2.2 第1课时 基本不等式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

036 随堂检测 重反馈 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 A.x<ax <a B.x>ax >a C.x2<a<ax D.x2>a2>ax 2已知aeR,则a>1“是1<1"的 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 3.给定下列命题： ①0>a>b=a2>:②a2>6a>b>0:3a>b=。<1:④a>b=0>b月 其中真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为 x的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 2.2 基本不等式 新课程标准解读 学科核心素养 理解基本不等式的几何意义及其推导过程， 数学抽象、直观想象 能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式 逻辑推理、数学运算 会运用基本不等式解决生活中的问题 数学建模 第1课时 基本不等式 教材梳理明要点 ●情境导入 某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放人左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右 边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除 [提示] 以2作为黄金的最终质量出售.这样称得的质量是黄金的真实质量吗？ 不是，可利用基本不 >[提示] 等式知识进行计算并 证明。 台新知初探 知识点一基本不等式 如果a>0,6>0,则vd≤“，当且仅当 时，等号成立.其中， a+b叫做正数a,b的 平均数，√ab叫做正数a,b的 平均 数：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平 均数 .037 知识点二基本不等式与最值 已知x,y都为正数，则 [知识点反思] (1)若x+y=s(和为定值)，则当x=y时，积xy取得最大值 L,基本不等式的常见 (2)若xy=p(积为定值)，则当x=y时，和x+y取得最小值 变形 (1 )a +b>2ab (2)ab [知识点反思] 地地 2 自预习自测 (其中Q0,b>0,当 且仅当a=b时等号成 1.判断下列说法是否正确，正确的打“V”,错误的打“×” 立). (1)6和8的几何平均数为23. ( 2,利用基本不等式求 最值时要牢记·一正 (2)a2+1≥2a中等号成立的条件是a=1. ( (各项必须为正）、 (3)若4≠0，则a+≥2，a工=2 二定（各项之和或各 项之积为定值）、三 相等（心须验证取等 (4)若a0,则(-)+-≤-2，-a)·0=-2 号时条件是否具 备)” 2.若x>0,则y=4+x的最小值为 题型探究提技能 题型一 利用基本不等式判断命题真假 例1.()设0<a<6,则下列不等式中正确的是 ( A.a<b</ab<a 2 B.a<Va而<a+b<b 2 C.a</ab<b<atb D./mcacatbch [方法总结1] 基本不等式的结构体 (2)下列不等式一定成立的是 现了·和式”与“积 式”的相互转化，当 1 A.x2+ >√x(x>0) B.x+1≥2(x≠0) 趣目中不等号的一喘 是“和式”而另一端 1,>1(xeR) 是“积式”时，就要 C.x2+1≥2lxl(x∈R)》 D.2 考忘利用基本不等式 来解决，在应用过程 [方法总结1] 中注意“一正、二 定、三相等”· )豌踪训练1 下列不等式中正确的是 A.当x>0时，E+1≥2 B.当x≥2时，x+1的最小值为2 x C.Vad≥a+b D.a2+b2≥4ab 2 038 题型二直接利用基本不等式求最值 例2.(1)当 x>0 时，求 $$\frac { 1 2 } { x } + 4 x$$ 的最小值； [方法总结2] 负项和求最值时，通 (2)当 x<0 时，求 $$\frac { 1 2 } { x } + 4 x$$ 的最大值. [方法总结2] 过提取负号转化为正 数后再利用基本不等 式并结合不等式的性 质求出最值. 》跟踪训练2 (1)若 0<x<1， 则 $$\sqrt { x \left( 3 - 2 x \right) }$$ 的最大值为. $$\left( 2 \right) x + 2 + \frac { 1 6 } { x + 2 } \left( x > - 2 \right)$$ 取最小值时，x的值为. [方法总结3] 题型三基本不等式的变形应用——“凑定值”问题 拼凑法求最值，其实质 就是先对代数式变形 例3(1)已知 $$x < \frac { 5 } { 4 }$$ ，则 $$y = 4 x - 2 + \frac { 1 } { 4 x - 5 }$$ 的最大值是 拼凑出和或积为常数 构造出 4x-5k 的两项，然后利用基本 不等式求解最值， (2)设0 $$0 < x < \frac { 3 } { 2 } ，$$ ，则 y=4x(3-2x) 的最大值为 4x=2×2x [方法总结3] D跟踪训练3 已知 $$x < \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，则 $$2 x + \frac { 1 } { 2 x - 1 }$$ 的最大值是 随堂检测重反馈 1.设 a>b>0， ，则下列不等式中一定成立的是 () A.a-b<0 $$B . 0 < \frac { a } { b } < 1$$ $$C . \sqrt { a b } < \frac { a + b } { 2 }$$ D.ab>a+b 2.若 a，b∈R， 且 ab>0， ，则下列不等式恒成立的是 () $$A . a + b \ge 2 \sqrt { a b }$$ $$B . \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \ge \frac { 2 } { \sqrt { a b } }$$ $$C . \frac { b } { a } + \frac { a } { b } \le 2$$ $$D . a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \ge 2 a b$$ 3.比较大小 $$： \frac { x ^ { 2 } + 2 } { \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } }$$ 2.(填 > <m≥或“≤”) 4.已知 x>0，y>0， 且 xy=100， 则x+y的最小值为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[12](3):0<b1.士>1,又:2<a<4.->2 (2)a^+1→2a等价于(a-1)→0,等号成立的条件是a=l (3)当a<o时,a+士是负数. 11.Da<0.-1<b<0.ab>0,ab<0.又-1<b<0..0 <b}<1.两边同乘以负数a.可知ab}>a..ab>0>ab}a. (4)当a<0时,(-a)+(-)是正数. 故选D. 12.BCD由于x.y为正实数,且x>y,两边乘以y得xy→,故 A选项错误;由于x.y为正实数,且xy.所以>y,故B 选项正确;由于x.y为正实数,且x>y.m>0.所以y(x+m) -x(y+m)=m(y-x)<0.则y(x+m)<x(y+m),所以y 题型探究 提技能 <¥+成立,故C选项正确;由于x,y为正实数,且x>y,所 例1:(1)B(2)C x+ 以x>x-y>0.取倒数得o<,故D选项正确.故{ 【解析】(1)方法一:因为0<a<b,所以0<<,所以a -x-y 。2 <\ab.同样由0<a<b得号,所以6.由基本不 选BCD. 等式可得#综上,a<ahb. 13.BC 当a=1,b=-1时,满足ab.但号<1.故A错误;若 方法二:因为0<a<b,所以a<a+h<6,排除A.C两项.又 2 a-bco.所以>0.a-bc0.则a<b,故C正确;当c=3.a ab-a=(-)>0.即vaa.排除D 方法三:取a=2,b=8,则vab=4.2+b=5.所以a<vb< 7 athb. -#(),(_) 2 14.:-x-3y- (2)选A中^+→x(当且仅当x-士时,4-x). 2--(x)##5()5. 故选项A不正确;选B中,x+-→2(x>0),x+-<-2 3<-2(x+y)+2(t-y)<8.3<:8. (x<0),故选项B不正确;选项C中,x-2lxl+1=(lxl 15.① 对于①,由题意a.b为正实数,则a*-^=1→a-b= 1)>0(xR).故选项C正确:选项D中.x+1>l.则0 跟踪训练1;A 对于A.符合基本不等式的三个条件“一正,二 -b<1成立,对于②,取特殊值,a-3.b-3,则a-b>1.对{ 则x=+1.均不满足x>2;对于C.当a>0.b>0时,ab< a+b,当且仅当a=b时取等号,故C错误;对于D.由基本不 于③,取特殊值,a-9.b-4时,la-b1>1 等式得a*}+三2ab,当且仅当a=b时取等号,故D错误.故 a 选A. 则be-ad>0.:. ab>0,故由②③→①正确;由①ab>o得1 ,12,Ax:= 83. 。: 当且仅当2-4x,即x-3时取最小值8、3. h .当x0时12+4x的最小值为8/3. 立,则bc>ad,故由①②一③正确.综上可知,①③一②,①② 一③.②③一①. (2)x<0.-x0.则2(-4x)→2. .12.(-4×)= 2.2 基本不等式 - 8/3. 第1课时 基本不等式 当且仅当12--4x时,即x:-3时取等号: 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 过训2:1)2 (2)2 a=b 算术 几何 不小于 知识点二 【解析】(1)由0<x<1知3-2x>0.故vx(3-2x)-1. 2 2 预习自测 2 1.(1)x(2)(3)x(4)x 等号成立,所以x(3-2x)的最大值为32 【解析】(1)6和8的几何平均数为4/3. -324- (2)因为x>-2,所以x+2>0.(x+2)+16 时,等号成立,故(1+x)(1+y)的最大值为25 5. ACD 因为ab(“)=1.所以A正确;因为(\+) 1-8,当且仅当x+2-16 =+b+2 /ab=2+2 a<2+a+b=4.所以B不正确; 2 以D正确. 6.8 令1=(x-1),9 【解析】(1):¥5.5-4x 0.y=4¥-2+45 1 r1 +2.因为x-1>0,所以;> 9 ,即:4时。 9 1的最小值为8. 因为a>b>c,所以a-b>0.b-$ (2)因为0<x<3.所以3-2x>0.所以y=4x(3-2x)= 0. (a-6)(b-e)<&-b+b-c-a-f.当且仅当a-b- 2 b-c.即a+c=2b时,等号成立.所以 (a-b)(b-c) 2、.即x-寻时,等号成立,因为(0,).所以y-4x(3{① ## #2)#()的大为# 当且当--- =3=2时取等号. 跟踪训练3:-1因为x<.所以1-2x>0. 3。 过9.(1).0.4=4. 当且仅当x-4(x0),即x=2时取等号. 又因为1-2x+1-2x=2(1-2x)-2x=2(当且仅当x -2-4#52-4--2- -0时,等号成立). 心y=-2. (2):0号:1-2:0. 随堂检测 重反馈 -x(1-2x)-x2x(1-2x) _选C. #(2--)#--# 2.D 由于ab>0.可知a与b同号,显然当a<0.b<0时,选项 当且仅当2x-1-2x,即x--时取等号, 故y-(1-2)的最大值为 10.x0. 6() 然,Va.beR.a?+b>2ab,选项D正确.故选D 2 #2(1)11→2. 当且仅 3.三 2 21 2+1 +1 当-,即x-0时取“=”. +1 4.2 20 x+→2v rv=2100=20(当且仅当x=y=10时取等号) 练案[12] 2 1.D a<o.则a+4=4不成立,故A错;a=1.b=1.a+6< 综上所述,原式得证. 过11.C >2x-2>0-+(8-2)= 4ab,故B错;a-4.b=16.则va<a+b,故C错;由基本不等 9 2 式可知D项正确. 2. B x0,y0x44y>2x·4y=8.当且仅当x=4y且 号成立,故选C. x=4.即x=4,y=1时取等号,.x+4y的最小值为8.故 12. B由+3y-1-0可得y-(--→).因为x>0.所 选B. 3.C0vy--(-)]-25-2-2--4.9当选 # -)→、2-、-2}(# (当且仅当 且仅当-x-一,即x=-1时取等号。 -士时,等立),_“的小为 4.B 因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+ 9() -325-