2.2 第1课时 基本不等式(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

练案[12] 第二章2.2 [第1课时 基本不等式] A组·基础巩固 9.(1)已知x>0,求y=2-x-4的最大值： 1.下列不等式中正确的是 (2)已知0<x<分，求y=21-2)的最 A.a+4≥4 B.a2+b2≥4ab 大值 C.vab≥a+b Dr+≥28r0 2.已知x,y为正实数，且y=4,则x+4y的最小 值是 A.4 B.8 C.16 D.32 3.已知函数y=x+ 1-2(x<0),则函数有 ( A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 4.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y) 的最大值为 () 10设x>0,求证+2x≥号 A.16 B.25 C.9 D.36 5.（多选)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式 恒成立的有 ( A.ab≤1 B.a+√b≤2 C.a2+b2≥2 n+2 6当>1时，(-1)+号1+2的最小值为 7.已知a>b>c,则V(a-b(b-c)与2的大 小关系是 8.已知x>0,)>0,且满足号+子=1，则y的最 4 大值为 ,取得最大值时y的值为 —211 B组·综合运用 C组·拓展提升 1.不等式，22+(：-2)≥6（其中>2）中等号 15.当x>0时，若2x+“(a>0)在x=3时取得 成立的条件是 ( 最小值，求a的值. A.x=3 B.x=6 C.x=5 D.x=10 12.若正数x,y满足x2+3y-1=0,则x+y的最 小值是 A号 B22 3 ( 3 D23 3 13.(多选)设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有 ( A.ab<I B.1<0+6 2 C.ab<tb 2 D.。+<ab 2 14.若a>0,b>0,且a+2b=4,求ab的最大值. 16.已知x,y为正实数，3x+2y=10,求W=√3x +√2y的最大值 —212(2)周为>-2，所以+2>0.(+2)+ 时，等号成立，故(1+x)(1+y)的最大值为25. 2√+2)5=8，售且仅当+2=即=2时取￥ 5.AGD因为b≤()=1，所以A正确：因为(，a+,) =a+b+2√ad=2+2,b≤2+a+b=4.所以B不正确：a 号+2+2>-2)取最小值时的位为2 +6≥a=2.所以C正确+出-品≥2，所 2 3:1(2)号 以D正确。 【解桥】（1)：<子5-4>0y=4-2+a5 1 68令t=(x-1)+ +-+2.因为-1>0，所以1≥ 9 -（5-4+与)+3≤-2+3=1，当且仅当5-4 2-)名+2=8，当且仅当-19 -即x=4时. 1的最小值为8. -4即x=1时，上式等号成立，故当x=1时y。=1 7.a-b6-0≤“2因为a>6>c,所以a-6>0,b-c (2)周为0<<子，所以3-2>0，所以y=4(3-2)= >0.a-b(6-0≤4-bb-c=“,5.当且仅当4-6= 2 2 226-21≤2±g-2-号多凰收s2=3 b-c,即a+e=2b时，等号成立.所以√(a-b)(b-c) 2,即=时，等号成立周为子e(0,号）所以y=4(3 -2)(0<x<号)的最大值为号 8.32因为x>0y>0,且1=青+≥2√倍所以y≤3 跟踪训练3：-1因为x<分.所以1-2>0 当且仅当=子=即=子了=2时取等号 因为2+2=2-1+2+1-（-2+2)+ 9(0xo0+≥4 义因为1-2+2x≥2-2五=2（当且仅当： 当且仅当=兰(>0)，甲=2时取等号。 =0时，等号成立). ∴y=2-（x+4）≤2-4=-2 所以2x+2一≤-2+1=-1，.即最大值是-1 ym=-2 1 随堂检测重反馈 (2),0<x< 21-2>0. 1C由基本不等式知当a>6>0时，v瓜<兰，瓜< y=7(1-2)=×2x1-2) “中故选c 211-1 2.D由于ab>0,可知a与b同号，显然当a<0,b<0时，选项 A,B中的不等式不成立，所以选项A,B错误：由b>0,得 当且仪当2x=1-2x,即x=子时取等号， >0,号>0，所以台+≥2合2.选项c错误：显 故y=宁1-2)的最大值为6 10..￥>0. 然，Ha,beR,2+b2≥2ab,选项D正确.故选D. 2 3.≥+2=+）+山=+1+ ≥2.当且仅 12 /x2+1/x+1 +1 x+2 x+2 当√E+1=ㄧ，即x=0时取“=“ +1 2 x+21- 4.20x+y≥2行=2√100=20（当且仅当x=y=10时取等号）. x+2 1 练案[12] 当且仅当x+ 即宁时取等号 2 x+2 1,Da<0.则a+4≥4不成立，故A错：a=1,b=1,a2+2< 综上所述，原式得证 11.C x>2,x-2>0, -2+(x-2)≥ 9 4d,故B错：a=4.6=6,则v瓜<“，故C错：由基本不等 式可知D项正确 22任-2)=6，当组仅当22-2.即=5时，等 9 2.Bx>0,y>0,.x+4y≥2x·4y=8,当且仅当x=4y且 号成立，故选C y=4,即x=4,y=1时取等号，x+4y的最小值为8.故 选B 2B由2+3对-1=0可得y=行（任-小因为>0，所 30<0y=--0+南-2≤-2-2=-4，当 以+y+≥2√停=2√9（当且仅当 3 且仅当=即x=-1时取等号 4.B因为x>0,y>0,且x+y=8,所以(1+x)(1+y)=1+x+ 音这即：=号时，等号成立)小放+)的最小值为号 y+=9+≤9+（空）=9+4=25，当且仅当x=y=43ABc≤（生岩），a≠6，b<1,又：√号 -325 a+6=2t>1h<1<4 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9 2 2 所以m的最大值为9 14,a>0,b>0,0+2b=4,4=a+2b≥22ab. 六ab≤2，当且仅当a=2b时取等号，即a=2,b=1时取 跟踪训练3：因为x>0,所以x+ ≥2，当且仅当x=1时取等号， 等号 所以有2+3x+1 1 11 六ab的最大值为2. 15.x>0,a>0,且2x+≥22x…=22a. 1 即2+3+的最大值为了故u≥了 当且仅当2x=兰，即x=时，2+？取得最小值。 例4：(1)设每间虎笼长xm,宽ym, 六2=3，解得a=18. 则由条件知：4x+6y=36,即2x+3y=18, 设每间虎笼面积为S,则S=xx. 2 16.,x,y为正实数，3x+2y=10 方法一：由于18=2x+3y≥2√2x·3y=26xy, W2=3x+2y+2/3x·2≤10+(3x+2y）=20. 所以26≤18，得≤号即8≤受，当且仅当2x=3时。 当且仅当3x=2,3+2y=10,即=子y=子时，等号 等号成立 成立 18解 ly=3. .W≤25.即W的最大值为25. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大 第2课时基本不等式的应用 方法二：由2x+3=18,得x=9- 2为 题型探究提技能 3 例1：ly=+7+10=x++5x+)+4.（(x+)+ 因为x>0,所以9-2宁>0， x+ +1 ++5,因为>-山，所以x+1>0,所以y≥ 4 所以0<y<6,8=y=(9-y=26- 因为0<y<6,所以6-y>0,所以s≤号·[6+ 2√+0高+5=9，当组仅当1=即1时 等号成立，故x=【. 跟踪训练1：v6-1y= x+1 x+1 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 2+3x+8(x+1)2+(x+1)+6 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大 1 (2)设每间虎笼长xm,宽ym, 一，因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤ +)+ 由条件知S=y=24.设钢筋网总长为1，则1=4x+6y 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=26y=24 1 1 2y0哥+11+26 2石-，当且仅当x+1= 所以1=4x+6y=2(2x+3y)≥48.当且仅当2x=3y时，等号 23 成立 即=6-1时，等号成立 24解得4 1y=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 03+2.5因为a+6=1.所以片+=（日+名）a+6) 方法二：由w=24,得x=24 =治+0+3≥2√合+3=3+2反，当且仅当 所以1=4x+6y= Vab +6r=6(y)≥6x2√y= y a+b=1. 6_2a即a=2-1,b=2-2时，等号成立. 当且仅当1=y即y=4时，等号成立，此时x=6 a6' 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 跟踪训练2：x>0,y>0,y=9x+y,↓+9=1. 跟踪训练4：58每台机器运转x年的年平均利润为上=18 x y a*y=(+号)(x*)0++≥10+ -(+空)且x>0.放≤18-2压=8，当且仅当=5 2停6 时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元 随堂检测重反馈 当且仅当号=立即x=4,y=2时，等号成立 1令1=-5.则1>0+51++5≥2，+5 即x+y的最小值为6， =9,(当且仅当1=4，即1=2，x=7时，取等号）故x+ 例3：因为a>0,6>0,所以2a+6>0,所以要使2 1 恒成立， 5x>5)的最小值为9. 只需m≤2a+(+古)成立， +=4=位+)*)=4(6 29 面2a+)(古）4++15+49 ++)>00则+≥2受=4（肖 y 326