1.4.1 充分条件与必要条件(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

014 随堂检测重反馈 1.已知全集U={0,1,2,且CA=2,则A= A.{0 B.1 c.0 D.10,1 2已知全集U=R,集合A={yly=x2+3,xeR,B=xl-2<x<4,则图U 中阴影部分表示的集合为 ) A.{x|-2≤x≤3 B.{xl-2<x<3 .{x|-2<x≤3 D.{xl-2≤x<3 3.(2022·北京卷改编)已知全集U={x1-3<x<3},集合A={x|-2<x ≤1{，则CA= A.{xl-2<x≤1 B.{xl-3<x<-2或1≤x<3 C.{xl-2≤x<1 D.{x|-3<x≤-2或1<x<3} 4.设全集U=n∈NI1≤n≤10,4=1,2,3,5,8，B=1,3,5,7,9,则(CA)nB= 夯基提能作业 请同学认真完成练案[5] 1.4充分条件与必要条件 新课程标准解读 学科核心素养 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分 数学抽象，逻辑推理 条件的关系 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 1.4.1 充分条件与必要条件 教材梳理明要点 ●情境导入 在右图所示电路图中，闭合开关K,与 [提示1] 灯泡L亮是有关系的.甲图中K,闭合时，灯 K: K 若开关K,闭合，则灯 泡L一定亮，但灯泡L亮时K不一定闭合： 泡L亮。 乙图中K,闭合时，灯泡L不一定亮，但灯泡 [提示2] 亮时K,一定闭合 数学中常用充分条 问题： 件、必要条件和充要 1.把K,闭合作为条件，灯泡L亮看作结论，如何用命题的形式表示出 条件桌刻现条件与结 论的不同关系， 来呢？ 2.在数学中如何描述条件与结论的这种不同关系呢？ >[提示] ●015 日新知初探 知识点一命题 1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的陈述句 叫做 2.分类：判断为真的语句是 判断为假的语句是 3.表达形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p,则g”“如果p,那么g”等 形式.其中p称为命题的 ,g称为命题的 知识点二充分条件、必要条件 命题真假 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是假命题 推出关系 条件关系 p是q的 条件 p不是q的 条件 q是p的 条件 q不是p的 条件 [知识点反思] ·[知识点反思] 在命题·若P,则9” 中，若P→9，则P是 自预习自测 9的充分条件：若9→ 1.(多选)下列“若p,则g”形式的命题中，9是p的必要条件是 P,则P是9的必要 A.若xy=1,则x,y互为倒数 B.若a∈Q,则a∈R 条件. C.若x≠-1，则x2-1≠0 D.若ab=0,则a=0 2.已知实数x,“x≥2”是“x≥1”的 条件（填“充分”或“必要”）。 题型探究提技能 题型一充分条件的判断 例1判断下列哪些命题中刀是的充分条件？ [方法总结1] (1)若x∈11,2,3,4，则xexEQ10<x<5: 充分条件的两神判断 方法 (2)若x=1,则x2-4x+3=0: (3)若1x1=yl,则x=y: 定火法 (4)若∠A1=∠A2=30°，B,C1=B2C2=2,AB1=A2B2=2,则△ABC 确定谁是条件，谁 和△A,B,C,全等 ·[方法总结1] 步 是结论 尝试由条件推结 二步 论 】踉踪训练1 若条件能挂出结 下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？ 第 论，则条件为结论 (1)若x>1,则x>2: 的充分茶件，否则 条件就不是站论 (2)若内错角相等，则两直线平行： 的充分条件 (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数： (4)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0. 2华令天手法 己知条件P:“xEA, 结论9：xeB“.若 A=B,则P是9的充 分条件 016 题型二必要条件的判断 例2下列若p,则g形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ (1)若1x1>2,则x>2: (2)若∠A和∠B是对顶角，则∠A=∠B: (3)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d; [方法总结2] (4)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的四条边相等. 必要条件的两种判断 方法 [方法总结2] 1.定义法：若p→9 则9是P的心要条 件，即 第一步确定“条件· 与·结论”： 第二步尝试由·结 论”推“条件” )跟踪训练2 第三步若由“结论” 能推出·条件”，则 下列“若P,则g”形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ “条件”是·结论” (1)若a是1的平方根，则a=1; 的必要条件 (2)若4x2-mx+9是完全平方式，则m=12; 2.集合关系法 (3)若a是无理数，则a是无限小数； 己知条件P:“x∈ (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等. A”，结论9：“x∈ B”,若A2B,则p 是？的必要条件 题型三充分、必要条件的探求 例3.()（多选）设x∈R,则使>m成立的一个充分条件是 () A.x>3 B.x<3 C.x>4 D.x>5 [方法总结3] 若P是9的充分（必 (2)写出“四边形ABCD是矩形”的一个必要条件： 要)条件，这样的条件P 一[方法总结3] 是不唯一的 跟踪训练3 (1)(多选)使|x=x成立的一个必要条件是 ( A.x<0 B.x≥0或x≤-1 C.x>0 D.x≥-1 (2)“一元二次方程x2-x+1=0有两个正实数根”的一个充分条件可以为 ；一个必要条件可以为 017 题型四根据充分（必要）条件求参数的范围 例4(1)已知p:实数x满足3a<x<a,其中a<0g:实数x满足-2≤≤.若 p是g的充分条件，求实数a的取值范围 转化为裴合间的包含关系{x3a<x<a,a<0二xl-2≤x≤3 (2)已知P={xa-4<x<a+4},Q={x11<x<3},“x∈P"是“x∈ Q”的必要条件，求实数a的取值范围. 转化为Q二P ●[方法总结4] [方法总结4] 根据充分（必要）条件 求参数的苑田的步骤 ,根据充分条件、边 要条件与集合间的关 系，将问题转化为相 应的两个集合之间的 包含关系： )跟踪训练4 2,建立关于参数的不 等式（组）进行求解. (1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围. (2)若“x<-3或x>1”是“x>a”的必要条件，求a的取值范围。 随堂检测重反馈 1.若a∈R,则“a=1”是“Ial=1”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断 2.若p是g的充分条件，则g是p的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 3.用符号“→”与“和”填空： (1)x2=1 x=1; (2)a,b都是偶数 a+b是偶数 4.已知M={xla-1<x<a+1,N={xl-3<x<8,若N是M的必要条件，则实数a的取值范围 为 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[6]a≥2时，AU(CgB)=R 预习自测 82设这15人构成全集U,买电税机的9E 1.AB当“若P,则g”形式的命题为真命题时，g是p的必要条 人构成集合A,买电脑的7人构成集合B 件因为选项A,B中的命题是真命题，选项C,D中的命题是 用Vcmm图表示，如图所示.则两种均设买 假命题.故选AB. 的有15-(9-3)-3-(7-3)=2（人） 2.充分由x≥2能推出x≥1，所以“x≥2"是“x≥1"的充分 9.(1A=x1≤x≤4，B=x3<x<6,.AnB=x3<x 条件 ≤4. ,C(A∩B)=xx≤3.或x>4 题型探究提技能 (2)A=}x1≤x≤4，B=xl3<x<6{,全集U=R 例1：(1)集合xeQI0<x<5}是由大于0日小于5的有理数构 ,CA=|x1x<1或x>4,CB=xlx≤3.或x≥6{， 成的集合， (CA)n(CeB)=xlx<l,或x≥6. 所以一g,所以P是g的充分条件 10,(1)当m=1时，集合A-x3-2m≤x≤2+m=x1≤x≤3引， (2)P一9，所以P是g的充分条件. 集合B=1xx≤1或x≥3，所以AnB=1,3. (3)若1xl=1yl,则x=y或x=-y,所以p≠g,所以p不是g 又CgB=x山<x<3,所以AU(CB)=x1≤x≤3. 的充分条件 (2)若A=⑦，满足AnB=⑦，则3-2m>2+m,解得m<3 (4)由∠A,=∠A=30°，BC1=BC=2,A,B1=AB=2知 ∠B,=∠B2=120° r3-2m≤2+m. 所以△A,B,C和△A3B,C1全等，所以P三g,所以p是9的究 若A≠⑦，3-2m>1,解得写≤m<1 分条件 2+m<3, 综上所述，实数m的取值范围是}mm<1, 跟踪训练1：(1)方法一：由x>1≠x>2,所以P不是g的充分 11,D由题图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C 条件， 则阴影部分表示的集合是[A∩(C,B)]∩C.故选D. 方法二：设集合A=x1x>1},B=xx>21, 12.BC由A={xx<1或3<x≤4或x≥61知选项A错误； 所以BCA,所以p不是g的充分条件 由CB=xlx<2或x≥5引知选项B正确：由An(CB)= (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题， x|1≤x≤3或4<x<6∩xIx<2或x≥5}=|x|1≤x<2 所以一4，所以P是？的充分条件 或5≤x<6!知选项C正确：由(CA)UB=|xlx<1或3<x (3)若整数a能被4整除，则a是偶数 ≤4或x≥6Ux2≤x<5引=}x1x<1或2≤x<5或x≥6 所以：的个位数字为偶数： 知选项D错误 所以→q,所以P是g的充分条件 13.ACD因为(CeA)U(CB)=Cr(AnB),而AnB=O,所以 (4)因为(x-1)2+(y-2)2=0x=1且y=2→(x-1)·(y (CA)U(CB)=C(A∩B)=U,故A正确：A∩B=☑，集 -2)=0, 合A,B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素即可，故 所以一→q,所以P是g的充分条件. B错误：因为(CA)n(CB)=C(AUB),而AUB=∥，所以 例2：(1)因为当|x1>2时，x>2或x<-2,所以p台g,所以9 (CA)n(CeB)=C,(AUB)=O,故C正确：AUB=O,即 不是的必要条件 集合A,B均无元素，故D正确。 14.12.312A=1xlx-3x+2=0=1.2..B={x|x= (2)因为对顶角相等，所以p→g,所以g是P的必要条件 a+1.aeA=}2,3,又U=1,2.3,4,5,,C(AUB)= (3)因为1≠3,5≠3但是1+5=3+3，所以p≠9，所以g不 4,5}.故0m(AUB)中元素有2个 是P的必要条件 15.(1)当a=1时，A={x1≤x≤3， (4)因为正方形的四条边相等，所以一，所以q是p的必要 所以[A=x|x<1或x>3引， 条件。 则(CA)UB=xx<1或x>3 跟踪训练2：(1)1的平方根是±1，所以p户g,所以g不是♪的 (2)因为A真含于B,所以满足a+2<-1或a>5, 必要条件. 解得a<-3或a>5, (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2，所以m=±12，所以p台9， 所以实数a的取值范围是ala<-3或a>5. 所以q不是p的必要条件 16.(1)集合A中恰有一个元素，4=16-4a=0,解得a=4 (3)因为无理数是无限不循环小数，所以P→9，所以g是P的 (2),(CA)∩B=2. 必要条件. .2∈B,则4+2b-2=0,解得b=-1. (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等。 (CB)nA=-3. 所以→g,所以g是p的必要条件 -3eA,则9-12+a=0,解得a=3. 例3：(1)CD 则A={xlx+4x+3=0=-1,-31, B=xlx2-x-2=0=1-1,2}, (2)四边形ABCD的两组对边分别平行（答案不唯一）】 检验可知(CA)∩B=12,(B)∩A=1-31成立 【解析】(1)图为4>，所以x>4能推出x>m,故x>4是x AUB=1-3,-1,2. >T的一个充分条件，同理，x>5也是x>π的一个充分 条件. 1.4充分条件与必要条件 (2)因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的两组对边 分别平行，即“四边形ABCD是矩形”能推出“四边形ABCD的 1.4.1充分条件与必要条件 两组对边分别平行”，所以“四边形ABCD的两组对边分别平 教材梳理 明要点 行”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件， 新知初探 跟踪训练3：(1)BD(2)a>3(答案不唯一)a>-1(答案不 知识点 唯一) 1.真假命题2.真命题假命题3.茶件结论 【解析】(1)lx1=x的解为x≥0，设A=xlx≥0，B=xlx 知识点二 ≥0或x≤-1，A二B,所以x≥0成x≤-1是使|x|=x成立 →？P共g充分必要充分必要 的一个必要条件，同理x≥-1也是使x=x成立的一个必要 -315 条件 (2)因为x2>1→x>1或x<-1,所以=→q,且9≠n (2)因为一元二次方程x2-r+1=0有两个正实数根，所以 所以p是g的充分条件，但p不是g的必要条件 A=公-4≥0，解得4≥2.故一元二次方程-m+1=0有 (3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三 lx1+x3=a>0, 角形，即p台g,且=p, 两个正实数根的一个充分条件可以为>3：一元二次方程 所以p不是q的充分条件，但是9的必要条件 -x+1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>-1. (4)出Venn图（如图）可得. 例4：(1)p:3n<x<a,a<0,即集合A=xl3n<x<a,a<01, 结合图形可知，A∩B=A→ACB一CBG 9:-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3.因为p→g,所以 ACB, 反之也成立.所以严是？的充分条件，且P 3a≥-2. 是？的必要条件 2 所以{a≤3，→- ≤<0，所以a的取值范围是 10.(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件， a<0 则只要{<-受}<-1，或>3引， {-子≤a<0} 2 即只需-受≤-1，所以m≥2 (2)因为“x∈P”是“xeQ”的必要条件，所以QCP, 所以4化5断以-1a 故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分 条件 即a的取值范围为al-1≤a≤5引. (2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要 跟踪训练4：(1)由已知条件知引x|x<m}GxIx>2或x<1l 1<-1,或>3引S{<-受，这是不可能的 所以m≤1.所以m的取值范围是mm≤1， 故不存在实数m,使2x+m<0是x<-1或x>3的必要 (2)由已知条件得xx>a二|xx<-3,或x>1,所以a≥1. 条件 所以a的取值范围是ala≥1. 11.B对于选项A,当x=1,y=1时，满足x+y=2,但命题不成 随堂检测重反馈 立：对于选项C,D,当x=-2,y=-3时，满足x2+y2>2,xy 1.Aa=1曰lal=1:lal=1≠a=1,所以选A >1,但命题不成立，也不符合题意 2.B因为P是g的充分条件，所以P→9，所以g是P的必要条12.A因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A.所以ACB,所 件，故选B. 以3≤m+1,即m≥2 3.(1)少(2) 13.①3④0 【解析】(1)命题“若x2=1,则x=1"是假命题，故x2=1≠14.ala≤1|由1-x<0得x>1,设A=xlx>1,B=xlx x=1. >a,p是q的充分条件，ACB,六a≤1 (2)命题“若a,b都是偶数，则：+b是偶数”是真命题，故，b15.令A=xlx>2或x<-1, 都是数→+b是偶数 4.fal-2≤a≤71因为V是M的必要条件，所以MCN于是 由4+p<0,得B={<-号} 0-1≥。3，从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 la+1≤8. 当B≤A时，即-子≤-1，即p≥4， al-2≤a≤7l 此时x<-子≤-1曰>2或x<-1, 练案[6] .当p≥4时4x+p<0是x>2或x<-1的充分条件 1AC由“集合P是集合Q的子集"可推出PnQ=P,PUQ= 16.(1)由题意得到A=x1≤x≤51， Q,推不出P∩Q=⑦.PUQ=P 由“x∈A”是“xEB”的充分条件可得ASB. 2.B由(a+b)·(a-b)=0知，a=b或a=-b,所以p台9,9 →p,所以p是g的必要条件 则：2.期得a≥2， 放实数a的取值范而是1ala≥2. 3.A设n所对应的集合为A,q所对应的集合为B,则p成立的 充分条件是g,转化为BCA,所以不等式0<x<2成立的充分 (2)由“x后A”是“xEB”的必要条件可得BGA, 条件对应的集合是集合x0<x<2!的子集，根据选项，只有 当B=⑦时，2-a>1+2a,即a<了时，满足题意， A符合要求 4.A由题意可知，好货一→不便宜，故选A 当B≠0时即a≥宁时则5. 5.A两个有理数的乘积仍为行理数，故“x,y∈Q”→”y∈Q”, 反之，当x=y=2,y=2eQ,但x毫Q,yQ.故“xy∈Q”≠ 解得了≤a≤1.综上a≤l, “x,y∈Q”.所以“x,y∈Q”"是“xy∈Q”的充分条件 放实数a的取值范围是ala≤1 6.充分必要因为一g,所以P是9的充分条件，9是P的必 1.4.2充要条件 要条件. 7.①③②中由xy=0不能推出x=0且y=0,则②错误：①③ 教材梳理明要点 正确. 新知初探 8.{ala>2}“B的充分条件是A”,即A是B的充分条件，得A知识点 =B,即A二B,得a>2. 充分必要 充要 9.(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立 预习自测 即P=9,4台P, 1.C2+B=台△ABC为直角三角形，故选C 所以P是q的充分条件，但P不是9的必要条件 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,P9,所以p是9的充要 316-