1.5.1 全称量词与存在量词(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

021 随堂检测重反馈 1.(2023·天津高考)“a2=b2"是“a2+b=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是 ( A.a≥3 B.a≤-1 C.-1≤a≤3 D.a≤3 3.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[7] 1.5 全称量词与存在量词 新课程标准解读 学科核心素养 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义， 数学抽象、逻辑推理 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1全称量词与存在量词 教材梳理明要点 ●情境导入 “我们学校举行的中学生机器人大赛中，共有100名同学参赛，所有 参赛同学都学习过编程，至少有20名同学来自高一年级，每一个同学都 信心十足.” 问题： [提示] 上述报导中的短语：“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为什么？ “所有”·至少有” 含有这些短语的命题称作什么命题？ 。[提示] 和·每一个”，在逻辑 上称为量词，含有这 e新知初探 些短语的命憩称作全 知识点一全称量词与全称量词命题 称量词命题或存在量 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做 词命题 量词，并用符号“ ”表示 2.全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题， 3.全称量词命题的表述形式：“对M中任意一个x,P(x)成立”，可用符号简记 为 4.全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集 合M中的每个元素x,证明(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命 题，只需列举出一个x∈M,使得p(x)不成立即可. 022 注意：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出 来例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形 的对角线都互相平分” 知识点二存在量词与存在量词命题 1,存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫 做 量词，并用符号“ ”表示 2.存在量词命题：含有 的命题，叫做存在量词命题， 3.存在量词命题的表述形式：“存在M中的元素x,使p(x)成立”，可用符号 [知识点反思] 简记为 全称量词命题与存在4.存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集 量词命稳的区别 合M中，能找到一个元素x,使p(x)成立即可：否则这一命题就是假命题。 1.全称量词命恩中的 全称量词表明给定范 ●[知识点反思] 图内所有对象都具有 日预习自测 某一性质，无一例外， 1,下列命题中全称量词命题的个数是 ( 强调·整体、全 部”： ①任意一个自然数都是正整数②有的矩形是正方形③三角形的内角 2.存在量词命题中的 和是180° 存在量词表明给定范 A.0 B.1 C.2 D.3 围内的对象有例外，强2.下列语句中，是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 调·个别、部分”， ①菱形的四条边相等： ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形： ③负数的立方根不等于0： ④至少有一个负整数是奇数： ⑤所有有理数都是实数吗？ 题型探究提技能 [方法总结1] 题型一全称量词命题与存在量词命题的判断 判断一个语句是全称 量词命题还是存在量 词命题的步张 例 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. 判 (1)梯形的对角线相等： 列断该语句是否 题 为命题 (2)存在一个四边形有外接圆： (3)二次方程都存在实数根： 看命题中是否舍 看有量词或隐合量 (4)过平面内两点有且只有一条直线. [方法总结1] 同，判断量词或隐 词 含量词是全称量 词还是存在量词 含有全称量词的 下命题称为全称量 结词命题。含有存在 论量词的命题称为 存在量同命避 ●023 踉踪训练1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°： (2)矩形的对角线不相等； (3)有些实数a,b能使1a-b1=Ial+1b1: (4)方程3x-2y=10有整数解. [方法总结2] 判断全称量词命题 和存在量词命题真 假的方法 1.要判断一个全称量 词命题为真，必须 满足集合中的每一 个元素x,使命避 p(x)为真：但要判断 题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 一个全称量词命总 例2判断下列命题的真假 为假时，只要在给 定的集合中找到一 (I)VxcR.+1>: 个元东x,使命题 px)为假： (2)3x,B∈R,(a-B)2=(a+B)2: 2.要判断一个存在量 (3)存在一个数既是偶数又是负数： 词命题为真，只要 (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示： 在给定的集合中找 (5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立 ●[方法总结2] 到一个元素x,使命 题p(x)为真；要判断 一个存在量词命题 为假，必须对给定 集合中的每一个元 素x使命题px) 为假， )】踉踪训练2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数： (3)3x,yeZ,使3x-4y=20: (4)任何数的0次方都等于1. 024 题型三全称量词命题与存在量词命题的应用 [方法总结3] 例 3.(1)已知集合A={xI1≤x≤2，若命题“Hx∈A,一次函数y=x+m的 解决含有量词的命题 图象在x轴上方”是真命题，求实数m的取值范围. 求参数范围问题的 等价于函致y=x+m的最小值大于0 思路 1.全称量词命题求参 (2)若命题“3x∈R,使得方程x2+2x-1=0成立”是真命题，求实数 数范围的问题，一 a的取值范围. . 即关于x的方程ax2+2x-1=0有实致根 般在邈目中会出现 ●[方法总结3] “恒成立”等词语 可构造函数，利用 数形结合求参数范 图，也可用分离参 数法求参数苑国： 2,存在量词命题求参 数苑国的问慰中常 出现·存在”等词 语，迪常是假设存 在满足条件的参 数，然后利用条件 求参数范围，若能 求出参数范围，则 假设成立：反之， 】踉踪训练3 假设不成立，解夹有 关存在量词命题的 (1)已知命题p:“3x∈R,x2-2v3x+m=0”是真命题，则实数m的取值范围 参数取值范因问题 是 时，应尽量分禹参 A.m<3 B.m>3 C.m≤3 D.m≥3 数 (2)已知命题p:“Hx∈R,m.x2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是 随堂检测重反馈 1.下列命题是全称量词命题的是 A.有的三角形是等边三角形 B.所有2的倍数都是偶数 C.有一个实数，使1x|≤0 D.至少有一个x∈{x|x是无理数}，x2是无理数 2.(多选)下列命题中是真命题的是 () A.3xER.x=3 B.3xeR,3x+1是整数 C.x∈R.lx>3 D.Hx∈Q,x2eZ 3.命题p:3x∈R,x2+2x+5=0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)， 它是 命题（填“真”或“假”） 4.已知下列命题：①Vx∈R,x2+2>0:②Hx∈N,x≥1：③对任意实数x,y,都有x2+y2≠0.其中真 命题的个数为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8]所以AUB=R的一个充分不必要条件可以是b>-1. ,m0. 10.①当a=0时,解得x=-1.满足条件; 则有 1-m-2.解得0<m<3. ②当a0时,显然方程没有零根,若方程有两异号实根,则 11+m6. aco; 所以,实数m的取值范围是0<m多3 若方程有两个负的实根. 若选择条件③,即xeA是x=B成立的充要条件,则集合A等于 集合B. 一#0翻 则必须满足 所以,不存在满足条件的实数n &-1-4a=0, 1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词 反之,若a一,则方程至少有一个负的实根 教材梳理 明要点 因此,关于x的方程ax{}+x+1=0至少有一个负实根的充 新知初探 要条件是a 知识点一 1.全称 V 2.全称量词 3.VxeM.p(x) 11.C 因为lal→a.所以若a>b+1.则lal>b+1.充分性成 知识点二 立,故A错误;因为xl1<x<2xl2x>1,所以p是成 1.存在 3 2.存在量词 3. 3xeM.p(x) 立的充分不必要条件,故B错误;因为ala>0ala+l 预习自测 >0,所以“a>0”是“a41>0”的充分不必要条件,故C正 确;若”x=-1”是“x<a”的必要不充分条件,则ìxlx<al 1.C ①③是全称量词命题 2.①②③ ④ ①②③是全称量词命题;④是存在量词命题; -1 .则不存在这样的a.故D错误. 不是命题 12.AB 由不等式1lxl<4.解得-4/x-1或1x 4. 题型探究 提技能 4.不等式1<Ixl<4成立的充分不必要条件为A.B.故选AB. 例1:(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显 13.C 命题“Vx=xl1<x<2l,x-a0”为真命题,可化为 然为全称量词命题. Vxexl1<x2l,x恒成立,即只需a()=4.即 (2)命题为存在量词命题 “Vxexl1<x2,x?-a0”为真命题的充要条件为a (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”,故 4.而要找的一个充分不必要条件即为集合ala>4的真子 为全称量词命题 集,由选择项可知C符合题意 (4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写。 14.3或4 易得方程-4x+m=0的根为x-416-4n 故为全称量词命题 2 跟踪训练1:(1)可以改为:所有的凸多边形的外角和等于360*. 2+4-m,因为x是整数,即2+ 4-m为整数,所以 故为全称量词命题. (2)可以改为:所有矩形的对角线不相等,故为全称量词 4-m为整数,且m与4.又meN',所以m的值可取1.2. 命题 3.4.验证可得m=3或m=4符合题意,反之,当n=3或m (3)含存在量词“有些”,故为存在量词命题 =4时,可以推出一元二次方程x-4x+n=0有整数根 (4)可改写为:存在一对整数x.y,使3x-2y=10成立.故为 $5.(1)当a=2时,A= xil1<x7l,则AB=xl1x4ì; 存在量词命题 C A=|xlx<1或x7|.fB= xl<-2或x>4. 例2:(1)真命题,因为x=0,所以+1=1.x*+1>-恒成立。 $ A)(B)=xl -2或x>7. (2).xeA是xeB成立的充分不必要条件.:.AB (2)真命题,例如a=0.B=1,符合题意 ①若A=,则a-1>2a+3,解得a<-4; (3)真命题,如数-2,一4等,既是偶数又是负数 -1c2a+3. (4)假命题,如:边长为1的正方形的对角线长为2,它的长 ②若A,由AB,得a-1-2. 度就不是有理数 l2+34. (5)假命题.因为该方程的判别式A三-31<0.故无实数解 且a-1=-2与2a+3<4不同时取等号; 跟踪训练2:(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序 解得-1<a 实数对(x.y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,所以 该命题是真命题. 综上:a的取值范围是[。 a<-4或-1<a=1. (2)存在量词命题,存在一个实数零,它的绝对值不是正数, 所以该命题是真命题 16.若选择条件①,即xeA是xeB成立的充分不必要条件,集 (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时,3x0-4x(-5)=20 合A是集合B的真子集. 成立,所以该命题是真命题. -m0. 则有 1-m-2.且1-m-2与1+m>6不同时取等号;解 例3:(1)当1<x52时,1+mx+<2+m,因为一次函数y= (4)全称量词命题.0的0次方无意义,所以该命题是假命题 L1+n=6. x+n的图象在x轴上方, 得m>5.所以.实数m的取值范围是m5. 所以1+m0.即m>-1,所以实数m的取值范围是mlm> 若选择条件②,即xeA是xeB成立的必要不充分条件,集 -1 合B是集合A的真子集. (2)由题意得,关于x的方程ax*+2x-1=0有实数根. -318- 当a=0时,方程为2x-1=0,显然有实数根,满足题意 因此该命题是假命题 当a0时,A=4+4a>0.解得a-1.且a0. $0.由3a+x-2=0.得3-2=- 综上知,实数a的取值范围是ala-1. -3x2-2-x3. 跟踪训练3:(1)C(2)m0 .-2<3a-2<3,即0<a- 【解析】(1)依题意,方程x-23x+m=0有实数解,则A 故实数a的取值范因是{。0/a) =(-2/3)-4m>0,所以m3,故选C (2)当xeR时,x>0,若“VxeR,mx=0”是真命题,则有m 11.D因为x+3>0.所以A=xlx-3ì.又因为对VaeM. =0. 都有a2A,所以a<-3.故选D 随堂检测 重反情 12.AB 易知选项A、B为真命题;C中命题当x<0时,1xl>x. 1.B 所以C为假命题;D中,由于a-b=2n-3n=-n.'aeN 2.AB A是真命题,由x*=3得x=3,是无理数,所以选项A 时,-n<0..a-b=-n<0.所以对于任意的aeN,都有 为真命题;B是真命题,当x=1时,3x+1=4是整数;C是假 命题,如x=2时,1xl<3;D是假命题,如x-xz. a<b.即ab.故D为假命题. 13.ABD 当A=11.2,B=1.2.3|时,满足条件“x=B,x 3.存在量词命题 假 命题p是存在量词命题,因为方程x4 A".且有AB.AOB= 1.2 :②,则A.B正确:若BA.则 VxeB.都有xeA.与“teB.xA”矛盾,那么B不可能 2x+5=0的判别式2-4x5<0.即方程+2x+5=0无实 根,所以命题,是假命题. 是A的真子集,则C错误;当A= 1.2.B=3.4时满足条 4.1 ①由于Vx=B,都有x>0.因而有+2>2>0.即+2 件“习xeB,xA”且有A0B=,则D正确. >0.所以命题“Vx=R.”+2>0”是真命题.②由于0=N. ,14.a1若p是真命题,则-2x士+a=0,即a→1.若为假 当x=0时,x1不成立,所以命题“VxeN.x1”是假命 题.③当x=y=0时,+y=0,所以③是假命题. 练案[8] 15.Vn=N'且n2.1+2+3+...+n=(1+2+3+..+ 1.C 任意三角形都存在外接圆 n) 根据已知等式可得,对于任意neN且n>2,总有1 2.C 对于③,梯形的对角线不一定相等,如直角梯形的对角线 +2+3+...+n=(1+2+3+..+n),所以得到如下全 显然不相等,故为假命题,其余均为真命题. 称量词命题:Vn=N且n>2.1+2+3+...+n=(1+2 3.B A是全称量词命题;B既是存在量词命题又是真命题;C +3..+n). 中因为/3+(-③)-0.所以C是假命题;D中对于任意一个 16.(1)当m=0时,y=x-a与x轴恒有公共点,所以aeR 负数x,都有-<o.所以D是假命题.故选B. (2)当m0时,二次函数y=mx+x-m-a的图象和x轴 恒有公共点的充要条件是A=1+4(m+a)>0恒成立.即 4.D 全称量词命题含有量词“V”,故排除A.B.又等式a+b} 4m+4am+1=0恒成立. +2ab=(a+b)对于全体实数都成立.故选D. 设y.=4m}+4am+1,则可转化为此关于m的二次函数的图 象恒在n轴上方(或图象顶点在n轴上)的充要条件是A.= (4a)*-16<0.可得-1<a1. 立,所以存在xeR.使x*+x+1=0是假命题 6.(.3)当a--时,存在两个不相等的正数a. 综上所述,当m=0时,aER; 当m*0时,ae|al-1al. b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对(a,b)为) 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理 3).又如(1.2)等,答案不唯一 明要点 新知初探 7.①③①由于Vx=R,都有x:*三0.因而有x+3>3>0.即x* 知识点一 +30.所以命题“VxeB.x”+3>0”是真命题;②由于0 xeM,一p(x) N.当x:=0时,x>1不成立,是假命题;③由于-1eZ,当x=知识点二 -1时,x<1成立,是真命题:④由于使=3成立的数只有 VxEM,-p(x) 土3,而它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平 预习自测 方等于3,是假命题. 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数 原命题是全称量词命 8.①③④ ①为真命题,只要找出等底等高的两个三角形,面积 题,其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数 就相等,但不一定相似;②中,对任意x=R,x+x41=x4 2.B 量词“存在”改为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定 后为“它的平方不是有理数”,故选B. 士)3→0.所以不存在实数xo,使+xo+1c0.故②为题型探究提技能 假命题;③中,当实数a大于0时,结论成立,为真命题;④中. 例1:(1)D(2)见解析 【解析】 如1的倒数是它本身,为真命题,故填①③④. (1)全称量词命题的否定是存在量词命题.VxeA. 9.(1)是存在量词命题,因为当x+y=0时,x=y=0,所以不 2=B的否定:x三A.2x廷B. 存在x,y为正实数,使x+y=0,故此命题是假命题. (2)①该命题的否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平 (2)是全称量词命题,有两个角是45*的三角形,第三个角必 行,因为平行四边形的两组对边都平行,所以这是一个假 是直角,所以此三角形是等腰直角三角形,故此命题是真 命题. 命题. ②该命题的否定:习aeR,方程x?+ax+2=0没有实数根.当 (3)是全称量词命题,因为25能被5整除,但末位数不是0. a=0时,方程x^{}+2=0没有实数根,所以这是一个真命题. -319-