,显然不满足AOB= 2 3 ;当a =1时,B=,不满足AB=2.3l;当a 1时,B$$ 1.D 不等式变形为2x+x-6>0.又方程2x+x-6=0的两$$$ =xll<x<al,因为AOB=2.3l,所以3<a4. 根为x= 因为不等式ax{}+t&x-1>0的解集为x13<x<4 . #[&2或x1.故选D. 所以x=3,x=4是方程ax+bx-1=0的两个实根,则3 4$ --_-12,解得a=- 1 2. D 不等式x}-ax-6a<0可化为(x-3a)(x+2a)<0.·a 12 <0..不等式的解集为xl3a<x<-2a,故选D. 14. mlm<1l合A=xl-2x-3<0 =xl-1x 3 3.C 由已知得a(x+2)(x-3)>0.a<0.(x+2)(x-3) 因为B=xlx<4-m或x2m+4 ,所以fB=x14-m$$ <0.-2<x<3..所求不等式的解集为xl-2<x<3. xS2m+4ì.因为AO(B)=.①当4-m 2m+4.即m 4.A 由不等式x{}+a41<0的解集为空集,得对应的二次函 <0时.B=.符合题意;②当4-m2m+4.即m>0$ 数y=x}+&+1的图象与x轴有一个交点或全部在x轴上 时,则4-m>3.所以0<m<1.综上,实数m的取值范围是 方,则A=k-4x1x1<0.解得-2<$ $ mlm<1. 5.B 不等式ax-(a+1)x+1<0可化为(ax-1)(x-1)<0. 15.ABC 由关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a0)的 解集是xlx.<x<xl(xx),所以a<0,且x,是一元 二次方程.ax}-2ax+1-3a=0的两根;所以x.+x=2,选$$ 0.方程(ax-1)(x-1)=0的两根为x.=1,x= <1.则a的取值范围为a>1,故选B 6. xl-3<x<4由-+x+12>0,得x*-x-12<0,解得$ -3<x<4,所以x的取值范围为xl-3<x<4. >4,选项C正确;由x。-x.>4.可得-1<x.<x<3是错误 7.1 将原不等式化为-+(m-2)x<0.即x(x+2m-4)<0. 的,即选项D错误. 16.(1)当a=0时,原不等式可化为:x-2<0.即x<2. 故0.2是对应方程x(xt2m-4)=0的两个根,代入得m=1 (2)当a<o时,2<o<2,所以2x<2. 8. xlx<-2,或x>3根据表格可以画出 二次函数y=ax2}+bx+c(xeR)图象的草 (3)当a=1时,原不等式化为(x-2)>0.x*2 图,如右图. (4)当0<a<1时,2<2,所以x2或x2. 由图象得关于x的不等式ax+bx+c>0 的解集是xx<-2,或x>3. 9.(1)方程x*-5x+6=0有两个不等实数根 x.=2,x.=3,又因为函数y=x-5x+6的 0时 综上可知,不等式的解集为:a=0时,x<21; 图象是开口向上的抛物线,且抛物线与x 轴有两个交点,分别为(2.0)和(3.0),其图象如图(1).根据 a<1时.2或 a=1时,xlx2: 图象可得不等式的解集为xlx>3,或x<2. (2)原不等式可化为x*-6x+10<0,对于方程x2-6x+10= 0.因为A=(-6)-40<0.所以方程无解,又因为函数y=x 时. 或#2 -6x+10的图象是开口向上的抛物线,且与:轴没有交点. 其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为② 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究 提技能 故匠不等式的解集为{一 -1 (2 (1 (2)原不等式可化为二0. 10.(1)当a=0时,不等式为-x>0,所以x<0. (-1(3:+5)s0.{ 13x+50. -1. ①当a>0时,士>o.所以x>-或xco; 故队不等式的解集为{用 ②当a<0时,士<0.所以士<xc0. 综上,当a→0时,不等式的解集为{×{×或xco: 1-1-(22)>0.即→0.则x-2. 当a=0时,不等式的解集为]xlx<0; x+2 故原不等式的解集为xlx<-2. 11.B 根据给出的定义得,x(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2) =0可转化成不等式 =+x-2=(x+2)(x-1).又x(x-2)<0,则(x+2)(x 1(1(-3)0. -1)<0.故不等式的解集是xl-2<x<1.故选B -329- 解得x-1或x>3 例4:设税率调低后“税收总收人”为y元 即原不等式的解集为xx-1或x>3. (2)不等式5+13可改写为5×+1-3<0,即(x-1<0. y=2400r(1+2c%)·(8-x)%=- x+1 =8). 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<l. 依题意,得y2400mx8%x78%. 所以原不等式的解集为xl-1<x<1. 例2:方法一:设方程两根分别为&,x,则x.+x.-m-1. -n_. 整理,得x+42x-88-0.解得-44x2 根据x的实际意义,知x的范围为0<x<2 &.x的范围是xl0<x2. 因为两根均大于1,所以x-1>0,x-1>0. =(m-1)-32(m-7)=0. 故有 (x-1)+(x-1)>0. 化简得-36x-405=0,解得x>45或x-9.$ 1(x-1)(x.-1)>0. 又x0.:45. (m-1)-32(m-7)=0 1.这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h. 1m-1-2>0. 随堂检测 重反馈 即 8 m-7m-110. 1-4x0. 4,故其解集为{-1.故选B. m=25或ms9. 解得m>17. 所以m>25.故实数m的取值范围是mlm “2. |xl2<x<3ì由不等式ax+5x+1<0的解集为 ImeB. >25. 1-<-.可知方程a+5x+1-0有两根×= 方法二:令y=8x-(n-1)x 1#用# +m-7.则方程两实根大于 1.等价于二次函数与:轴公 价于3(x-2)(x-3)<0.不等式3(x-2)(x-3)<0的解集 共点都在x=1右侧,如右 图,则 A=(m-1)-32(m-7)=0. =(-1)1. 3. $ -3<kll (1)当k-1=0.即k=1时,-1<0成立$ 符合题意(2)当k-1×0时,由题意可知 2x8 18-(m-1)+n-7>0. (k-1<0. =(k-1)*+4(k-1)c0. 解得-3<k<1.综上可知-3< 解得m2.实数n的取值范围是nn25. 跟踪训练2:al-2<a<1方法一:设两根为x1,x、<1. =1. 则x-1>0x.-1<0. 4.4 设定价为x元,销售总收入为y元,则由题意得y= (80000--2.5×2 00x. 理得y=-20003+ 4=(-1)}-4(a-2)0. 1△0. 0.1 130000x,因为要使提价后的销售总收入不低于20万元,所以 即[2+(g-1)+1c0. 解得-2<a<1. ((-1)-4(a-2)0. y=-20000r②+130 00t 200 000,解得5<x54.所以要使 方法二:由题意得1+(a-1)+a-2<0,即a}+a-2<0. 提价后的销售总收人不低于20万元,则定价的最大值为4元 解得-2<ac1. 例3:当a-1=0时,a=+1. 练案[15] 若a=1,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立; 若=-1,则原不等式可化为2x-1<0不是恒成立,所以a 2.B 易求A-xl-1<x<ll,集合B=|xlx(x-2)<0且x* 1.A 由A-a”-4x4<0可得-4<a54 =-1舍去: 当a-10时,因为(a-1)-(a-1)x-1<0的解集 0 = xl0<x2l.所以AOB= xl0<x1. 为B. -2-x :-2 所以只需^-1c0. )解得-a(1; 14=(a-1)*+4(-1)<0 -<x<2.则原不等式的解 综上,实数a的取值范围为。 -#. 为#2. 跟踪训练3:因为x>0.所以不等式x2+mx+9>0可化为-m<4.D令y=x+(m-1)x+m-2.当x=1时函数值为y,当* =-1时,数值为y,则[)m^{+m~2c0. “解得0<m<1. by.=n-m<0. 故选D. 9即:-3时等号成立, 5.D 当a-2=0.即a=2时,原不等式变为-4<0.恒成立;当 当且仅当x: a-2*0时. [a-2<0. 14(a-2)}+16(a-2)<0. 解得-2<a2.: .-m<6,解得n>-6,所以实数m的取值范围是mlm) -6. -2<a2.故选D. -330-