3.3 第1课时 等积变形和行程问题（讲解课件）-【优翼·学练优】新教材2024-2025学年七年级数学上册同步备课（沪科版2024）

七年级上册数学（沪科版） 第3章 一次方程与方程组 3.3 一元一次方程的应用 第 1 课时 等积变形和行程问题 1 教学目标 1. 会用一元一次方程解决关于等积变形与行程的实际问题. 2. 掌握列方程解应用题的一般步骤. 3. 能体会数学问题源于实际生活，会从实际情境中建立方程模型. 重点：等积变形与行程问题中的方程思想. 难点：建立方程模型，解决实际问题. 根据图中给出的信息，正确的方程是什么呢？ 导入新课 1 等积变形问题 例1 如图，用直径为 200 mm 的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为 300 mm、300 mm 和 90 mm 的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少（圆柱的体积公式：体积 = 底面积  高线长. 计算时  取 3.14. 要求结果误差不超过 1 mm）？ 合作探究 新知探究 200 x 90 300 300 问题1 试比较锻造前面后的立体图形，填写下表： 锻压前圆柱体钢 锻压后长方体钢 底面半径 ____________ 底面面积 ____________ 高 ____________ 高 ____________ 体积 ____________ 体积 ____________ 100 x π×(100)2x 90000 90 8100000 问题2 分析题意，你能找到什么等量关系？ 等量关系：圆钢体积 = 长方体毛胚的体积 问题3：如何根据等量关系“圆钢体积 = 长方体毛胚的体积”列出方程？ 根据等量关系列出方程，得 解方程，得 x≈258. 答：应截取 258 mm 长的圆柱体钢. 等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变 π×(100)2x＝8100000 归纳总结 实际问题 数学问题 一元一次方程 数学问题的解 一元一次方程的解 解方程 实际问题的答案 找等量关系，列方程 抽象为数学模型 回归于实际问题 检验 你能总结出列一元一次方程解实际问题的一般步骤吗？ 合并同类项 系数化 1 典例精析 例2 如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为 4 cm 的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽 5 cm 的长方形纸条. 如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少? 4 5 (单位：cm) 解：设正方形的边长是 x cm. 根据题意，得 4x = 5(x - 4). 解方程，得 x = 20. 答：原正方形的边长为 20 cm . 1. 根据图中给出的信息，可得正确的方程是(　A　) A D. π×82x＝π×62×5 C. π×82x＝π×62×(x＋5) B. π×()2x＝π×()2×(x－5) A. π×()2x＝π×()2×(x＋5) 回顾导入 2 行程问题 例2 某县举办越野赛，选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表: 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10 min，用时 1.5 h 完成了比赛. 求补给站与起点的距离. 起点 补给站 终点 跑步 登山 8.2 km 分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度和时间，它们之间的基本关系为： 路程 = 平均速度×时间；时间=路程÷平均速度. x 8.2－x 根据题目条件，存在的等量关系： 跑步的时间＋登山的时间＝总时间－休息的时间 解：设补给站离起点 x km. 根据题意，得 答：补给站与起点的距离为 6 km. 解方程，得 x = 6. 想一想，这道题 是不是只有这一 种解法呢？ 方法一：直接设元法 方法二：间接设元法 解：设从起点到补给站跑步所用时间为 y h，则补给站离起点 10y km. 根据题意，得 解方程，得 y = 0.6. 所以 10y = 6 . 答：补给站与起点的距离为 6 km. 例3 甲、乙两站相距 480 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 千米，一列快车从乙站开出，每小时行 140 千米． (1) 慢车先开出 1 小时，快车再开，两车相向而行. 问快车开出多少小时后两车相遇？ 解：设快车开出 x 小时后两车相遇． 等量关系： 慢车行驶距离 + 快车行驶距离 = 甲乙两地的距离. 依题意，得 90×1 + 90x + 140x = 480. 解方程，得 解：设相背而行 y 小时两车相距 600 千米． 等量关系： 慢车行驶距离+快车行驶距离+甲乙两地的距离=600 km. 依题意，得 90y + 480 + 140y = 600. (2) 两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距 600 千米？ 解方程，得 解：设 z 小时后快车与慢车相距 600 千米， 等量关系： 快车行驶距离 + 甲乙两地的距离 - 慢车行驶距离= 600 km. 依题意，得 140z + 480 - 90z = 600. (3) 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距 600 千米？ 解方程，得 解：设 m 小时后快车追上慢车， 等量关系： 慢车行驶距离 + 甲乙两地的距离 = 快车行驶距离. 依题意，得 90m + 480 = 140m. (4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 解方程，得 答： 小时后快车追上慢车. 归纳总结 行程问题的基本类型： 相遇问题： 甲的路程 ＋ 乙的路程 ＝ 总路程 追及问题： 追者路程 ＝ 被追者路程 ＋ 相隔距离 弄清题意，分清____量和____量 设_______，用式子表示相关量 找出相等关系，列出______ 解方程，求出________的值 是否为所列方程的___ 是否符合_________ 根据题意写答案 审 设 列 解 检 答 未知数 已知 未知 方程 未知数 解 实际意义 课堂小结 1. 一个宽为 3 cm 的长方形与一个边长为 6 cm 的正方形面积相等，则这个长方形的周长为（ ） A. 12.5 千米/时 B. 15 千米/时 C. 17.5 千米/时 D. 20 千米/时 2. 甲、乙两人骑自行车同时从相距 65 千米的两地相向而行，2 小时相遇，若甲比乙每小时多骑 2.5 千米，则乙的时速是（ ） A. 12 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 30 cm D B 课后练习 3. 一个底面直径为 16 厘米的圆柱形木桶内装满水，水中淹没着一个底面直径为 8 厘米、高为 15 厘米的铁质小圆柱体. 当铁质小圆柱体取出后，木桶内水面下降了多少？ [解析] 木桶内水面下降的圆柱体体积 ＝ 铁质小圆柱体体积． 解：设木桶内水面下降 x cm. 由题意，得 解方程，得 答：木桶内水面下降 4. 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了 2 小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了 2.5 小时. 已知水流的速度是 3 千米/时，求船在静水中的速度. 解：设船在静水中的平均速度为 x 千米/时，则顺流速度为 (x + 3) 千米/时，逆流速度为 (x - 3) 千米/时. 根据题意，得 2(x + 3) = 2.5(x - 3). 解方程，得 x = 27. 答：船在静水中的平均速度为 27 千米/时. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$