2.1 第2课时 等式性质与不等式性质(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

034 第2课时 等式性质与不等式性质 教材梳理明要点 ©情境导入 在我们喝的糖水中加些糖后会变得更甜：炒菜中加些盐后会变得更 咸，…，此类生活现象如何用数学式子来表示呢？ [提示] e新知初探 知识点一 等式的性质 性质1如果a=b,那么 [提示] 性质2如果a=b,b=c,那么 修水不等式8损) 性质3如果a=b,那么 性质4如果a=b,那么 号其中b>a0且m 性质5如果a=b,c≠0，那么 >0. 知识点二不等式的性质 性质1a>b台 ;(对称性) 性质2a>b,b>c= ;(传递性) 性质3a>b= ;(可加性) 性质4a>b,c>0= ,a>b,c<0→ac<bc;(可乘性)》 性质5a>b,c>d→ :(同向可加性)》 性质6a>b>0,c>d>0曰 :(同向同正可乘性)》 性质7a>b>0曰 (n∈N,n≥2).（可乘方性） ●[知识点反思] 自预习自测 [知识点反思] 1.已知a>b,c>d,且c,d均不为0，那么下列不等式一定成立的是() 两个不等式只有同向 A.ad>bc B.ac bd 加法和同向同正乘法 C.a-c>b-d D.a+c>b+d 运算，没有减法和除2用“<”或“>”填空： 法运算， （山如果a>6>0那么分 1 (2)如果a>b,那么-2a -2b. (3)如果a>b>0,那么a b0. (4)如果a>-b,那么c-a c+b. 题型探究提技能 题型一不等式性质的应用 例1.)对于实数a,6c,下列命题中为真命题的是 A.若a>b,则ac2>bc2 B若a>b>0,则> C若a<6<0,则片>8 D.若a>h.1>6.则a>0,b<0 > .035 (2)(多选)已知a,b,c,d均为实数，则下列命题错误的是 A.若a<b,c<d,则ac<bd [方法总结1] B.若ab>0,be-md>0,则9-4>0 判断关于不等式的命 a b 邈真假的两种方法 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c ,直接法：直接运用 D.若a>b,c>d>0,则g>b 不等式的性质进行推 ●[方法总结1门] 理判断； )跟踪训练1 2,特殊值验征法：给 (多选)给出下列四个条件：①2>W2:②t>:③x2>y2:④0<1< 不等式中涉及的变量 -<二.其 取一些特殊值，然后 中能成为x>y的充分条件的是 遗行比较，判断 A.① B.② C.③ D.④ 题型二利用不等式的性质证明不等式 [方法总结2] 应用不等式的性质进 例2设a>6>,求证b+e+。>0 行推导时，应注意紧 ●[方法总结2] 扣不等式的性质成立 的条件，且不可省略 条件或跳步推导，更 不能随意构造性质与 法则 )跟踪训练2 已知a>6>0,求证：， [方法总结3] a 利用不等式的性质求 取值范国的策略 1.建立待求范田的整 体与已如范国的整体 的关系，最后利用一 题型三利用不等式的性质求范围 次不等式的性质进行 运算，求得待求的 例3.（1)已知1≤a≤2，且2≤b≤4，求4a-2b的取值范围。 范田： (2)已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围. 2.求解这种代数式范 此处a+b与a-b分别看作一个整体，将4a-2b 因问题要特别注意不 用这两个整体式子表示出来 能简单地分别求出单 P[方法总结3] 个变量的范田，再去 求其他不等式的范 国，要把已知条件中 的代数式看作整体来 处理 )】跟踪训练3 (1)已知-5<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是 (2)已知1≤a-b≤2，且2≤a+b≤4，则4a-2b的取值范围是 036 随堂检测 重反馈 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是 A.x<ax <a B.x>ax >a C.x2<a<ax D.x2>a2>ax 2已知aeR,则a>1“是1<1"的 条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 3.给定下列命题： ①0>a>b=a2>:②a2>6a>b>0:3a>b=。<1:④a>b=0>b月 其中真命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知60<x<84,28<y<33,则x-y的取值范围为 x的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[11] 2.2 基本不等式 新课程标准解读 学科核心素养 理解基本不等式的几何意义及其推导过程， 数学抽象、直观想象 能利用基本不等式比较代数式的大小、求最值及证明简单的不等式 逻辑推理、数学运算 会运用基本不等式解决生活中的问题 数学建模 第1课时 基本不等式 教材梳理明要点 ●情境导入 某金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天 平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄 金放人左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右 边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除 [提示] 以2作为黄金的最终质量出售.这样称得的质量是黄金的真实质量吗？ 不是，可利用基本不 >[提示] 等式知识进行计算并 证明。 台新知初探 知识点一基本不等式 如果a>0,6>0,则vd≤“，当且仅当 时，等号成立.其中， a+b叫做正数a,b的 平均数，√ab叫做正数a,b的 平均 数：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平 均数3.D“不低于”即“”，“高于"即“>”，“超过”即”>”，∴x =a'-n'b+b-ab 95,y>380,z>45. =a2(a-b)+2(6-a) 4.10y+x>70该两位数可表示为10y+x,∴.10y+x>70. =(a-b)(a2-6) 练案[10] =(a-b)(a-b)(a+b)】 =(a-b)2(a+b)≥0. 1.C 所以a3+2≥a2+a26. 2A-N=+1=(+号）°+子>0放M>龙 1)2 (2)因为a≥l,所以M=a+1-a>0,N=a-√a-I>0. 3A易知M>0,N>0,因为M-N=(a+B)2- 所以兴-兽 (√a+b)2=2√ab>0,所以M>N a-Ja-I a+l+a 4.B考虑实际意义，知r≤120km/h,且d≥50m 因为a+打+>石+，a>0.所以兴<1，所似M<N 5.ACD对于A,可得a≥300，故A正确：对于B可得500x+ :16.(1)设甲每次购买这种物品的数量为m,乙每次购买这种物 400y≤20000，化为5x+4y≤200，故B错误：M-N=x2+3- 品所花的钱数为 3=(-子)广+号>0，可得M>N.放C正角：因为-2 所以甲两次购买这种物品的平均价格为m+4皿=5（元）， 用+m 且y≠1，所以M-(-5)=x2+y2+4x-2y+5=(x+2)2+(y -1)2>0,即M>-5,故D正确 乙两次购买这种物品的平均价格为2”一=24( (元). 6.m3>m2-m+1m3-(m2-m+1）=m3-m2+m-1= 6+4 m(m-1)+(m-1)=(m-1)(m+1).又：m>1,故(m- (2)由(1)知，甲两次购买这种物品的平均价格为 1)(m+1)>0.,m>m-m+1. 7,2≤d≤2,5最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角 am+bm_“+也（元）， 用十m 2 线长23.故2≤d≤23. 乙两次期买这种物品的平均价格为2”一= 88(x+19)>22002>9(x>12)原来每天行驶rkn， nn=+(元) 现在每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内它的行程就 因为0+b.2ab_(a+b2-4ab 超过2200km”,写成不等式为8(x+19)>2200.若现在每天 2 a+6 2(a+b) 行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9 =0+6-2b=(a-b、 2(a+b) 天多销时间用不等式表示为，>9x>12。 =2(a+60, 所以乙的购物比较经济合算 9.设需要安排x艘轮船和y架飞机 第2课时等式性质与不等式性质 r300x+150y≥2000，r6x+3y≥40. 则{250x+100y≥1500，即5x+2y≥30， 教材梳理明要点 LreN.YeN. LxEN.yEN. 新知初探 10因为x+3- 4+3+13.2-+1 知识点一 x-4=x-4 1123 b=aa=ca±e=b±eac=ca=b 又2-+1=(-2)+>0恒成立， 知识点二 所以当x>4时+1>0， b<aa>e ute>b+e uc>be ute>b+d uc>ld a" x-4 >b° 此时x+3>3 预习自测 4-x 当r<4时-+<0， 1.D令a=2,b=-2,c=3,d=-6,可排除A.B、C.由不等式 -4 的性质5知，D一定成立. 2.(1)>(2)<(3)>(4)< 此时x+3<4一 13 11,D由三角形三边关系及题意易知选D. 【解标】1)知果a>6>0,那么0<行<行即>>0 12.A观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为：， (2)如果a>b,那么-2a<-2h. 最低为ha.故选A. (3)如果a>6>0,那么am>6" 13BD因为h+c=6-4知+3，① (4)如果4>-b,那么-a<b,所以e-a<c+h. 1c-b=4-4a+a2② 题型探究提技能 由①-②得26=2a2+2,即6=a2+1,所以b≥L.又6-4= 例1：(1)D(2)AD +1-a=(e-）广+号>0.所以6>，面c-64-如 【解析】(1)方法一：e2≥0，c=0时，有ac2=2,故A 为候争题：由a>b>0,有b>0=品>品→>，故B为 1 +a2=(a-2)2≥0，所以c≥h.从而c≥b>. 14,+m>。变甜了，意味着含糖量大了.即浓度高了，所以 b+m 假命题： 0x6<02-4>-b0=b00→23 当6>a>0且m>0时，8+>号 a<b<0→-a>-b>0 ra>b→b-a<0, 15.(1)因为a+b>0,(a-b)2≥0， 6,放C为假命题：{1>1一1-1 所以a3+02-ab2-a26 ab -322 0.a>b,a>0且b<0,故D为真命题 方法二：特殊值排除法.取e=0,则ae2=be2,故A错误：取a <1取a=-1,则片<1成立，但a>1不成立，故“a>1”是 =26=1,则片=之古1，有<名，tB倍误取a 1<1“的充分非必婴条件，故选A -26-1则台宁名2有合<号发C错民 3.B对于①，由0>a>b可知，0<-a<-b,则由性质7可知， (-b)2>(-a)2,即62>：2，故①错误：对于②.性质7不具有 (2)若a<0<b,e<d<0,则ac>bd,故A错误：若ab>0,be 可逆性，故②错误：对于③，当0>a>b时，么>1，故③错误； ad>0,则台-4-c=4>0,故B正确：若c>山，剩-d> a 6 ab 对于④，因为a>b,所以a-b>0,所以a3-b=(a-b)(a2+ -c,又a>b,则a-d>b-e,故C正确：若a=-1,b=-2,c d+)=(a-[(a+)了]0放>，④正 =2,d=1,则号=-1，=-1，=，故D特 4.1x-y127<x-y<56 28<y<33. 跟宗训练1：AD①由x2>2可知2>0，所以>y,故过> →x>y:②当>0时，x>y,当t<0时，x<y,故t>t≠x ,.-33<-y<-28.又，60<x<84,.27<x-y<56.由 >y:8③若x=-2,y=-1.则虽有x2>y2,但是x<y,故x2>y 共x>y:④由0<<知，y>0,所以0<< 1 0< x 练案[11] ·→x> 1.D对于选项A,由等式的性质3知，若x=y,则x+5=y+5, 例2：因为a>b>c.所以-c>-b. 正确：对于选项B,由等式的性质4知，若a=b,则e=c,正 所以a-c>a-b>0,所以1 6>0 >0 a-b a-c 确：对于选项C,由等式的性质4知，若二：名，则a=6,正 26+a>0.又b-c>0, 确：对于选项D,若x=y,则片=。的前提条件为a40,故此 选项错误 所以>0所以， 10 以a-b+b-ete- -+ 2.C方法一：因为a>b>c,且a+b+e=0,所以a>0,c<0,所 以ab>e 跟踪训练2：a>b>0,.a>6>0.① 方法二：令a=1,b=0.c=-1.则ab=be.ac<bc.alb1=1blc. 又：a>6>0,两边同乘正数沾得>。>0② 故排除A、B,D,故选C 由02相号，吾 3D当c-1时，若号<号，则a>6,与a<6矛盾，放选项N 错误：当c=0时，若a<b,则ac’=bc2=0,与a3<e3矛盾， 例3：(1)因为1≤a≤2，所以4≤4a≤8 ① 故选项B错误：当a=5,b=6.e=-1.d=0,满足a<b.e<d. 因为2≤b≤4，所以-8≤-2b≤-4 ② 但a-c=b-d,这与a-e<b-d矛盾，故选项C错误：因为a 由①+2，得-4≤4-2b≤4 -c<b-d,e<d,所以由不等式性质可得：(a-c)+c<(b- (2)方法-：设4=a+6.=a-b得a="”,b=“ 2 2 d)+d,即a<h.因为a<b,c<d,由不等式性质可得：a+e<b +d,故选项D正确.故选D. ,,4a-2b=2u+2,-n+老=u+3. 4.C,-4<b<2,.0≤1h1<4..-4<-1bl≤0.又1<4 1≤n≤4，-1≤r≤2，.-3≤3r≤6 则-2≤uw+3p≤10，即-2≤4g-2b≤10 <3,∴-3<a-1b|<3 方法二：令4a-2b=x(a+b)+y(a-b), 5.ABC实数a,b,c满足e<b<a且ae<0,所以a>0,c<0,b 不确定.①因为a>0,b-c>0,所以ab>ac,故选项A正确. ∴.4a-26=(x+y)a+(x-y)6. 2因为c<0,b-a<0,所以c(b-a)>0.放选项B正确.3因 「x+y=4, 为ac<0.a-c>0.所以ae(a-e)<0,故选项C正确.④当b L-3≤3(a-b)≤6. =0时，cb=ab,故选项D错误 ,-2≤4a-2b≤10. 6.1,-2(答案不唯一，满足a>0,b<0即可》 跟踪训练3：(1)x-2y-11<x-2y<0 (2)4a-2b15≤4a-2b≤10 1{-1<<2} 2b<a<-b,..2b<-6..b<0. 【解析】(1)因为2<y<3,所以-6<-2y<-4,所以-5+ (-6)<x-2y<4+(-4),即-11<x-2y<0. <号<即-1<号<2 (2)令a+b=u,a-b=r,则2≤4≤4,1≤r≤2由8.②③①中取a=-1,b=-2,n=2,不成立：②a>1b1,得a a+b=H:解得 21 则4a-2b=4×L+"-2×巳r >0。>成立：③a<6<0,得>名成立：④a<b<0, a-b=r, 2 2 2 得a-6<0.且-b>a,故，马<合，④不成立 2μ+2m-μ+t=4+3.而2≤μ≤4,3≤3r≤6，则5≤μ+3m≤9.c<d<0,-e>-d>0.又a>b>0,a-e>b-d>0. 10.故5≤4a-2b≤10. 1 随堂检测重反馈 2L>0.又a>b>0,-6-da- 6 .6-d"a-c 1,B,x<a<0.,∴，x>0.,x-x=x(x-a)>0.,x>r. 10.(1)0<b<1.∴-1<-b<0. 又ar-a2=a(x-a)>0,ar>a2.x2>ar>a3.故选B. 3<a+b<4,.2<a+b+(-b)<4,即2<a<4. 2.A若a>1,则0<<1.故<1.所以“a>1“能推出“ (2)0<h<1,.-1<-b<0.又2<a<4,∴.1<a-b <4. 323