2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

041 随堂检测重反馈 1.若x>5,则x+5的最小值为 A.6 B.8 C.9 D.3 2.设x>0,y>0,x+y=4,则+4的最小值为 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则y的最大值为 4.建造一个容积为8m,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2, 80元/m2,那么水池的最低总造价为 元 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13] 己.3二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 学科核心素养 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式 数学抽象 的现实意义 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不 数学抽象、数学运算 等式的解集， 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 直观想象、逻辑推理 联系。 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决 数学建模、数学运算 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 ●情境导入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长 度是24m,围成的矩形区域的面积要大于20m2,问这个矩形的边长要满 [提示] 设这个矩形的一条边 足什么条件？ ●[提示] 长为xm,则另一条 e新知初探 边长为(12-x)m.由趣 知识点一一元二次不等式的概念 意，得(12-x)x2 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式不等 20,其中x∈{x10< 式，称为一元二次不等式.其一般形式是：ax2+bx+c>0或ax2+x+c<0, x<12」.整理得x2 其中a,b,c均为常数，a≠0 12x+20<0,x∈{x 知识点二二次函数的零点 I0<x<12}. 一般地，对于二次函数y=a.x2+bx+c(a≠0)，我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的 042 知识点三二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △=b2-4ac 4>0 4=0 4<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 =2 [知识点反思] 1.二次函数y=ax2+ 有两个相等的实数 bxtc的零点：是y= ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数 根x1,x2(x1<x2) 根x1==一2 无实数根 0时方程ax2+bx+c (a>0)的根 =0的根；是函数图 象与x抽的交点的横 ax2+bx+cx0 1xlx>2或x<x1} R 坐标： (a>0)的解集 2.一元二次不等式的 解集的喘点就是对应 ax'+bx+c<0 |xx1<x<2 0 ☑ 的二次函数的零点， (a>0)的解集 是其对应的一元二次 方程的根。 ●[知识点反思] 目预习自测 1.函数y=x2-2x-3的零点为 2.不等式x2-2x-3>0的解集为 题型探究提技能 题型一不含参数的一元二次不等式 [方法总结1] 解不含参数的一元二次 例1解下列不等式： (1)2x2+5x-3<0:(2)-3x2+6x≤2： 不等式的一般步殊 ,化标准：迪过对不等式 (3)4x2-4x+1>0:(4)-x2+6x-10>0. 的变形，使不等式右侧 P[方法总结1] 为0，使二次项系数 为正： 2判别式：对不等式左侧 分解因式，若不易分 解，则计算对应方程的 判别式： )】跟踪训练1 3,求实根：求出相应的一 解不等式-2x2+x+3<0. 元二次方程的实根或根 据判别式说明方程有无 实根： 4,画草田：根据一元二次 方程根的情况画出对应 的二次函数的草图， 5.写解集：根据图象写出 不等式的解集 ●043 题型二含参数的一元二次不等式 例2解关于x的不等式a-(a+1)x+1<0(a<1). [方法总结2] ●[方法总结2] 在解合参数的一元二 次不等式时常从以下 三个方面进行考忠 .不等式类型的讨 论：二次项系数Q> 0,a<0,a=0: 2.不等式对应的方程 根的讨论：两不同实 跟踪训练2 根（△20），两相同实 解关于x的不等式x2-(a+2)x+2a<0(a∈R) 根（△=0），无根（△< 0)1 3.不等式对应的方程 根的大小的讨论：x 》为，为=， <x2: 题型三三个“二次”的关系 例3已知一元二次不等式+：+9<0的解集为-<x< ,求P,9 的值并求不等式gx2+px+1>0的解集 [方法总结3] 一号与写是方相广+m+9=0的两个实教根 三个·二次”中的 关系 [方法总结3] 一元二次不等式的解 集的端点就是对应的 二次函数的零点，是 其对应的一元二次方 程的根，可由一元二次 方程根与系数的关系 列方程组求参数 )跟踪训练3 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{xlx≤-3或x≥4，求不等式br2+2ax -c-3b≥0的解集， 044 随堂检测重反馈 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是 ( A.x2+2x<-1 B.x2+x+1<0 C.2+3+1<0 D.x2+1<0 2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xl1<x<2{,则a+b的值为 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.关于x的不等式ax-b>0的解集是{xlx>1|,则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是 () A.{xl-1<x<3 B.xl1<x<3 C.{xlx<1或x>3 D.{xlx<-1或x>3} 4.不等式-x2-3x+4>0的解集为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究提技能 题型一解简单的分式不等式 [方法总结1] 分式不等式的解法 例1解下列不等式： 1,利用·两数相除同 D<0:(2≥0：3)+>1 。[方法总结1门 号得正异号得负”和 “两数相乘同号得正 异号得负”把比较简 单的分式不等式，直 接转化为一元二次不 等式或一元二次不等 式组求解，但要注意 等价变形，保证分母 不为零 跟踪训练1 2,对于不等号右边不 解下列不等式： 为零的较复杂的分式 不等式，先项再通 ①≥0：(2 t*1s3 分（不要去分母），使 之转化为不等号右边 为零的形式，然后再 用上迷方法求解，2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 例2:①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1 ②当a<0时,原不等式化为(x-)(x-1)>0.解得x< 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 #:1. 教材梳理 明要点 新知初探 ③若0<a<1,原不等式化为(x-)(tx-1)<0.解得1<x 知识点一 一个2 知识点二 综上可知,当a<0时,原不等式的解集 实数:零点 预习自测 #为{。或x>1}: $. -1或3由y=0得x$-2x-3=0,即x=-1或x=3.即函 当0<a<1时,原不等式的解集为[1<x<. 当a=0时,原不等式的解集为xlx>1; 数的零点为-1和3. 2.xl<-1或x>3 方程-2x-3= 0的两根是x.=-1,x。=3.函数y=x2- 跟踪训练2:原不等式可化为(x-a)(x-2)<0; 2x-3的图象是开口向上的抛物线,与x 方程2-(a+2)x+2a=0的两根为x.=2.x.=a 轴有两个交点(-1.0)和(3.0).如图 又函数y=x-(a+2)x+2a的图象开口向上. 所示. 则当a=2时,原不等式的解集为; 观察图象可得不等式的解集为xx<-1 当a>2时,不等式的解集为xl2<x<al. 或x>3。 当a<2时,不等式的解集为xla<x<2. 题型探究 提技能 过:因为&$+a<0的解集为{+-<x. 所以x=-与=是方程+{+g=0的两个实数根, 作出函数y=2x2+5x-3的图象,如图① 由图可得原不等式的解集为{x-3<1<) 由根与系数的关系得 ($2)原不等式等价于3x-6x+2=0.A=36-4x3x =$ , 解得 >0. 整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 作出函数y=3x-6x+2的图象,如图②. 由图可得原不等式的解集为 13或3. 即不等式qr}+x+1>0的解集为xl-2<x<3. 跟踪训练3:因为不等式ax}+bx+c0的解集为xlx-3或 :4, 所以a<0.且-3,4是方程ax}+bx+c=0的两根. {-34:- 由根与系数的关系可得。 1.--12a. 所以不等式br}+2ax-c-36→0可化为-ax+2ax+15a =0. ② ① 即-2x-15=0,解得x-3或x>5. 故所求不等式的解集为xlx-3或x>5. 随堂检测 重反馈 作出函数y=4x?-4x+1的图象如图③ 1. AD 由于++1<0.3+1<0不符合一元二次不 由图可得原不等式的解集为 {×1 等式的定义,只有x+2x<-1,x+1<0是一元二次不等 (4)原不等式可化为x?-6x+10<0. 式,故选AD. .A=36-40=-4< 0:方程-6x+10=0无实根$$$ 2.A 因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xll<x<2).所 函数y=-6x+10的图象在x轴上方,与x轴无交点 .原不等式的解集为②. 跟踪训练1:不等式-2x+x+3<0可化为2-x-30 因为A=(-1)-4x2x(-3)=25>0. 3.D因为不等式ax-b>0的解集是 xlx>1l,所以a>0.互 又二次函数y=2x-x-3的图象开口向上, =1.所以(ax+b)(x-3)>0等价于a(x+1)(x-3)>0,其 所以不等式-2x+x+3<0的解集是 解集应为xlx>3或x<-11,故选D #{一1x. 4. x1-4<x<1 --3x+4>0→(x+4)(x-1)<0--4 <r<1. -328-