1.1 第2课时 集合的表示(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

004 第2课时集合的表示 新课程标准解读 学科核心素养 掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）. 数学抽象 能够运用列举法和描述法表示一些简单集合 数学抽象 教材梳理 明要点 [提示] ●情境导入 我们可以用列牵法和指述法 语言是人类交流和沟通的重要工具.集合可以用自然语言来 来表示集合」 叙述，如何用数学的语言来表示集合呢？ P[提示] [知识点反思] 1.列伞法表示集合，元素问要 e新知初探 用“，·隔开，元素个数较多 且元素的排列又呈现一定的 知识点一列举法 规律时，在不至于发生误解的 把集合的所有元素 出来，并用花括号“}”括起来表示 情况下，也可列出几个元素作 集合的方法叫做 代表，其他元素用省略号表示， 知识点二描述法 如正整数集可表示为{1,2,3， 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x) 45，J. 2.用描述法表示集合，元素的 的元素x所组成的集合表示为 ,这种表 代表特号不能者略，如{xx 示集合的方法称为描述法 ●[知识点反思] 1」不能写成{x>1}:所 有描述的内容都要写在花括 自预习自测 号内，如{xeZ|x=2m, 1,判断下列说法是否正确，正确的打“V”,错误的打“×”。 m∈N”】:元素的取值（或变 (1)由1,2,3组成的集合可用列举法表示为1,2,3 化)范田，从上下文的关系来 (2)集合(1,2)中的元素是1和2 看，若xeR是明确的，则 xER可省略不写，如集合 (3)集合A=xx-1=0}与集合B=1|表示同一个集合.( {xeR1x20}也可表乐为 2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的集合是 {xx<20】. A.xly=3x+1 B.yly=3x+1 C.{(x,y)ly=3x+1 D.{y=3x+1 题型探究提技能 题型一用列举法表示集合 [方法总结1] 用列季法表示集合的 例1用列举法表示下列集合： 步骤 (1)大于4且不大于8的整数构成的集合： 1,求出集合的元未： (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合： 2.把元素一一列举出 (3)直线y=x+2024与坐标轴的交点组成的集合 来，且相同元素只能列 奉一次： ●[方法总结1门 3.用花括号括起来。 .005 】踉踪训练1 用列举法表示下列集合： (1)16的约数组成的集合A；“夠教”是正整数 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合B: (3)方程组 2x+y=8,的解组成的集合C: x-y=1 [方法总结2] 插迷法表示集合的两 题型二用描述法表示集合 个步张 例2用描述法表示下列集合： 1.写代表元素：在花 括号内写上表示这个 (1)比1大又比10小的实数组成的集合： 集合的元素的一般符 (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合： 号及取值（或变化）范 (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合 ◆[方法总结2] 因注意集合中的元素 是数还是，总或是其他 元素 2.明确元素的特征： )跟踪训练2 在鉴线后写出这个集 用描述法表示下列集合： 合中元素所具有的共 (1)大于6的全体奇数组成的集合； 同特征 (2)二次函数y=3x2-1图象上的所有点组成的集合： (3)所有的三角形组成的集合 题型三集合表示法的综合应用 例3已知集合A:xx-8x+16=01 (1)若集合A中只有一个元素，求实数k组成的集合： [方法总结3] 1等价于方程x2-8x+16=0只有一个根或两个相等实根 由集合的元素个数果 (2)若集合A中有两个元素，求实数k组成的集合 参数问题的关注点 等价于方程有两个不等实根 。[方法总结3] 1,已知集合用描还法 给出，要弄清集合的代 表元东及其限制 条件： )跟踪训练3 2,若所给方程是一元 (1)已知集合A={xlx2-ax+b=0,若A={2,3},求a,b的值. 二次方程的形式，要对 (2)已知集合M=xlax2-2x+2=0,a∈R}中至多有一个元素，求实数a方程中二次项系数是 的取值范围. 否为零分类讨论 006 随堂检测重反馈 1.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{-2.0,2,4,6,8,10 B.{0,2,4.6,8,10 C.{x|-3<x<11,x=2k D.xl-3<x<1l,x=2k,kEZ 2.下列集合中恰有2个元素的集合是 A.{x2-x=0 B.lyly2-y=01 C.xly=x D.yly=x2-x 3.集合A={(x,y)Ixy≤0，x∈R,y∈R表示的是 A.第二象限的点 B.第四象限的点 C.第二和第四象限的点 D.不在第一象限也不在第三象限的点 4.设集合A=1xlx2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1.2 集合间的基本关系 新课程标准解读 学科核心素养 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集， 数学抽象、逻辑推理 在具体情境中，了解空集的含义， 数学抽象 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3 等等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ [提示] [提示] 两个集合之间有包含 e新知初探 关系、真包含关系、 知识点一子集 相等关系和不包含 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图 关系. 称为Venn图. 2.子集 一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 一个元 定义 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B2A),读作“ ”(或“B包含A”) 图示 B 或 A (B) 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 (2)对于集合A,B,C,若ACB,且BCC,则11.ACD 当x>0.y>0时,:=1+1+1-3;当x>0.y<0时:题型探究 提技能 =1-1-1=-1;当x<0,y>0时,:=-1+1-1=-1;当x 例1:(1)大于4且不大于8的整数有5.6.7.8,故所求集合为15.6. <0.y<0时,:=-1-1+1=-1.所以3=A.-1=A.故 7.8. 选ACD. (2)方程-2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集 12. -3 2 因为集合A与集合B相等,且1eA.2eA.所以1e 合为0.2. B.2eB.即1.2是方程x2+ax+b=0的两个实数根.所以 (3)将x=0代人v=x+2024.得y=2024.即直线与y轴的 2“□-3. 交点是(0.2024),将y=0代入y=x+2024,得x=-2024. 11x2-b. 1=2 即直线与x轴的交点是(-2024.0).故直线与坐标轴的交点 组成的集合是1(0.2024).(-2024,0)1. 跟踪训练1:(1)16的约数有1.2,4.8,16.故A=11.2.4.8.16. .=-1/② (2)方程(x-4)(x-2)=0的解为x=2或x=4.所以B= 12.4. 14.(1)因为-2是集合A中的元素. 所以-2=a-3或-2=2a-1. 若-2=a-3,则a=1. 例2:(1)x=Rl1<x<10. 此时集合A含有两个元素-2.1.符合要求 (2)l(x.y)tc0.且y>0. 若-2-2a-1,则a=- 2. (3)|xlx=3n+I,n=N. 跟踪训练2:(1)奇数可表示为2k+1.k=Z.又因为大于6.故 此时集合A中含有两个元素-7,-2.符合要求. 7 >3.故可用描述法表示为|xlx=2k+1,keN,且k3. (2)点可用实数对表示,故可表示为(x,y)1y=3x-1. (3)xx是三角形。 (2)不能.理由:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a 例3:(1)①当k=0时,方程 -8x+16=0变为-8x+16=0 解得x=2,满足题意;②当h0.要使集合A=xlx-8x+ -1=-5. 当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2x(-2)-1= 16=0中只有一个元素,则方程-8x+16=0有两个相等 -5.显然不满足集合中元素的互异性; 的实数根,所以A=64-64k=0,解得k=1.此时集合A= 当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5显然不满足 4 .满足题意,综上所述,b=0或5=1.故实数5的值组成的 集合为0.1。 集合中元素的互异性 (2)由题意可知,方程-8x+16=0有两个不等实根,故k 综上,-5不能为集合A中的元素. 0.且A=64-64>0,即k<1,且k0.所以实数k的值组 15.-1或-4 .3=A.a-a+1=3或la+11=3.①若a- 成的集合为k<1,且0. a+1=3,则a=2或a=-1.当a-2时,la+11=3,此时与跟踪训练3:(1)由A= 2.3 知,方程-ax+b=0的两根为 集合元素的互异性相矛盾,因此应舍去,当a=-1时, 23. la+11=0-3.满足题意.②若la+11-3.则a=-4或a=2 [2+3=a.因此a=5.b=6. 由根与系数的关系得 (舍去):当a三-4时,a-a+1=213.满足题意,综上可 12x3-b. 知a=-1或a=-4. (2)当a=0时,方程化为-2x+2=0.解得x=1,此时M= 16.(1)a是集合s中的元素,因为a=a+0x/2eS. 11,满足条件. (2)不妨设x=mtn2.x.=p+2.m.npg 当a%0时,方程为一元二次方程,由题意得A=4-8a50.即 则x.+x=(m+n2)+(p+②)=(m+p)+(n+q)v2. a-,此时方程无实数根或有两个相等的实数根,综合(1) 因为m,n.p,q=Z.所以n+a=Z,m+p=Z (2)可知,当a>-或a=0时,集合M中至多有一个元素. 所以x。+x。ES. x.·x。=(m+nv②)·(p+qv②)=(mp+2ng)+(m+np)/2. 随堂检测 重反 n,n.p.o=Z 1.AD 由题意可知,满足题设条件的有选项AD,故选AD 故mp+2nge乙,mg+npeZ.所以x.·x=S 2.B 选项A是以方程为元素的集合,其中只有一个元素,B选 综上,x:+,:·都属于s. 项中化简得0.1符合题意.C选项是个无限集,D选项也是 无限集. 第2课时 集合的表示 3.D A=I(x.y)lxy0.xeR.yeR的元素满足xy<0或x 明要点 教材梳理 =0.当xv=0时,表示两个坐标轴上的点,当xv<0时,表示 第二象限或者第四象限的点.故选D. 新知初探 4.1-1.4 4=A.16-12+a=0a=-4.A=x12 知识点一 二一列举 列举法 -3-4=0|=-1,4. 知识点二 练案[2] xEAlP(x) 1.C 解方程x-3x+2=0得x=1或x=2.用列举法表示为 预习自测 1.(1)V(2)x(3)V 112. 2.C C中集合是含有一个方程作为元素的集合,其他三个都是 【解析】 (1)与(3)都是用列举法表示集合,(2)中只有一个元 以实数1为元素的集合. 素(12). 3.D A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3.7. 2.C 该集合是点集,元素的代表符号应为点的坐标(x,y),故 11.15;B中除给定集合中的元素外,还有-3.-7.-11....:C 选C 中1-0时,x=-3.不属于给定的集合;只有D是正确的. -310一