1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

125 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理 明要点 情境导入 “3+2-5”是可以判断真假的陈述句,是命题,是真命题;它的否定是 “3+2去5”,是假命题,那么含有量词的命题“VxeR,x+1>0”如何否定 >[提示] 呢? [提示] -xeR.x+/c0 新知初探 知识点一 全称量词命题的否定 1.对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论; 全称量词命题:VxeM,p(x),它的否定; ,也就是说,全 称量词命题的否定是存在量词命题 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 不都是 至多有一个 都是 至少有两个 [知识点反思] 行 一般命题的否定通常 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 是在条件成立的前提 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 下否定其结论,得到 真假性完全相反的两 某个 任意的 能 不能 个命题:含有一个量 所有的 某些 不等于 等于 词的命题的否定,是 在否定结论p(x)的同 知识点二 存在量词命题的否定 时,改变量词的属 对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论 性,即将全称量词改 为存在量词,存在量 存在量词命题:3xeM,p(x),它的否定: ,也就是说. 词改为全称量词.一个 [知识点反思] 存在量词命题的否定是全称量词命题 命题和它的否定不能 同时为真,也不能同 三预习自测 时为假,只能一真一 霞. 1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 2.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 n25 题型探究 提技能 题型一 全称量词命题的否定 1.(1)已知A为奇数集,B为偶数集,命题p:VxeA.2xeB.则( _~ A.7p:VxEA.2xB B.7p:VxA.2xB [方法总结1] C.p:xA.2xB D.p:xEA.2xB 1.对全称量词命题否 定的两个步骤 (2)写出下列全称量词命题的否定,并判断真假: (/)改变量词:把全称 ①任何一个平行四边形的对边都平行; 量词换为恰当的存在 ②Va=R,方程x2+ax+2=0有实数根 量词; ③Va.beR,方程ax=b都有唯一解; (2)否定结论:原命题 中的“是'“成立” 4可以被5整除的整数,末位是0 [方法总结1] 等改为“不是” ·不 成立”等。 2.要说明一个全称量 词命题是假命题,只 需季一个反例即可 踪训练1 写出下列全称量词命题的否定: (1)Vx= -2.-1.0.1.2.1x-21=2; (2)任何一个实数除以1,仍等于这个数 (3)所有分数都是有理数; (4)任意两个等边三角形都相似 027 题型二 存在量词命题的否定 A.x>1,-4=$ Bx<1,x-4$$ C.x1-4=$$ D.x1-4=$$ (2)写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假 ①x=R.2x+1>0 [方法总结2] 1.对存在量词命题否 <0; 定的两个步骤 (1)改变量词:把存在 ③有些分数不是有理数 [方法总结2] 量词换为恰当的全称 量词; (2)否定结论:原命题 中的“有”“存在” 等更改为“没有’ ,不存在”等. 2.要说明一个存在量 词命题是真命题,只 需要找到一个实例 即可. 跟踪训练2 写出下列命题的否定,并判断其真假 (1)有一个奇数不能被3整除 (2)有些三角形的三个内角都是60* (3)x=R.使得lx+1|<1; (4)-xRx+x+3 <0 4 n28 题型三 根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数 取值范围. 等价于命题p为真命题 [方法总结3] [方法总结3] /.命题p与p只能一 真一假,解决问题时 可以相互转化: 2.对求参数范围问 题,往往分离参数。 转化成求函数的最值 问题,如本题分高参 数后,转化成了求二 次数的最值问题 跟踪训练3 已知“习xeR.使得不等式x-4x-a-1<0”不成立,则实数a的取值范围 正确的是 ( ) A.ala<-5 B. ala<-2 C.ala>-5{ D. |ala>-5 随堂检测 重反馈 1.命题p:“存在实数n.使方程x}+mx+1=0有实数根”,则p的否定是 . A.存在实数n.使方程x②}+mx+1=0无实数根 B.不存在实数n.使方程x{}+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数n.方程x}+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m.使方程x*}+mx+1=0有实数根 _ 2.命题“x=R.x-2x+1=0”的否定是 ~ A. x=R.x-2x+10 B.不存在xeR.x-2x+10 C.Vx=R.x'-2x+1=0 D. Vx=R,x-2x+10 3.量词“至多有一个”的否定为 4.已知命题p:习x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则实数a的取值范围是 夯基提能作业 请回学们认真完成练案[9]当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意 因此该命题是假命题 当a0时,A=4+4a>0.解得a-1.且a0. $0.由3a+x-2=0.得3-2=- 综上知,实数a的取值范围是ala-1. -3x2-2-x3. 跟踪训练3:(1)C(2)m0 .-2<3a-2<3,即0<a- 【解析】(1)依题意,方程x-23x+m=0有实数解,则A 故实数a的取值范因是{。0/a) =(-2/3)-4m>0,所以m3,故选C (2)当xeR时,x>0,若“VxeR,mx=0”是真命题,则有m 11.D因为x+3>0.所以A=xlx-3ì.又因为对VaeM. =0. 都有a2A,所以a<-3.故选D 随堂检测 重反情 12.AB 易知选项A、B为真命题;C中命题当x<0时,1xl>x. 1.B 所以C为假命题;D中,由于a-b=2n-3n=-n.'aeN 2.AB A是真命题,由x*=3得x=3,是无理数,所以选项A 时,-n<0..a-b=-n<0.所以对于任意的aeN,都有 为真命题;B是真命题,当x=1时,3x+1=4是整数;C是假 命题,如x=2时,1xl<3;D是假命题,如x-xz. a<b.即ab.故D为假命题. 13.ABD 当A=11.2,B=1.2.3|时,满足条件“x=B,x 3.存在量词命题 假 命题p是存在量词命题,因为方程x4 A".且有AB.AOB= 1.2 :②,则A.B正确:若BA.则 VxeB.都有xeA.与“teB.xA”矛盾,那么B不可能 2x+5=0的判别式2-4x5<0.即方程+2x+5=0无实 根,所以命题,是假命题. 是A的真子集,则C错误;当A= 1.2.B=3.4时满足条 4.1 ①由于Vx=B,都有x>0.因而有+2>2>0.即+2 件“习xeB,xA”且有A0B=,则D正确. >0.所以命题“Vx=R.”+2>0”是真命题.②由于0=N. ,14.a1若p是真命题,则-2x士+a=0,即a→1.若为假 当x=0时,x1不成立,所以命题“VxeN.x1”是假命 题.③当x=y=0时,+y=0,所以③是假命题. 练案[8] 15.Vn=N'且n2.1+2+3+...+n=(1+2+3+..+ 1.C 任意三角形都存在外接圆 n) 根据已知等式可得,对于任意neN且n>2,总有1 2.C 对于③,梯形的对角线不一定相等,如直角梯形的对角线 +2+3+...+n=(1+2+3+..+n),所以得到如下全 显然不相等,故为假命题,其余均为真命题. 称量词命题:Vn=N且n>2.1+2+3+...+n=(1+2 3.B A是全称量词命题;B既是存在量词命题又是真命题;C +3..+n). 中因为/3+(-③)-0.所以C是假命题;D中对于任意一个 16.(1)当m=0时,y=x-a与x轴恒有公共点,所以aeR 负数x,都有-<o.所以D是假命题.故选B. (2)当m0时,二次函数y=mx+x-m-a的图象和x轴 恒有公共点的充要条件是A=1+4(m+a)>0恒成立.即 4.D 全称量词命题含有量词“V”,故排除A.B.又等式a+b} 4m+4am+1=0恒成立. +2ab=(a+b)对于全体实数都成立.故选D. 设y.=4m}+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 象恒在n轴上方(或图象顶点在n轴上)的充要条件是A.= (4a)*-16<0.可得-1<a1. 立,所以存在xeR.使x*+x+1=0是假命题 6.(.3)当a--时,存在两个不相等的正数a. 综上所述,当m=0时,aER; 当m*0时,ae|al-1al. b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对(a,b)为) 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理 3).又如(1.2)等,答案不唯一 明要点 新知初探 7.①③①由于Vx=R,都有x:*三0.因而有x+3>3>0.即x* 知识点一 +30.所以命题“VxeB.x”+3>0”是真命题;②由于0 xeM,一p(x) N.当x:=0时,x>1不成立,是假命题;③由于-1eZ,当x=知识点二 -1时,x<1成立,是真命题:④由于使=3成立的数只有 VxEM,-p(x) 土3,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平 预习自测 方等于3,是假命题. 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数 原命题是全称量词命 8.①③④ ①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积 题,其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数 就相等,但不一定相似;②中,对任意x=R,x+x41=x4 2.B 量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定 后为“它的平方不是有理数”,故选B. 士)3→0.所以不存在实数xo,使+xo+1c0.故②为题型探究提技能 假命题;③中,当实数a大于0时,结论成立,为真命题;④中. 例1:(1)D(2)见解析 【解析】 如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④. (1)全称量词命题的否定是存在量词命题.VxeA. 9.(1)是存在量词命题,因为当x+y=0时,x=y=0,所以不 2=B的否定:x三A.2x廷B. 存在x,y为正实数,使x+y=0,故此命题是假命题. (2)①该命题的否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平 (2)是全称量词命题,有两个角是45*的三角形,第三个角必 行,因为平行四边形的两组对边都平行,所以这是一个假 是直角,所以此三角形是等腰直角三角形,故此命题是真 命题. 命题. ②该命题的否定:习aeR,方程x?+ax+2=0没有实数根.当 (3)是全称量词命题,因为25能被5整除,但末位数不是0. a=0时,方程x^{}+2=0没有实数根,所以这是一个真命题. -319- ③该命题的否定:习a,beR,使方程ax=b的解不唯一或不存在。 0.是真命题.3xeR.2x+1为奇数的否定:Vx=R.2x+1都 当a=0,b=1,方程ax=b的解不存在,所以这是一个真命题 不是奇数,是假命题 ④该命题的否定:存在可以被5整除的整数,末位不是0;15 5.ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为 是可以被5整除的整数,但末位不是0.所以这是一个真 全称量词命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C 命题。 错误。 跟踪训练1:(1)该命题的否定:xe -2.-1.0.1.2.1x-216.a.beB.方程ax+b=2无解或至少有两解 27j:a.6= 2. R.方程ax+b-2无解或至少有两解. (2)该命题的否定:存在一个实数除以1,不等于这个数 7.{mn 命题“习x{=-1.+c0”是假命 (3)该命题的否定:存在一个分数不是有理数 (4)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似 题,即命题的否定为真命题.其否定为:“Vxe[x=-1. 例2:(1)D(2)见解析 【解析】 (1)命题p:习x>1,2-4<0的否定是:Vx>1,x} x+n→0”,解得n -40.故选D. (2)①VxeR,2x+1c0.为假命题.②VxeR.-x+4= 8.存在量词命题 假 VxeR,x2+2x+5>0 命题p:x= R.2+2x+5<0是存在量词命题.因为}+2x+5=(x+1)} 0.因为x-x+-(-)=0.所以是真命题.③一切分 +4>0恒成立,所以命题p为假命题.命题,的否定为Vx= R.x+2x+5>0. 数都是有理数,是真命题 9.(1)至少存在一个正方形不是矩形,假命题 跟踪训练2:(1)该命题的否定:任意一个奇数都能被3整除.这 (2)对任意x=R.+1-0.假命题. 个命题是假命题,如5是奇数,但5不能被3整除. (3)所有的四边形都有外接圆,假命题 (2)该命题的否定:任意一个三角形的三个内角不都是60。 10.(1)该命题是全称量词命题,是真命题.该命题的否定:存在 这个命题是假命题,如等边三角形的三个内角都是60. 一个非空集合,空集不是该集合的真子集. (3)该命题的否定:VxeR,有1x+11>1.这个命题为假命 (2)该命题是全称量词命题,是真命题.该命题的否定:存在 题,如:=0时,不满足x+11>1. 一对等圆,其面积不相等或周长不相等. (3)该命题是存在量词命题,是真命题,因为当x=1时,1x- 21=1<2.该命题的否定:Vx=1-2.-1.0.1.21.1x-21 3-(2)=>0.这个命题是真命题. ,2 例3:因为-1p为假命题,所以命题p:VxeR,m+x2-2x+5>0 11.AC因为命题p:“VxeR.”+1:0”的否定是“3xeR.) 为真命题,m+x-2x+5>0可化为m-x2+2x-5=-(x +1=0”.且p为真命题,则一p是假命题.故选AC. -1)-4.即m>-(x-1)-4对任意x=R恒成立,只需m 12.B 对于p而言,取x=-1,则有1x+11=0<1.故j是假命 >-4即可,故实数m的取值范围为mm>-4. 题,p是真命题,对于a而言,取x=1,则有=1=1=x. (说明:本题也可利用二次函数v=x-2x+5+m的图象恒在 故a是真命题,y是假命题,综上,一p和a都是真命题,故 x辅上方,转化为对应方程A0进行解题) 选B. 跟踪训练3:A 因为“习x=B.使得不等式x-4x-a-1<0” 13.习a>0,关于x的方程+ax+1=0没有实数解 不成立,则不等式x-4x-a-1=0对Vx=R恒成立,等价 14. ala>4VxeR,x?-4x+a0 若命题p为假命题,则 于x=R时a(}-4x-1)恒成立,因为(x-4x-1)= -p:VxeR.x*-4x+a:0为真命题,则A=(-4)-4a< -5..a-5.故B、C.D不正确.故选A. 0.解得a>4. 随堂检测 重反馈 15.命题“习m=R,使得AOB:②”为假命题,则其否定“Vme 1.C 命题,是存在量词命题,其否定形式为全称量词命题,即 R,A0B=②”为真命题. 对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 当ac0时,集合A=xl0xal=. 2.D 存在量词命题的否定是全称量词命题,故排除A;由命题 符合A0B=②,当a0时,因为m+30 的否定要否定结论,可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 所以由Vm=R.AOB=. 词“V”,可排除B 得an+3对于VmeB恒成立, 3.至少有两个 当nR时,有n+33.所以a<3.则0a3 4. ala1因为p为假命题,所以-p为真命题,所以Vx> 综上,实数a的取值范围为ala<3. 0.x+a-I0,即x1-a,所以1-a0,即a>1. 16.命题p的否定为:“V1<x<2.使得x”+2ax+2-a<0”. 练案[9] 设y=x+2ax+2-a.1<x<2. 1.C 原命题是全称量词命题其否定是"xeR.lx1+x<0”. 1444a42-a0. 2.B 根据全称量词命题的否定是存在量词命题,:.命题p:所 因为命题,为真命题,所以p的否定为假命题 有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做 所以a>-3,即a的取值范围是a>-3. 第1题.故选B. 章末复习与总结 3.C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全 例:(1)C 称量词命题,再否定命题结论.故选C. (2)C ) 由题意,有理数是实数的否定:有些有理数不是实数 【解析】 4. ABD (1)①当x=0时,y=0,1.2.此时x-y的值分别为 是假命题.有些四边形不是菱形的否定;所有的四边形都是菱 0.-1,-2;②当x=1时,y=0.1,2,此时x-y的值分别为1. 形,是假命题.Vx=R,-2x>0的否定:习x=R.-2x 0.-1;③当x-2时,v=0.1.2,此时x-v的值分别为2.1.0. -320-