1.2 集合间的基本关系(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

006 随堂检测重反馈 1.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{-2.0,2,4,6,8,10 B.{0,2,4.6,8,10 C.{x|-3<x<11,x=2k D.xl-3<x<1l,x=2k,kEZ 2.下列集合中恰有2个元素的集合是 A.{x2-x=0 B.lyly2-y=01 C.xly=x D.yly=x2-x 3.集合A={(x,y)Ixy≤0，x∈R,y∈R表示的是 A.第二象限的点 B.第四象限的点 C.第二和第四象限的点 D.不在第一象限也不在第三象限的点 4.设集合A=1xlx2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1.2 集合间的基本关系 新课程标准解读 学科核心素养 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集， 数学抽象、逻辑推理 在具体情境中，了解空集的含义， 数学抽象 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3 等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ [提示] [提示] 两个集合之间有包含 e新知初探 关系、真包含关系、 知识点一子集 相等关系和不包含 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图 关系. 称为Venn图. 2.子集 一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 一个元 定义 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B2A),读作“ ”(或“B包含A”) 图示 B 或 A (B) 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 (2)对于集合A,B,C,若ACB,且BCC,则 007 3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 也就是说，若 ,且 ,则A=B 知识点二真子集 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且 ,就称集合A 定义 是集合B的真子集 记作 (或B异A),读作“ ”(或“B真包含 记法与读法 A”) 图示 知识点三 空集 定义 般地，我们把 的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即☑二A [知识点反思] 1.相等关系和真子集 (1)空集只有一个子集，即它本身，0二☑： 特性 关系一定是于集关系。 (2)A≠☑，则☑军A 子集关系可能是相等 关系，也可能是真子 [知识点反思] 集关系： 预习自测 2.0是元未，心是不 1.已知集合M=1,N=1,2,3,则有 含任何元素的集合： A.M<N B.M∈N {0」是含有一个元 素的集合，0军 C.NCM D.MSN {01. 2.用适当的符号填空： (1)a a,b.c: (2)0 xlx2=01: (3)0 1xeR1x2+1=0}:(4)10,1 N; (5)0 xlx=x: (6)12,1 xlx2-3x+2=01. 题型探究提技能 题型一 集合间关系的判断 例1。()（多选）下列写法中正确的是 A.0e0 B.0 C.10,2}C12,0 D.0∈0,1,2 (2)在下列选项中，使M=N的是 A.M={(1,-3)},N=1(-3,1) B.M=☑，N={0 C.M=lyly=x2+1.xER ,N=(x,y)ly=x2+1,xER D.M=yly=x2+1,xER,N=tlt=(y-1)2+1,yER 008 [方法总结1] (3)判断下列两个集合之间的关系： 判断集合间关系的三 ①P={xlx=2n,n∈Z},Q=xlx=4n,n∈Z; 神常用方法 2P={xlx-3>0|,Q={xl2x-5≥0： 列举观察法 当集合中元太较少 ③p=2-=0,0=-1+（ [方法总结1门 时，可列出集合中的 全部元素，边过定文 得出集今之问的关系 集合元素特征法 首先确定集合的代表 )盟踪训练1 元素是什么，弄清集 (1)若集合A={xlx=3k-1,k∈Z},B={yly=6m+5,m∈Z,则集合A与B 合元本的特征，再利 用集合元本的特征判 的关系是 ( 断关系 A.A=B B.ACB C.BA D.不确定 数形结合法 (2)设A={四边形，B={梯形}，C={平行四边形}，D=菱形}，E={正方 利用数抽或Venn图， 形：，则它们的关系是 不子式的解集之间的 A.ED军C￥A B.D军E车C车A 共系，适合用数由法 C.DBA D.E手DCB手A 题型二 确定集合的子集、真子集 [方法总结2] 求集合于集的要 例2(1)已知集合4年1,23，且4中至少有一个奇数，则这样的集合有 ,要注意两个特殊的 子集：☑和自身： A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2,按集合中含有元素 的个数由少到多，分 (2)已知集合A=|(x,y)Ix+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集。 类一一写出，保证不 。[方法总结2] 重不漏： 3.含n个元未的集 合，所有于集的个数 是2“，真子集的个数 》跟踪训练2 是2“-1，非空真子 满足a,b}CA{a,b,c,d,e的集合A的个数是 集的个数是2”-2 A.2 B.6 C.7 D.8 题型三由集合间的关系求参数范围问题 [方法总结3] 利用集合间的关系 例3已知集合4=-2≤x≤5，B=xm+1≤≤2m-1. 参数的方法 .不连续数集的包含 )若ACB,求实数m的取值范围：装合B分为空装和不为空案两 (2)若B军A,求实数m的取值范围. 关系，转化为元素与 种情况讨论 集合的关系，建立方 [方法总结3] 程求解： 2.连续数集的包含关 系，通常将各个集合 )跟踪训练3 在数轴上表示出来， 以形定数，建立不等 (1)已知集合A=-1,1},B=xax+1=0},若BCA,则实数a的所有可能 关系求解，要注意区间 取值的集合为 () 端点是实点还是废 A.{-1 B.1 C.{-1,1 D.-1,0,1{ 点，以使确定不等式 (2)已知集合A=xlx<-1,或x>4},B={x12a≤x≤a+3{,若BCA,求实 是否币等号： 数a的取值范围. 3要注意“空集”的 情况，空集是任何集 合的于集 009 随堂检测重反馈 1.集合A={0,2,4,6}的子集的个数是 A.8 B.12 C.15 D.16 2.（多选)以下四个选项中，正确的为 A.1}∈{0,1,2 B.11,-3=-3.1 C.10,1,2}二1,0,2 D.☑e{0 3.已知集合A=xlx<-2或x>0},B={x0<x<1{,则 ( A.A>B B.AB C.B手A D.A<B 4.集合A={x1<x<6},B=xlx<a,若A二B,则a的取值范围为 穷基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.3集合的基本运算 第1课时并集与交集 新课程标准解读 学科核心素养 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算 能使用Ven图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概，念的作用， 数学运算、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 学校高一年级准备成立一个物理兴趣小组，要求成员同时满足： (1)物理成绩不低于80分： [提示] (2)数学成绩不低于120分 集合的P元素既属于 问题： 集合M,又属于集合 如果满足条件(1)的同学组成的集合记为M,满足条件(2)的同学组成的 N,集合Q的元素要 集合记为N,而能成为物理兴趣小组成员的同学组成的集合记为P,满足 么属于集合M,要么 条件(1)或(2)的同学组成的集合记为Q,那么集合M、N与集合P、Q有 属于集合N,也可能既 什么关系呢？ [提示] 属于集合M,又属于 集合N. 日新知初探 知识点一并集 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集 自然语言 合，称为集合A与B的 ,记作 (读作“ ”) 符号语言 AUB= 图形语言 性质 AUB=BUA,AUA=A,AUO=A,AUB=ABCA,AC(AUB), BC(AUB)4B解方程组6+化三敢该集合为(0，儿 lx=0, 放可以取集合A={1,2,2}减{-1,2,2}减{1,3，} 5.BD选项A,C中，集合内的最小奇数不大于4. (答案不唯一) 6D由x=x,得x(x-I)(x+I)=0,解得x=0或x=1或x= 1.2集合间的基本关系 -I,因为-1N,故集合xE NIx=x用列举法可表示为 0.1,故①不正确.集合表示中的””已包含“所有””全 教材梳理 明要点 体“等含义，而“R“表示所有的实数组成的集合，故实数集正 :新知初探 确表示应为1x|x为实数或R.故②不正确.方程组： 知识点一 仁3的是有序实数对，其解集应为{化2妆 1.封闭曲线 2.任意子集ASBA包含于B ACA ACC 不正确. 3.A=B ACB BCA 7.xx=反，neN“|注意到集合中的元素的特征为√m,且n 知识点二 x使AA至BA真包含于B ∈N·,所以用描述法可表示为{x|x=√n,∈N. 知识点三 8.3,4,5,6,7}x2<x<8,x∈Z设三角形第三边长度为 不含任何元素⑦ x,根据三角形三边长度的关系得：5-3<x<5+3,于是2<x 预习自测 <8,所以x的取值范围为：2<x<8.又由第三条边长是整数，1.D~1e1,2,3,2g1,一11至11,2,3.故选D. 做第三条边可取的整数的集合用列举法表示为3,4,5,6， 2.(1)e(2)∈(3)=(4)￥(5)￥(6)= 7},用描述法表示为x2<x<8,xEZ引. 题型探究提技能 9()因为，e乙，所以2-是6的因数。 例1：(1)BC(2)D(3)见解析 则12-x=1,2.3.6.即x=1.34.0.-1,5,-4.8. 【解析】(1)⑦不含任何元素，0⑦，故A错误：空集是任何集 合的子集，故B正确：0,21=2,0，故C正确：D错误，应该是 所以原集合可用列举法表示为-4.-1.0,1,3,4,5.8. 100.1,2. (2)因为xeN且1≤x<5,所以x=1,2,3,4. (2)在A中，M和N中的元素表示不网的点：在B中，M是空 其对应的y的值分别为3,6.9,12 集，N是单元素集：在C中，M是数集，N是点集：在D中，M= 所以原集合可用列举法表示为(1,3)，(2,6)，(3,9)，(4， yly=x+1,x∈R=yly≥1，W=lt=(y-1)+1,ye 12). R={I≥I.因此，M=N.故选D. 10.(1）|xlx=2n,n∈N”,n≤6|. (3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以Q军P②P= 2){=2aeNa≤5} x-3>01=>31,0=2x-5≥01={≥} (3)lxlx=5n+1.nEN. 所以PQ.③P=x1x2-x=0=0,1.在Q中，当m为奇 (4)1(xy)1y<0. 数时，x=1+,-1)=0,当n为偶数时x=1+,)=1,所 2 2 以Q=0,1,所以P=0 1L.C由A=1,2,3,B=|(x,y)1xeA,y∈A,x-y∈A,当跟踪训练1：(I)C(2)A x=3时，y=1,2,满足集合B.当x=2时，y=1,3,满足集合 【解析】(1)B={yy=6m+5,meZ=|xlx=6m+5,mE B.当x=1时，y=2,3,满足集合B.共有6个元素.故选C Z,任意xEB,则存在mEZ,使x=6m+5,而x=6m+5= 12.AD设xg=2n+1,=2k,n,keZ,则0+%=2n+1+2k= 3(2m+2)-1∈A,故BCA,义2eA,2EB,.B年A.故选C 2(n+k)+1eM,xo=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P,即a∈ (2)集合A,B,C,D,E之间的关系可 1 M,bEP.故选AD. 用Venm图表示，结合右图可知，应 13.0或1集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由 选A. D 4=0,解得a=1,此时A=-11,满足题意：当a=0时，x= 例2：(1)D(2)见解析 一子此时：{}满足题意故集合4中只有一个元 【解析】(1)满足题意的集合A可 以是|1,3,11,2}，11,31,2,3 素时，a的值是0或1. 共有5个. 14,4当x=1时，x1+=1+2=3或x1+2=1+3=4:当x (2)因为A=(x,y）x+y=2.x,yeN,所以A=(0,2).(1,I), =2时，x1+x2=2+2=4或x1+2=2+3=5:当x1=3时， (2,0). +x:=3+2=5或x1+2=3+3=6.A+B=3,4,5,6, 所以4的子集有：☑，(0,2){，(1,1)1，(2,0)1,1(0,2)， 共4个元素 (1,1),(0,2),(2,0),(1,1),(2,0)1,(0,2),(1,1), (2,0){. 15.B因为1+15=16.2+14=16.3+13=16.4+12=16.5+ 跟踪训练2：C由题意知，集合A可以为a,b,a,b,c,a,b, 11=16,6+10=16.7+9=16.8+8=16.9+7=16.10+6= dl.a,b.el.la.b.c.dl.la.6.c.ef.la.b.d.el. 16.11+5=16,12+4=16.13+3=16.14+2=16.15+1= 例3：(1)当A二B时，如图所示，此时B≠⑦. 16.1×16=16.16×1=16,集合M中的元素是有序数对(a, b),所以集合M中的元素共有17个 r2m-1>m+1,rm>2, m+1≤-2，即{m≤-3 16.(1)由于2的倒数为不在集合A中，放集合A不是可倒 n+1-2052m-11 2m-1≥5. m≥3， ∴.m不存在，即不存在实数m使A二B. 数集” (2)①当B≠⑦时，若B室A,如图所示. (2)若aeA.则必有女eA,现已知集合A中含有3个元素， rm+1≥-2， rm+1>-2 2m-1<5, 或{2m-1≤5. 故必有一个元素有4=上，即a=士1. 2m-1≥m+1。【2m-1≥m+1. 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 311 ②2当B=⑦时，满足B军A,由m+1>2m-1,得m<2 综上可得，m的取值范围是mm≤3引， 当a0时，B={}又4=3,5，BcA, 跟踪训练3：(1)D(2)见解析 此时 【解析】(1)当B=☑，即a=0时满足条件.当B≠☑，即a =3=5，则有a=了或a= 0时，B==-}国为BC4,所以有-A,所以 a了 所以c={o,分号} a=±1：综上可得实数a的所有可能取值的集合是1-I,0. 11.C由集合A有1个子集可知，该集合是⑦.当a=1时，A 1.故选D (2)当B=☑时，只需2a>a+3,即a>3,此时满足BCA,适 (号}不符合题意当a1时，由4=9+8(。-)<0可得 合题意：当B≠⑦时，根据题意作出如图所示的数轴， as- 故选C 12.C集合A=a1,,a的所有非空真子集有：a,m, 24+3-14x 142a+3 a2,a,0},a,a2,a3,af,故3(a1+a2+a3)=9,即 可得322释得。<-4友2<a经 a1++a,=3.故选C 13.{ala<-8或a≥3 利用数轴法表示B二A,如图所示， 上可得，实数a的取值范围为|ala<-4或a>21: 随堂检测重反馈 1.D r+1a+3-5 0 4+1+3￥ 2.BCA应是}1军0.1.2|：对于B.集合中的元素有无序性， 则a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥3. 故B正确：对于C,任何集合都是本身的子集，故0,1.2C14.7由aeP.6-aeP,且PC11,2,3,4,51可知，P中元素索在 1,0,21,故C正确：D应是☑至0. 取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独 。A 选，可一一列出满足条件的全部集合P为3,11.5,12 3.C由数轴知BA.AB -2-101 4,11,3.5,2.3,4,11,2.4.5,11.2.3.4,5,共7个. 15.D当B=1-1时，x2-2+1=0有两个相等的实根-1. 4.ala≥6}，A=xl1<x<6},B=x|x<a,由A二B,结合 即a=-1:当B=11时，x2-2ax+1=0有两个相等的实根 数轴可知a≥6.一。一主 1,即a=1:当B=-1,1|时，不成立，故a=±1. 16.(1)由于A中有两个元素， 练案[3] 关于x的方程x2-3x-4=0有两个不等的实数根， 1.C由M二N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的 4=9+16a>0,且a≠0，即a>- 16且u￥0. 图形中 2.ACD{1|SA,.B项错误，其余均正确. 故实数a的取值范围是{a>一，且a≠0} 3.D由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不 (2)若集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 包含 即方程x-3x-4=0无解或只有一解. 4A当B=☑.即2a-1<a-1,即a<0时，满足B≤A:当B≠ 0,即1-1≤2a-1,即a≥0时，要使BCA,则满足 当a=0时，方程为-3-4=0，解得=-子，集合A 2a-1≤1，解得0≤a≤1.综上，as1 ∫a-1≥-1， 5.D由题意知.A=1,2,B=1,2,3.4,又ACSB.则集 当a≠0时，若关于x的方程x-3x-4=0有两个相等的实 合C可能为1,2引，1,2,3,1.2,4,1,2,3.4，共4个. 6.ABA=B,∴m-m=2,∴.m=2或m=-1. 数根则小中只有一-个元素，此时。=一合 7 「x= 若关于x的方程x-3x-4=0没有实数根，则A中没有元 7.10若27，解得 2 x+y=4, 因为x,y为整数，故舍去；若 y=2' 素此时a<一名 任得化则g=0 综上可知，实数a的取值范周是{0a≤-6或a=0} 8.plp≥4集合A=xlx<-1或x>2引，B=xl4x+p<0 1.3 集合的基本运算 -{<-}若BcA,则-冬≤-1，即p≥4，则实数p的 第1课时并集与交集 取值范围是plp≥4 9.存在，理由如下：由题意知，若x+2=3,则x-1,符合题意， 教材梳理 明要点 若x+2=-x2,则x2+x+2=0无实根，故不成立. 新知初探 综上所述存在实数x=1,使得B是A的子集，此时A=1,3, 知识点一 -1,B=11,31, 或并集AUBA并B{xIx∈A.或x∈B 10.(1)A=xlx2-8x+15=01=5,3}, 知识点二 当a=了时，B=5,元素5是集合A=5,3中的元素， 且交集AnBA交BIxx∈A,且x∈B 预习自测 集合A=15,3引中除元崇5外，还有元素3,3不在集合B中，所1.DMUN=10,1,21U2,4=0.1.2,4. 以B至A 2.CMnN={-2,-1,0,1,2∩x1x≤-2或x≥31= (2)当a=0时，由题意得B=⑦，又A={3,5引，故BGA; 1-2.故选C 312