2.1 第1课时 不等式关系与比较大小(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

031 第二章一元二次函数、方程和不等式 己.1等式性质与不等式性质 新课程标准解读 学科核心素养 会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系： 数学抽象 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质， 逻辑推理 第1课时 不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 ●情境导入 生活中，我们经常在路上或桥上看到下列交通标志，你知道它们的含 [提示] 义吗？你能用一个数学式子表示下列关系吗？ ①最低限速50kmh, v>50.@限制质量 10t,0<w≤10. :30-10:00 ③限制高度35m,0< ② 3 [提示] h<3.5.④限制宽度3 m,0<x←3.⑤通行时 e新知初探 间7：30-10：00. 知识点一不等关系与不等式 7.5≤t<10. 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之 间的不等关系.含有这些 叫做不等式. 知识点二实数大小比较的基本事实 [知识点反思] 不等式a≥b读作“a 文字表示 符号表示 大于或等于b”,其 如果a-b是正数，那么 a-b>0- 含义是指“a>b或a b”,等价于“Q不 如果a-b等于0，那么 a-b=0= 小于b”,即a>b或 如果a-b是负数，那么 a-b<0- Q=b中有一个正确， 则a≥b正确.利用作 知识点三重要不等式 差法比较大小只需判 一般地，Va,beR,有a2+b 2ab,当且仅当 时，等号 断差的符号，无需关 成立 注差的大小。 [知识点反思] 032 预习自测 1.判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”， (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( (2)若x2=0,则x≥0. (3)若x-1≤0，则x<1 ( (4)两个实数a,b之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种 2.若实数a>b,则a2-ab ba-.(填“>”或“<”) 3.已知x≠2，则x2+4与4x的大小关系为 题型探究提技能 题型一用不等式（组）表示不等关系 [方法总结1] 利用不等式（组）表示 例京沪线上，复兴号列车跑出了350kmh的速度，这个速度的2倍再加 上1O0km/h也不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普 不等关系的注意点 1.在用不等式（组）表示 通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系 不等关系时，要进行 ·[方法总结1] 比较的各量必须具有 相同性质，且单位要 统一； 2.明确表示不等关系 的关键词语：至多、 至少、大于等： 踉踪训练1 3注意隐性不等关系， 用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m,要求菜 如由变量的实际意义 园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm,试用不等式表示其中的不等 限制的范田 关系 [方法总结2] 作差法比较两个实数 大小的基本步张 a-b 来用配方、因美 变 分解、通分、有 题型二比较两数（式）的大小 理化等于投，能 转化为个国式 来权或利的形式 例2.已知x<1,试比较2-1与2x2-2x的大小 ●[方法总结2] 有时也转化为完 全平方的形 号 判斯差与0的大小 利用实数a,b大 结 论 小比较的基本喜 ●033 】跟踪训练2 设x,y,zeR,比较5.x2+y2+2与2xy+4x+2z-2的大小 题型三不等式的证明 [方法总结3] 在不等式的证明过程 例3.已知a>0,求证：a+。≥2 ●[方法总结3] 中，常将不等式中的 字母作适当的代换， 转换为重要不等式的 形式，星现其内在结 构的本质. )】跟踪训练3 已知a>0,b>0,求证：a2+3b≥2b(a+b). 随堂检测重反馈 1.下列说法正确的是 A.某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000” B.小明的身高x,小华的身高y,则小明比小华矮表示为“x>y” C.某变量x至少是a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≥a” 2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,则a、b的大小关系为 () A.a>b B.a<b C.a≥b D.a≤b 3.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成 绩z超过45分，用不等式表示为 x≥95. x≥95， x>95, 1x≥95， A.y≥380. B.y>380, y>380. D.y>380. z>45 z≥45 z>45 z>45 4.一个两位数个位数字为x,十位数字为y,且这个两位数大于70，用不等式表示为 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[10]所以B= -2.-1.0.1.2,故选C 预习自测 ($)若a=1,则2a-1=1,矛盾;若2a-1=1,则a=1,矛盾, 1.(1)V(2)V(3)x(4)V 故$ a-1=1.解得a=1(含)或a=-1.故M= -1,-3. 【解析】(1)不等式x>2表示x>2或x=2.即x不小于2 1,M中所有元素之和为-3,故选C (2)若x=0.则x=0.所以x>0成立. 例2:(1)D (2)ala<-8或a>3 (3)若x-10,则x<1或者x=1.即x1. 【解析】 (1)由题意得集合A=|1,1.2|,|1,3l,1.4. (4)任意两数之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的 1.2.31.1.2.4.11,3.41,1.2.3.4.故选D 一种,没有其他大小关系。 (2)用数轴表示两集合的位置关系,如图所示, 2.因为(a^}-ab)-(ba-b^)=(a-b)},又a→b,所以(a- 6)0. A 113-564 3.+4>4x方法-:+4-4x=(x-2).面x2,所以(x- 2)0,所以x+4-4x>0.所以x2+4>4x. A 方法二:由重要不等式可知x*+44x.当且仅当x=2时等号 -504+143 或 成立,又x2,所以x+4>4x. 题型探究 提技能 要使BCA.只需a+3<-5或a+l>4.解得a<-8或a 3.所以实数a的取值范围为lala<-8或a→3. 例1:设复兴号列车速度为r.km/h.民航飞机的最低速度为r 例3:(1)C(2)B km/h.普通客车速度为v。km/h. (1)由题图所示,V=|0.1.2.3.4.5.6.7.8,A= r.的关系;2r.+100v,vt。的关系:>3。 【解析】 $.2.3.B=3.5.6 .所以f B=0.1.2.4.7.8 .(f B)A 跟踪训练1:由干矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m. 所以0<x18. =12.故选C 这时菜园的另一条边长为30-x-(15-)(m). ($)由AUB=A知BCA,所以m=3或m=m.当m=3时.$ $A=1.3.3l,B=13l,满足AUB=A;若m=m.则m=$$ 因此菜园面积5=x.(15-),依题意有s>110. 或0.当m=1时,vm=1,不合题意,含去,当m=0时,A= 1.3.0 ,B=1.0,满足AUB=A. 即x(15-)=110. 例4:(1)由题意得P是0的真子集,当P是空集时,满足P0 故该题中的不等关系可用不等式组表示 即a+1>2a+1,解得a<0: ###(15-)/110# 0<x18. _0. 当P是非空集合时,要使P0,则a+1-2.且a+1=-2 l2a+1<5. 例2:(x-1)-(2-2)=x-2+2-1 与2a+1=5不同时成立. =(-)-(-2r+1)=(x-1)-(-1) 解得0<a<2.故a的取值范围是alas2. =(x-1)(-x+1)-(x-1)[(*-)寻1. (2)若“xeA”是“xeB”的必要条件,则BCA. (-)#→-1 所以a的取值范围[<a<2]. .(x-1)[(-)]c0.'-1<2x-2x 例5:(1)A(2)C 跟踪训练2:5++2-(2xy+4x+2:-2) 【解析】(1)命题“Vx<2.x+2x-8>0”的否定是:x< =4-4x+1+x-2x++-2:+1 2.+2x-8=0.故选A. =(x-1)+(x-v)+(:-1)=0. (2)由题意得“-x=R,使得mx}+4x-1=0”是真命题,当m :5x}++2>2xy+4x+2-2. -0.x--符合题意;当mx0,只要A-16+4m→0即可,解 当且仅当x=y-1且:-1时取等号。 得m-4且m×0.综上:实数m的取值范图是lmlm 例3:证法一:利用a=2ab. 二4. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 当且仅当/-即a=1时,等号成立:.a→2. 法:-2-()()-(^-) 2.1 等式性质与不等式性质 0 第1课时 不等式关系与比较大小 =0. 教材梳理 明要点 ,a 新知初探 跟踪训练3:因为a}+3}-2b(a+b)=a}-2ab+b}=(a-$b }$ 知识点一 =0. 不等号的式子 当且仅当a=b时,等号成立,所以a}+3b^}>2b(a+b) 知识点二 随堂检测 重反馈 $a b a>ba=b$a=ba<ba<b$$ 1.C A应为x<2000;B应为x<y;D应为ya,故选C. 知识点三 2.Ca-b=3x-+1-(2x+t)=-2x+1=(-1)=$ =a=b 'a-b=0即a>b,故选C. -321- 3.D“不低于”即“”,“高于”即“>”,“超过”即“>”,x -'-a2b+b-ab 95.v>380.:>45. =a?(a-b)+b(b-a) 4.10v+x70该两位数可表示为10v+x.10v+x>70 =(a-b)(a}-}) 练案[10] =(a-b)(a-b)(a+b) =(a-b)(a+b)>0. 1.C .A M--)+1-(×)}>o故M→>N. 所以a+b>ab+ab ($)因为a→ì,所以M=a+1->o\=-a-l _-- 3.A 易知M>0.→0.因为M}-}=(+ -$$ -V-I+I+ (a+b)?=2vab>0.所以M>N. 因为 a+vV+a-T>o.所以<1,所以M<A. 4.B 考虑实际意义,知rS120km/h.且d=50m 5.ACD 对于A.可得a>300,故A正确;对于B可得500x+ 40 0v520000.化为5x+4v5200.故B错误;M-N=x+3- 16.(1)设甲每次购买这种物品的数量为m.乙每次购买这种物 x=(-)3→>0.可得M>N.故C正确;因为x*-2 品所花的钱数为n. 所以甲两次购买这种物品的平均价格为6m+4m-5(元), 且y 1,所以M-(-5)=x+y+4-2y+5=(x+2)+(y m+n -1)>0.即M>-5.故D正确 {行 6.m m-m+1m-(m-m+1)=m-m+m-1=$$ m(m-1)+(m-1)=(m-1)(m+1).又m>1,故(m- (2)由(1)知,甲两次购买这种物品的平均价格为 1)(m+1)>0..m m-m+1. am+bmab(元). 7.2<d23 最短距离是校长2.最长距离是正方体的体对角 m+n 2 线长2/3.故2<d<2/3. 8.8(x+19)>2200 8 -129(t>12) 原来每天行驶xkm. 为00) 现在每天行驶(x+19)km.则不等关系“在8天内它的行程就 超过2200km”,写成不等式为8(x+19)>2200.若现在每天 2(a+b) -6-2a_(a-) 行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9 2()2(-)<_0. 所以乙的购物比较经济合算 9.设需要安排:艘轮船和y架飞机. 第2课时 等式性质与不等式性质 300x+150y=2000. -6x+3y40. 则250x+100y=1500.即5x+2y=30. 教材梳理 明要点 eN.veN. xeN.yeN. 新知初探 -3.13-1 10.因为x+3-13 知识点一 4- x-4=- -4 #1-)→o成立 $$=a a=c +e=b+c c=bc 。 知识点二 所以当x4时-10. 过ba a>e a+e>b+c ac>be a+c>b+d ac>bd a” -4 。 此时:313 4- 预习自测 当x4时-10. $. D令 =2.=-2.c=3.d=-6.可排除A.B、C由不等$$ -4 的性质5知,D一定成立。 2.(1)>(2)<(3)>(4)< 此时x+313 4- 11.D 由三角形三边关系及题意易知选D 12.A 观察图形可知体积减小一半后剩余酒的高度最高为h; (2)如果a>b,那么-2a<-2b 最低为h故选A. (3)如果a>b>0.那么a”>” [+C=6-4a+3a”,① (4)如果a>-b.那么-a<b.所以c-a<c+b 13.BD 因为 lc-b-4-4a+a} 题型探究 提技能 由①-②得2b=2^}+2,即b=^}+1,所以b>l.又b-=$ 例1:(1)D(2)AD 1-a=(n-)>0.所以b>a,而c-6-4-4^{ 【解析】(1)方法一:c>0..c=0时,有ac}=b^},故A +=(a-2)=0,所以cb.从而cb>a. 14 变甜了,意味着含糖量大了,即浓度高了,所以 fa<b<0->-b>0_-- 假命题: l<b<0--a>-b>0 ra>b--ac0. 15.(1)因为a+b>0.(a-b)→0. 所以a+b-ab-a2b a -322-