1.4.2 充要条件(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

m18 1.4.2 充要条件 教材梳理 明要点 情境导入 A B [提示] 由于命题‘如果开关 A闭合,那么灯B 亮”是真命题,它的 逆命题 如果灯B 亮,那么开关A闭 问题: 合’也是真命题,所 “开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢? 以“开关A闭合”既 [提示] 是“灯B亮'的充分 新知初探 条件,也是·灯B 亮”的必要条件. 知识点一 充要条件 一般地, 条件,简称为 (1)如果pq且q→p,则称p是y的 条件; [知识点反思1] (2)如果pg且ap,则称p是a的充分不必要条件; “p是9的充要条 (3)如果pq且q→p,则称p是a的必要不充分条件; 件”,可记作pq. 读作p与。等价:也 (4)如果p右a且qp.则称p是a的既不充分也不必要条件 可以说成“p成立当 [知识点反思1] 且仅当。成立”或“。 成立当且仅当P成 知识点二 用集合的观点理解充分条件与必要条件 立”. P:A=xlp(x)成立,q:B=lxlq(x)成立 . 若ACB,则p是v的充分条件; 若AB,则p是?的充分不必要条件 若BCA,则p是y的必要条件; 若BA.则p是a的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 预习自测 1.设a.b.c分别是△ABC的三条边,且a<b<c.则“a^{}+b}=c^{”是“△ABC为 ( 直角三角形”的 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 □19 2.下列各题中,p是a的充要条件的是 .(填序号) (1)p:3x+2>5.q:-2x-3<-5; (2)p:a>2,b<2,q:a>b; (3)p:四边形的两条对角线互相垂直平分,o:四边形是正方形; (4)p:a:0,g:关于x的方程ax=1有唯一解 题型探究 提技能 题型一 充要条件的判断 例 1$. (1)已知集合A=xlx=3k,kEN ,B=xlx=6,z EN ,"xEA”是 “xEB"的 条件 ~ A.充分不必要 B.必要不充分 [方法总结1] C.充要 D.既不充分也不必要 判断充分条件、必要 (2)判断下列各题中,p是。的什么条件(在“充分不必要条件”“必要 茶件及充要茶件的四 不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种 种方法 1.定义法:直接判断 作答). “若p,则。”以及 ①p:lxl=lyl,q:=; “若则p”的 ②p:△ABC中,AB>AC,q:△ABC中,C→乙B; 真假; ③p:ACB.q:AUB=B: 2.集合法:即利用集 合的包含关系判断; ④p:两个三角形全等,:两个三角形面积相等。 [方法总结1] 3.等价法:即利用p a与q一p的等价关 系,对于条件和结论 是否定形式的命题。 一般运用等价法; 4.传递法:充分条件 和必要条件具有传递 性,即由P一P一” →P可得p→p。; 充要条件也有传递性. 踪训练1 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 _ C.a②+62-0 A.ab=0 B.ab>0 D.a②+b>0 (2)如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 ) A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分又不必要条件 n20 题型二 充要条件的证明 ac<0. [方法总结2] [方法总结2] 充要条件的证明策略 1.要证明一个条件P 是否是?的充要条 件,需要从充分性和 必要性两个方向进 行,即证明命题·若 p. 则q”为真且·若 a,则p”为真; 2.在证明的过程中也 跟踪训练2 可以转化为集合的思 证明:△ABC是等边三角形的充要条件是a}+b}+c{}=ab+ac+bc,这里a 想来证明,证明p与 b.c是△ABC的三条边的边长 9的解集是相同的. 证明前必须分清楚充 分性和必要性,即搞 清楚由哪些条件推证 到哪些结论. 题型三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 3.已知p:x-2>0.g:ax-4>0.其中aeR且a≠0 [方法总结3] (1)若p是a的充分不必要条件,求实数a的取值范围; 答价于A二B 应用充分不必要,必 (2)若p是a的必要不充分条件,求实数a的取值范围 等价于BA 要不充分及充要条件 求参数值(范围)的一 ①p对应的集合A是a对应的集合B的真子集 般步骤 ②q对应的集合B是p对应的集合A的真子集 1根握已知格充分不 [方法总结3] 必要条件、必要不充 分条件或充要条件转 化为集合间的关系; 2.根据集合间的关系 构建关于参数的方程 (组)或不等式(组) 求解。 跟踪]练3 (1)已知p:-1<x<3,q:-1<x<m+1,若a是p的必要不充分条件,则实数 m的取值范围是 (2)已知xeR,p;x}<x,q:x-a<0.若p是q的充分不必要条件,则实数a的 取值范围是 02 随堂检测 重反馈 1.(2023·天津高考)“a^{}=b^{}”是“a{}+b^{}=2ab”的 1 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 ( 2.若“x<a”是“x>3或x<-1”的充分不必要条件,则a的取值范围是 ) A.a>3 B.a<-1 C.-1<a<3 D.a<3 3.若“x>2”是“x>n”的必要不充分条件,则n的取值范围是 4.二次函数v=x{}+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 夯基提能作业 请同学们1认真完成练案[7] 1.5 全称量词与存在量词 新课程标准解读 学科核心素养 通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象、逻辑推理 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1 全称量词与存在量词 教材梳理 明要点 情境导入 “我们学校举行的中学生机器人大赛中,共有100名同学参赛,所有 参赛同学都学习过编程,至少有20名同学来自高一年级,每一个同学都 信心十足。” 问题: [提示] 上述报导中的短语:“所有”“至少有”和“每一个”,在逻辑上称为什么? “所有”·至少有” 含有这些短语的命题称作什么命题 D[提示] 和“每一个”,在逻辑 上称为量词,含有这 新知初探 些短语的命题称作全 知识点一 全称量词与全称量词命题 称量词命题或存在量 1.全称量词:短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做 词命题. 量词,并用符号“ ”表示。 2.全称量词命题:含有 的命题,叫做全称量词命题 3.全称量词命题的表述形式:“对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记 为 4.全称量词命题的真假判断:要判断一个全称量词命题是真命题,需要对集 合M中的每个元素x.证明p(x)成立;但要判断一个全称量词命题是假命 题,只需列举出一个xEM,使得p(x。)不成立即可.条件 (2)因为x2>1→x>1或x<-1,所以=→q,且9≠n (2)因为一元二次方程x2-r+1=0有两个正实数根，所以 所以p是g的充分条件，但p不是g的必要条件 A=公-4≥0，解得4≥2.故一元二次方程-m+1=0有 (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三 lx1+x3=a>0, 角形，即p台g,且=p, 两个正实数根的一个充分条件可以为>3：一元二次方程 所以p不是q的充分条件，但是9的必要条件 -x+1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>-1. (4)出Venn图（如图）可得. 例4：(1)p:3n<x<a,a<0,即集合A=xl3n<x<a,a<01, 结合图形可知，A∩B=A→ACB一CBG 9:-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3.因为p→g,所以 ACB, 反之也成立.所以严是？的充分条件，且P 3a≥-2. 是？的必要条件 2 所以{a≤3，→- ≤<0，所以a的取值范围是 10.(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件， a<0 则只要{<-受}<-1，或>3引， {-子≤a<0} 2 即只需-受≤-1，所以m≥2 (2)因为“x∈P”是“xeQ”的必要条件，所以QCP, 所以4化5断以-1a 故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分 条件 即a的取值范围为al-1≤a≤5引. (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要 跟踪训练4：(1)由已知条件知引x|x<m}GxIx>2或x<1l 1<-1,或>3引S{<-受，这是不可能的 所以m≤1.所以m的取值范围是mm≤1， 故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要 (2)由已知条件得xx>a二|xx<-3,或x>1,所以a≥1. 条件 所以a的取值范围是ala≥1. 11.B对于选项A,当x=1,y=1时，满足x+y=2,但命题不成 随堂检测重反馈 立：对于选项C,D,当x=-2,y=-3时，满足x2+y2>2,xy 1.Aa=1曰lal=1:lal=1≠a=1,所以选A >1,但命题不成立，也不符合题意 2.B因为P是g的充分条件，所以P→9，所以g是P的必要条12.A因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A.所以ACB,所 件，故选B. 以3≤m+1,即m≥2 3.(1)少(2) 13.①3④0 【解析】(1)命题“若x2=1,则x=1"是假命题，故x2=1≠14.ala≤1|由1-x<0得x>1,设A=xlx>1,B=xlx x=1. >a,p是q的充分条件，ACB,六a≤1 (2)命题“若a,b都是偶数，则：+b是偶数”是真命题，故，b15.令A=xlx>2或x<-1, 都是数→+b是偶数 4.fal-2≤a≤71因为V是M的必要条件，所以MCN于是 由4+p<0,得B={<-号} 0-1≥。3，从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 la+1≤8. 当B≤A时，即-子≤-1，即p≥4， al-2≤a≤7l 此时x<-子≤-1曰>2或x<-1, 练案[6] .当p≥4时4x+p<0是x>2或x<-1的充分条件 1AC由“集合P是集合Q的子集"可推出PnQ=P,PUQ= 16.(1)由题意得到A=x1≤x≤51， Q,推不出P∩Q=⑦.PUQ=P 由“x∈A”是“xEB”的充分条件可得ASB. 2.B由(a+b)·(a-b)=0知，a=b或a=-b,所以p台9,9 →p,所以p是g的必要条件 则：2.期得a≥2， 放实数a的取值范而是1ala≥2. 3.A设n所对应的集合为A,q所对应的集合为B,则p成立的 充分条件是g,转化为BCA,所以不等式0<x<2成立的充分 (2)由“x后A”是“xEB”的必要条件可得BGA, 条件对应的集合是集合x0<x<2!的子集，根据选项，只有 当B=⑦时，2-a>1+2a,即a<了时，满足题意， A符合要求 4.A由题意可知，好货一→不便宜，故选A 当B≠0时即a≥宁时则5. 5.A两个有理数的乘积仍为行理数，故“x,y∈Q”→”y∈Q”, 反之，当x=y=2,y=2eQ,但x毫Q,yQ.故“xy∈Q”≠ 解得了≤a≤1.综上a≤l, “x,y∈Q”.所以“x,y∈Q”"是“xy∈Q”的充分条件 放实数a的取值范围是ala≤1 6.充分必要因为一g,所以P是9的充分条件，9是P的必 1.4.2充要条件 要条件. 7.①③②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②错误：①③ 教材梳理明要点 正确. 新知初探 8.{ala>2}“B的充分条件是A”,即A是B的充分条件，得A知识点 =B,即A二B,得a>2. 充分必要 充要 9.(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立 预习自测 即P=9,4台P, 1.C2+B=台△ABC为直角三角形，故选C 所以P是q的充分条件，但P不是9的必要条件 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,P9,所以p是9的充要 316- 条件.对于(2)，P→4，但？≠P,所以P是9的充分不必要条 件，对于(3)，p今4，但一p,所以P是g的必要不充分条件 ①当a>0时，由B车4，得子>2，解得0<a<2 对于(4)，显然p一9，所以P是q的充要条件。 ②当4<0时，显然不满足题意. 题型探究提技能 综上，实数a的取值范围为al0<a<2 例1：(1)B(2)见解析 跟踪训练3：(1)mlm>2(2)|ala≥1 【解析】(1)因为A={xlx=3站，keN,B={xx=6:,:N 【解析】(1)由题意，P:-1<x<3,9:-1<x<m+1,因为9 =xlx=3×2:,∈N,所以B军A,所以“xEA“是“x∈B”的 是p的必要不充分条件，即xl-1<x<3手x-1<x<m 必要不充分条件 +1,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范国是m1m (2)①周为1x=y时，x=±y,不一定有x2=y,而x=y3时 >2|. 一定有x=y,必有x=yl,所以P是q的必要不充分条件 (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1,由x-a≤0，得x≤ ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知甲是9的 a.设A=x0<x<1|,B=xlx≤a,p是g的充分不必要 充要条件 条件，∴AB,a≥l,故实数a的取值范国是ala≥l, ③若A二B,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有 随堂检测重反馈 ACB,故P是q的充要条件 L.B由a2-2,得a=±b,当a=-b时，a2+≠2ad由a2+ ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形而积相等 6=2ab,得(a-b)2=0,所以a=h.所以“a2=6"是“a2+b (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 =2b"的必要不充分条件，故选B 等，故P是q的充分不必要条件. 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1"的充分不必要条件，放m 跟踪训练1：(1)D(2)A ≤-1. 【解析】(1)a2+6>0,则，b不同时为零：，b中至少有 3.mm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件.所以 个不为零，则a2+62>0. xx>m是x|x>2的真子集，所以m>2, (2)如图所示，甲是乙的必要条件，乙 4.m=-2函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则 三甲.又，丙是乙的充分条件，但不是乙的 必要条件，∴两曰乙，但乙台丙.综上，有丙 -号=1，即m三-2：反之，若m=-2.则y=-2x+1的图 →乙一甲，甲中丙，即丙是甲的充分条件，因 象关于直线x=【对称 但不是甲的必要条件 例2：设P:ac<0,q:关于x的方程ar2+br+e=0有一正根和 练案[7] 负根。 1.A设A=xI1<x<2,B=x|x≤2，A军B.故“1<x<2"”是 (1)充分性(P→q): “x≤2”的充分不必要条件 若ac<0成立，则关于x的方程a+x+c=0的判别式4=2.A若x=1,则x2-2x+1=0:若x2-2x+1=0,即(x-1)2= 6-4c>0,且两根之积二<0，所以关于x的方程a+bx+ 0,则x=1故“x=1“是“2-2x+1=0”的充要条件 c=0有一正根和一负根成立，即充分性成立 3.A{xx<-1{xx> 2或x<-1所以1xx<-1" (2)必要性(g=p): 若关于x的方程x°+bx+e=0有一正根和一负根成立，则两 是>或x<-的分不必要条件，故选八 根之积二<0， 4.B由AnB=AnC,若A=O,则不一定有B=C,反之，由B =C,一定可得AnB=AnC.所以“AnB=AnC"是“B=C 所以ae<0成立，即必要性成立. 的必要不充分条件 由(1)(2)可得，一元二次方程2+bx+c=0有一正根和一 5.A当B=90°或C=90°时，△ABC为直角三角形，但不能推 负根的充要条件是c<0. 出AB+AC=BC,故选A. 跟踪训练2：(1)充分性（由a2++2=山+a0+c=△ABC为6.②④由2≠1→x≠1x≠1中x2+1,即x+1是x41的充 等边三角形)： 分不必要条件，故①不正确.②正确.③中，由y=0≠x=0 因为a2+b2+c2=ab+ae+bc.所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ae 且y=0.则不正确.④正确. +2. 7.a<8因为P:x<8,g:x<a,且g是P的充分而不必要条件， 即(a-b)2+(a-e)2+(b-e)2=0 所以a<8, 所以a=ba=c,b=e,即a=b=e,故△ABC为等边三角形： (2)必要性（由△ABC为等边三角形→a2+B+e2=ab+ae+ 8或 p:x2+x-6=0,即x=2或x=-3.q:r+1=0,4 bc）: 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 0.即x=-十由题意知p力9，g→p,所以有-。=2或 所以a2+b2+c2=32,ab+e+c=3a2,故a2+62+c2=ab+ 1 ac be. =-3.解得a=-或a=子综上可知，a=-号 综上可知，命题得证 例3：设P对应的集合为A=1xx-2>0,即A=xx>2. 或 q对应的集合为B=x1x-4>0川 9.集合A=xlx>-21,B=xlx≤b,b后R, ra>0. (1)若AUB=R.则b≥-2， (1)因为P是g的充分不必要条件，所以A=B,即4 故AUB=R的一个充要条件是b≥-2. <2 (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2 解得a>2,故实数a的取值范围为1ala>2。 所以AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3. (2)因为P是q的必要不充分条件，所以B军 (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥-2： 317