2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[15] 第二章2.3[第2课时二次函数与 一元二次方程、不等式的应用] A组·基础巩固 8.若不等式x2+2x+2>|a-21对于一切实数x 1.已知不等式x2+x+4<0的解集为空集，则 均成立，则实数a的取值范围是 实数a的取值范围是 9.设函数y=ax2+(b-1)x+2. A.-4≤a≤4 B.-4<a<4 (1)若不等式y<0的解集为{xI1<x<2|,求 C.a≤-4，或a≥4D.a<-4,或a>4 实数a,b的值： 2.若集合A={x1-1≤2x+1≤3}，B= (2)若当x=-1时y=5,且存在x∈R,使y< 1成立，求实数a的取值范围. {:2≤0则AnB ( A.{x1-1≤x<0 B.|xI0<x≤1 C.|xl0≤x≤2 D.{xI0≤x≤1 3不等式≥1的解集是 子s2 B{≤<2 c{>2或x≤}D{≥引 4.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的两个实 根一个小于-1，另一个大于1，那么实数m的 取值范围是 A.-2<m<2 B.-2<m<0 C.-2<m<1 D.0<m<1 5.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x -4<0恒成立，则实数a的取值范围为 ( A.ala<2 B.Iala≤2 C.al-2<a<2 D.{al-2<a≤2 6.若关于x的不等式x4>0的解集为xlx< x+1 -1或x>4|,则实数a= 7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间 的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x< 240),若每台产品的售价为25万元，则生产者 不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产 量是 台 -217 10.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要 B组·综合运用 继续向前滑行一段距离才能停止，我们称这 段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故 1.不等式-2x-2 x2+x+1 <2的解集为 的一个重要因素.在一个限速为40km/h的 A.{xlx≠-2 弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况 B.R 不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘 查测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的 c.☑ 刹车距离略超过10m.已知甲、乙两种车型的 D.{xlx<-2或x>2 刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有 12.(多选)下列结论错误的是 () 如下关系：sm=0.1x+0.01x2,sz=0.05x+ A.若方程ax2+br+c=0(a≠0)没有实数根， 0.005x2 则不等式ax2+bx+c>0的解集为R 问：甲、乙两车有无超速现象？ B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条 件是a<0且4=b2-4ac≤0 C.若关于x的不等式a.x2+x-1≤0的解集 为R则a≤- D.不等式>1的解集为xx<1 13.（多选)“关于x的不等式x2-2a.x+a>0对 x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是 A.0<a<1 B.0≤a≤1 Coca< D.a≥0 14.某地每年销售木材约20万m3,每立方米价 格为2400元.为了减少木材消耗，决定按销 售收入的%征收木材税，这样每年的木材销 售量减少万二.为了既减少木材消耗又 保证税金收入每年不少于900万元，则：的取 值范围是 218 C组·拓展提升 16.北京冬奥会于2022年2月4日开幕，随着冬 奥会的举办，中国冰雪运动也快速发展，民众 15.已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]< 参与冰雪运动的热情高涨盛会的举行，不仅 带动冰雪活动，更推动了冰雪产业快速发展. 某冰雪产业器材厂商，生产某种产品的年固定 成本为200万元，每生产x千件，需另投入成本 (1)当a=2时，求A∩B; 为C(x)(万元)，其中C(x)与x之间的关系为 (2)求使B二A的实数a的取值范围。 +2n,0<x<0eN, C(x)= 通 50x 4900-1980,x≥60，xeN, x-2 过市场分析，当每千件产品售价为40万元 时，该厂年内生产的商品能全部销售完.若将 产品单价定为400元 (1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千 件)的函数解析式： (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品 的生产中所获利润最大？ -219解得x≤-1或x>3. 例4：设税率调低后“税收总收人”为y元 即原不等式的解集为xx≤-1或x>3. <3可改写为-3<0，即2<0 (2)不等式5x+1 y=2mm(1+2)·(8-0%=-号m(2+42r-40)0< x+1 ≤8). 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 所以原不等式的解集为x-1<x<1 例2：方法一：设方程两根分别为，则+=m 即-2是m(2+42-40)≥240mx8%×78%, 8 整理，得x2+42x-88≤0，解得-44≤x≤2 =m-7 根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2 8 ∴.x的范围是x0<x≤2引， 因为两根均大于1，所以名-1>0，本-1>0， 4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 跟踪调练4：由题意可得=-2x+皮≥25， 故有(x-1)+(名-1)>0， 化简得x2-36x-405≥0，解得x≥45或x≤-9， 1(x-1)(2-1)>0, 又，x≥0，.x≥45. (m-1)2-32(m-7)≥0， ,.这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h. m-1-2>0, 随堂检测重反馈 即8 m-7_m-1 1.B原不等式可化为3x+)(4=1)≤0解得- 11-4x0. 3≤x< 8 8 +1>0 士，故其解集为-寸≤<}故选B 1 rm≥25或m≤9， 解得m>17, 所以m≥25.故实数m的取值范围是mm 2.1x12<x<3|由不等式a2+5x+1≤0的解集为 ImER. 11 ≥25. {-之≤≤-兮}可知方程a2+5+1=0有两根名 方法二：令y=8x2-(m-1) +m一7，则方程两实根大于 一方6分放u=6,则不等式号<0即号<0等 x-3 1,等价于二次函数与x轴公 价于3(x-2)(x-3)<0,不等式3(x-2)(x-3)<0的解集 共点都在x=1右侧，如右 图，则 为x12<x<3,则不等式3-<0的解集为x2<x<3. ”x-3 4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 3.11-3<k≤11(1)当k-1=0,即k=1时，-1<0恒成立， -(m-1>1, 符合题意.(2）当k一1≠0时，由题意可知 2×8 k-1<0, 8-(m-1)+m-7>0, 解得m≥25，实数m的取值范围是mlm≥25. 山=(-1)2+4(k-1)<0.解得-3<<1.综上可知-3< k≤1， 跟踪训练2：al-2<a<1方法一：设两根为x,>1,,<1, 4.4设定价为x元，销售总收人为y元，则由题意得y= {51s-D<0w-4+5+1<0, 则1-1>0，x3-1<0, 80000-02,5×2000x,整理得y=-200002日 14>0. 14=(a2-1)2-4(a-2)>0. 130000x,因为要使提价后的销售总收入不低于20万元.所以 即a2+口-》+1<0，解得-2<a<1 1(a2-1)2-4(a-2)>0, =-2000r+1300≥2000，.解得子≤≤4，所以要使 方法二：由题意得12+(2-1)+a-2<0,即a2+a-2<0 提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元 解得-2<a<1. 例3：当a2-1=0时，a=±1， 练案[15] 若a=1,则原不等式可化为-1<0，显然恒成立 1.A由4=a2-4×4≤0可得-4≤a≤4. 若a=-1,则原不等式可化为2x-1<0不是恒成立，所以“2.B易求A=x-1≤x≤1，集合B=xx(x-2)≤0且x≠ =-1舍去： 0=xI0<x≤2引，所以A门B=xI0<x≤1川. 当a2-10时.因为(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集 为R, 3B不等式空≥1，移项得-1≥0，≤0，可化 所以只需？-1<0， 4=(a-1)2+4(a2-1)<0 解得-3 <a<1: 为，3≥0或4-3≤0 Lx-2<0 x-2>0. 解得 ≤：<2，则原不等式的解 综上，实数a的取值范瑕为-号<a≤ 集为{≤x<2 跟踪训练3：因为x>0,所以不等式2+x+9>0可化为-m< 4.D令y=x2+(m-1)x+m2-2,当x=1时函数值为y1,当x *9 =-1时，函数值为为，则=m+m-2<0. 解得0<m<1. 9 【y2=m2-m<0, 而当x>0时，x+ T2. 1=6. 故选D 当且仅当x=号，即=3时等号成立， 5.D当a-2=0.即a=2时，原不等式变为-4<0，恒成立：当 -m<6,解得m>-6,所以实数m的取值范围是m1m> a-240时，4a-2)+16(a-2)<0,解得-2<a<2 -61, -2<a≤2，故选D. 330 64不等式骨>0等价于(x-)(x+1)>0,因为不等式14131≤5到 设按销售收入的%征收木材税时，税金收人 为y万元。 骨>0的解集为x<-1或x>4,所以a=4 则=240×(20-子）×%=60(8-f), 7.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x- 令y≥900，即60(81-2)≥900，解得3≤1≤5. 30000≥0.解得x≥150或x≤-200（舍去）.因为0<x<240,15.(1)当4=2时，A=xl2<x<71,B={x4<x<5, 所以150≤x<240.即最低产量是150台. 所以A∩B={xl4<x<51. 8.al1<a<3x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，当x=-1 (2)因为B={x2a<x<a+1| 时.x2+2x+2有最小值，最小值为1，由不等式x2+2x+2> 1a-2I对于-一切实数x均成立，得1a-21<1,解得1<a<3, 当a<宁时，4=13a+1<x<21, ,实数a的取值范围是al1<a<3, 2a≥3a+1. 9.(1)因为y=2+(b-1)x+2<0的解集为x1<x<2!, 要使BCA,必须{a2+1≤2，此时a=-1: 所以1,2是方程2+(b-1)x+2=0的两根. a≠， a>0, 当a=时4=0,8={号<<} 101 不满足BCA, -3解得a=1,6=-2 所以a 舍去， 当e>兮时4=2<x<3a+1,要使BcA, (2)因为当x=-1时y=5,所以a-b=2, 2a≥2 因为存在x∈R,y=x+(b-1)x+2<1成立， 则{m2+1≤3a+1,解得1<a≤3. 即存在x∈R,x2+(a-3)x+1<0成立， a≠1， 综上可得：a的取值范围是|al1<a≤3或a=-1目， 当a=0时>分皮立： 16.(1)当0<x<60且xeN时， 当a<0时，函数y=ar2+(a-3)x+1图象开口向下，成立： L=40x-2-20r-20=-2+20r-200: 当a>0时，4=(a-3)2-4a>0,即a2-10a+9>0, 当x≥60且xeN时， 解得a>9或a<1,此时，a>9或0<a<1, 综上，实数a的取值范围为ala>9或a<1. L=40x-50x-4900+1980-200=1780-10x-4900 -2 x-2 10.由题意知，对于甲车， 1 有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0, 4+20x-200.0<x<60,xeN, 故L= 解得x>30或x<-40(不符合实际意义，舍去). 这表明甲车的车速超过30k/h 170-10:-9≥0eN 但根据题意知刹车距离略超过12m, (2)当0<x<60且eN时，b=-x-40)2+20, 由此估计甲车的车速不会超过限速40km/h. 当x=40时，L.m=200: 对于乙车，有0.05x+0.005x>10 即2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义， 当x≥60且x∈N时， 舍去)， 1=1760-10[(x-2)+4900] x-2」 ≤1760-10× 这表明乙车的车速超过40km/h,即超过规定限速， 11,Ax2+x+1>0恒成立.原不等式2-2x-2<2x2+2x 2√x-2).4900 =360 x-2 +22+4x+4>0(x+2)>0∴x≠-2…不等式的解集为 lrlxy-2. 当且仅当-24即=2时，等号成立人360。 12.ABD当a<0时，x2+r+e>0的解集为☑，故A错：当a 又因为360>200 =0,b0时.不等式bx+≤0在R上不能恒成立，舍去，当 故该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获 a=b=0且c≤0时也恒成立，故B错：当a=0时，不等式为 利润最大 x-1≤0，此时解集不是R,舍去：当≠0时，要使解集为R 章末复习与总结 ，需公<0：0解得a≤-日放C对：不等式可化为> 例：作差得十-1-云 0,即：1<0，即x(x-1)<0,解得1x10<x<1.故D错 13.BD关于x的不等式x2-2ax+a>0,对xeR恒成立，则4 ①当=0时01- =4a2-4a<0,解得0<a<1.A选项“0<a<1"是“关于x 2当1+<0，即<-1时云<0<1- 的不等式x2-2ax+a>0对xeR恒成立"的充要条件：B选 1 项“0≤a≤1"是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R桓 ③当1+>0且0，即-1<<0或x>0时，>0 成立"的必要不充分条件：C选项0<a<“是“关于x的 >1-x 不等式x2-2x+a>0对x∈R恒成立”的充分不必要条件： 例2：r2+(1-a)x-1>0可得(m+1)(x-1)>0,即x+ D选项“a≥0”是“关于x的不等式x2-2ar+m>0对x∈R 恒成立”必要不充分条件 a）c-0<0. 331-