2.2 第2课时 基本不等式的应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

□39 第2课时 基本不等式的应用 题型探究 提技能 题型一 基本不等式的变形应用 角度1 构造法求最值 [方法总结1] 例 x*+7x+10 1.y= (x>-1)取最小值时的x值为 x+1 构造法求最值就是将 己知数学表达式变形, [方法总结1] 构造出和或积为定值 的形式。 跟踪训练1 角度2 巧用“1”的代换求最值 [方法总结2] 常数代换法解题的关 键是通过代数式的变 形,构造和式或积式 [方法总结2] 为定值的式子,然后 跟踪训练2 利用基本不等式求解 若x>0.v>0.xv=9x+v.求x+v的最小值 最值,应用此种方法求 解最值时,应把 “1”的表达式与所 求最值的表达式相秦 求积或相除求商。 [方法总结3] 恒成立问题常采用分 题型二 利用基本不等式求参数范围 离参数的方法求解。 例 若a恒成立,则a <H.n:若a>恒成 [方法总结3] 立,则aH.,将问 题转化为求H的最值 问题,可能会用到基 本不等式. n0 跟踪训练3 x <a恒成立,求a的取值范围 题型三 基本不等式的实际应用 面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成 己知a+b为定值,可用基本不答式求ab的最大值 [方法总结4] (1)现有可围36m长网的材料,问每间虎笼的长、宽各设计为多少时 应用基本不等武解块 可使每间虎笼面积最大? 己知a为定值,可用基本 实际问题的思路 1.先认真审题,设出变 不等式求a+b的最小值 量,将实际问题抽象成 (2)要使每间虎笼面积为24m^{},问每间虎笼的长、宽各设计为多少 数学问题; 时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小 2.建立相应的关系式 利用基本不等式求解; [方法总结4] 3.根据实际背景写出 答案. 跟踪训练4 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得 的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y三-x}+ 18x-25(xeN*).则当每台机器运转 年时,年平均利润最大,最 大值是 万元. 041 随堂检测 重反馈 1.若x>5,则x+4 +-的最小值为 ( ) A.6 C.9 B.8 D.3 14的最小值为 2.设x→0,y→0,x+y=4,则 3.已知x>0.v>0.且x+4v=1.则xv的最大值为 4.建造一个容积为8m,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价分别为120元/m^}。 80元/m,那么水池的最低总造价为 元. 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 学科核心素养 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式 数学抽象 的现实意义. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不 等式的解集. 数学抽象、数学运算 借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的 联系. 直观想象、逻辑推理 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型,并加以解决 数学建模、数学运算 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理 明要点 一情境导入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉,若栅栏的长 度是24m.围成的矩形区域的面积要大于20m{},问这个矩形的边长要满 [提示] [[提示] 设这个矩形的一条边 足什么条件? 长为xm,则另一条 新知初探 边长为(/2-xm.由题 知识点一 一元二次不等式的概念 意,得(/2-x)x) 只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的整式不等 20.其中xIxl0( 式,称为一元二次不等式.其一般形式是:ax{}+bx+c>0或ax^{}+bx+c<0. x/2).整理得x- 其中a.b.c均为常数,a0 l2x+200:xE(x 知识点二 二次函数的零点 l0x/2). 一般地,对于二次函数v三ax{}+bx+c(a0).我们把使ax}+bx+c=0的 叫做二次函数v三ax+x+c的a+6=2t>1h<1<4 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9 2 2 所以m的最大值为9 14,a>0,b>0,0+2b=4,4=a+2b≥22ab. 六ab≤2，当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取 跟踪训练3：因为x>0,所以x+ ≥2，当且仅当x=1时取等号， 等号 所以有2+3x+1 1 11 六ab的最大值为2. 15.x>0,a>0,且2x+≥22x…=22a. 1 即2+3+的最大值为了故u≥了 当且仅当2x=兰，即x=时，2+？取得最小值。 例4：(1)设每间虎笼长xm,宽ym, 六2=3，解得a=18. 则由条件知：4x+6y=36,即2x+3y=18, 设每间虎笼面积为S,则S=xx. 2 16.,x,y为正实数，3x+2y=10 方法一：由于18=2x+3y≥2√2x·3y=26xy, W2=3x+2y+2/3x·2≤10+(3x+2y）=20. 所以26≤18，得≤号即8≤受，当且仅当2x=3时。 当且仅当3x=2,3+2y=10,即=子y=子时，等号 等号成立 成立 18解 ly=3. .W≤25.即W的最大值为25. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大 第2课时基本不等式的应用 方法二：由2x+3=18,得x=9- 2为 题型探究提技能 3 例1：ly=+7+10=x++5x+)+4.（(x+)+ 因为x>0,所以9-2宁>0， x+ +1 ++5,因为>-山，所以x+1>0,所以y≥ 4 所以0<y<6,8=y=(9-y=26- 因为0<y<6,所以6-y>0,所以s≤号·[6+ 2√+0高+5=9，当组仅当1=即1时 等号成立，故x=【. 跟踪训练1：v6-1y= x+1 x+1 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 2+3x+8(x+1)2+(x+1)+6 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大 1 (2)设每间虎笼长xm,宽ym, 一，因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤ +)+ 由条件知S=y=24.设钢筋网总长为1，则1=4x+6y 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=26y=24 1 1 2y0哥+11+26 2石-，当且仅当x+1= 所以1=4x+6y=2(2x+3y)≥48.当且仅当2x=3y时，等号 23 成立 即=6-1时，等号成立 24解得4 1y=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 03+2.5因为a+6=1.所以片+=（日+名）a+6) 方法二：由w=24,得x=24 =治+0+3≥2√合+3=3+2反，当且仅当 所以1=4x+6y= Vab +6r=6(y)≥6x2√y= y a+b=1. 6_2a即a=2-1,b=2-2时，等号成立. 当且仅当1=y即y=4时，等号成立，此时x=6 a6' 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 跟踪训练2：x>0,y>0,y=9x+y,↓+9=1. 跟踪训练4：58每台机器运转x年的年平均利润为上=18 x y a*y=(+号)(x*)0++≥10+ -(+空)且x>0.放≤18-2压=8，当且仅当=5 2停6 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元 随堂检测重反馈 当且仅当号=立即x=4,y=2时，等号成立 1令1=-5.则1>0+51++5≥2，+5 即x+y的最小值为6， =9,(当且仅当1=4，即1=2，x=7时，取等号）故x+ 例3：因为a>0,6>0,所以2a+6>0,所以要使2 1 恒成立， 5x>5)的最小值为9. 只需m≤2a+(+古)成立， +=4=位+)*)=4(6 29 面2a+)(古）4++15+49 ++)>00则+≥2受=4（肖 y 326 且仅当-与时取等号)则≥对×5+4)：号 2-4即x=3时取“=” 5.因为x>0,y>0,x+8y=,所以8+=1 时取等号 4.1760设池底一边长为xm,则另一边长为4m,总造价为y 所以+2=（+）+2列 元则y=4×120+2(2x+2x)×0=20(+） =0++g≥10+2-18. 400以.因为+>2一子4，当组仅当即 ,8+1=1 当且仅当 即=2时等号成立。 x-16y "ly=3 =2时取等号，所以y=480+320×4=1760(元). 练案[13] 所以x+2y的最小值为18 2 1.B方法一：由+y=1得)=1-因为s>0,>0,6.10当最后一辆汽车出发，第一辆汽车走了0 所以x-1>0,所以2x+=2x+三 1 +=2x+:=2+1 x-1 时，最后一辆车走完全程共需要0小时，所以一共需要 +=2-*+3≥2V2-0+3=22 (+6小时，结合基本不等式.计算最值可得四。≥ 3当组仅当2-)，即，号时，等号皮立所以2 2√四·后=0，当且仅当四=后即=0时等号 +1的最小值是3+22 成立，故最少需要10小时 方法二：因为>0>0.所以2+=(2+）小（仕 7.(1)由题意知，当m=0时，x=1, 1=3-0=2x=3-2 ）-2+2+寸+1≥3+2，√2…=3+2万，当且仅当 m+l' 2xy= =1+号时.等号收立所以2+士的最小 每作产品的销售价格为号，8+（元、 2023年该产品的利润 g+v.1-a J=3x.8+16x-8-16x-m 值是3+22. 2C因为a>0.6>0,所以1≤等价于1≤。+.只需1≤ =-9+m+月29(m≥0) ab (位+古)时+古=（日+古）小a+46普+云 (2m0时+(m+0≥26=8， +52√巴号5=9.当且仅当 46,即026= y≤-8+29=21，当且仅当5=m+1, 即m=3时，y=21. a+4b=1. 故该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最 }时等号成立所以1≤9. 大，最大利润为21万元 8.(1)不存在 3.ABC 若x<0,则x+ 因为正实数x,y满足x+y=4,所以4=x+y≥2√x,所以xy -2(-)·()=-2.当且仅当=-1时取等号，A ≤4 当且仅当x=y=2时，等号成立， 正确：若xR,侧则+2.出：√2+≥ 故不存在正实数x,y,使得y=5. √e+1W√R+1 V金+1 (2)由x+y=4得(x+1)+(y+2)=7, 2 企+，二=2，当且仅当x=0时取等号，B正 又因为x,y都是正实数， +1 以女+a 所以 确：当>0时+≥2V=2.当组仅当=1时取等 =c+)++2]·(+,2) 号，结合选项AeR阻x0时，则+2，C正确：若口 >0.期1+o(+）-2+a+≥2+2√=4当 =+将，4] x+1y+2 且仅当a=1时取等号，但a>1,所以等号取不到，D错误。 41≥22-4≥1>0y=21.2 5 2x-4 +2x-4 当且仅当2=4x+》时，等号成立. x+1 y+2 2+24241当组仅 4 又因为x+=4,所以x=青=号时等号成立 327-