专题3 二次函数与一元二次方程、不等式题型归纳讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题3 二次函数与一元二次方程、不等式 1、 三个“二次”的关系 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} R 一元二次不等式的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下,其解集的常用口诀是：大于取两边,小于取中间． ax2＋bx＋c>0中Δ>0时，x1与x2的三重身份：(1)x1与x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； (2)x1与x2是函数y=ax2＋bx＋c的零点；(3)x1与x2是不等式ax2＋bx＋c>0解集的区间端点值。 二、函数的零点 一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点． (1) 零点不是点,是函数图象与x轴交点的横坐标；(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 三、解含参一元二次不等式 (1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． (2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： ①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0. ②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜0). ③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.　 四、解分式不等式 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) (2)≥0(≤0)⇔ 题型1 解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2 解含参一元二次不等式 4．解下列一元二次不等式： (1) (2) (3) 5．解下列一元二次不等式： (1) (2) 6．解下列一元二次不等式： (1)若，解不等式； (2)； (3)； 题型3 解分式不等式 7． 解下列分式不等式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8．已知集合，，则 ． 9．已知集合，，则 ． 题型4 三个“二次”的关系 10．已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 12．已知关于的不等式解集为，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 13．已知关于的二次不等式的解集为，则不等式的解集为 . 14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 15．关于的不等式的解集是，且，则的取值范围是 . 16．若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是 . 17．方程的根2<x1<3，另一根3<x2<4，则的取值范围是 . 18．若方程在上有两个不相等的实数解，则的取值范围是 . 题型5 不等式的“恒成立”问题 19． 无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 20．对任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是_________. 21．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 22．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 23．若对任意的恒成立，则m的取值范围是 ． 24．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 25．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 26．若关于x的不等式对于实数－1时恒成立，实数的取值范围是 . 题型6 不等式的“能成立”问题 27．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 28．若关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围为 . 29．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是 . 30．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 专题3 二次函数与一元二次方程、不等式参考答案 题型1 解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4) (5)； (6)； 答案：(1) (2)无解 (3)（4）（5）（6） 解析：（1），，，. （2），，，无解. （3），，，解得. （4）原不等式变形可得，则该不等式的解集为； （5）因为恒成立，所以该不等式的解集为； （6）原不等式变形可得，所以该不等式的解集为 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A. 解析：由，解得或，故“”是“”的充分不必要条件. 3．命题p：集合，命题q：集合，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：或， 或， 是的真子集，因此，是的必要不充分条件. 题型2 解含参一元二次不等式 4．解下列一元二次不等式： (1) (2) (3) 答案：（1）当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为1或；当时，解集为； 当时，解集为或． 解析：（1）当，原不等式等价于，解得． 当时，原不等式 1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为 2）当时，原不等式 ①当，即时，原不等式解集为或； ②当，即时，易得原不等式解集为 ③当，即时，易得原不等式解集为1或； 综上所述得：当时，解集为 ；当时，解集为； 当时，解集为1或；当时，解集为； 当时，解集为或． 答案：（2）当时，解集为;当时，解集为; 当时，解集为 解析：（2）①当时，不等式化为，解得，此时不等式的解集为; ②当时，原不等式化为，解得不等式的解集为:； ③当时，原不等式化为: ，解得不等式的解集为:. 综上所述，当时，解集为;当时，解集为; 当时，解集为 答案：（3）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 解析：由可得. （1）当时，原不等式即为x-1≥0，解得； （2）当时，解方程可得或. ①当时，，解原不等式可得或 ②当时，则，解原不等式可得； ③当时，原不等式即为，解得； ④当时，，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 5．解下列一元二次不等式： (1) (2) 解析：（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. 解析：（2）不等式对应方程的判别式， a:当，即或时，由于方程的根是， 所以不等式的解集是或}； b:当，即时，不等式的解集为且； c:当，即时，不等式的解集为R， 综上所述：当或时，不等式的解集是或}； 当时，不等式的解集为且；当 时，不等式的解集为R. 6．解下列一元二次不等式： (1)若，解不等式； (2)； (3)； 答案:(1)（2）见解析；（3）见解析。 解析：∵，∴，原不等式可化为，解得． 故原不等式的解集为． 解析：（2）由，可得或，则： 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 解析：（3）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为；时，解集为；时，解集为． 题型3 解分式不等式 8． 解下列分式不等式： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】（1）；（2）；（3）或； （4）；（5）；（6）。 解析：（1）由，得，即， 所以，解得，所以不等式的解集为 解析：（2）因为，等价于，等价于，解得， 所以不等式的解集是； 解析：（3）等价于，解得或， 故解集为或. 解析：（4）不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为； 解析：（5）变形为，故，解得，故不等式的解集为. 解析：（6）原不等式等价于，化简得，等价于，解得： 所以不等式的解集为； 8．已知集合，，则 ． 答案：. 解析：因为，， 所以. 9．已知集合，，则 ． 答案: 解析：由，即，解得，所以， 由，即，等价于，解得或，所以， 所以. 题型4 三个“二次”的关系 10．已知且，则“的解集为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由题意，二次不等式的解集为， 则等价于，即，即， 当时，不能推出， 所以“的解集为”是“”的充分不必要条件， 11．已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 答案：A 解析：因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即，所以. 12．已知关于的不等式解集为，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 答案：AD 解析：关于的不等式解集为或, 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即，因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 13．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 答案： 解析：根据题意，方程的两根为2和3，则， 则为，其解集为. 14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 答案：或. 解析：因为不等式的解集为， 所以的两根为，即，解得. 所以不等式可化为，其解集为或. 15．关于的不等式的解集是，且，则的取值范围是 . 答案：−25≤a<−24或 解析：关于的不等式的解集是， ∴是方程的两个根，∴即， ∴或，∴，， ∵，∴， 即，即，解得， 综上所述：的取值范围是－25≤a<－24或. 16．若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是 . 答案：－2或 解析：原不等式可化为， 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则； 当时，得，此时解集中的整数为，，，则， 综上所述，的取值范围是－2或 17．方程的根2<x1<3，另一根3<x2<4，则的取值范围是 . 答案： 解析：令，由二次函数图象性质得，若2<x1<3，另一根3<x2<4 当x＝2时，y，当x＝3时，y，当x＝4时，y，即， 解不等式组可得，即的取值范围为 18． 若方程在上有两个不相等的实数解，则的取值范围是 . 答案：. 解析：令，因为方程在上有两个不相等的实数解，由二次函数图象性质得：当x＝－2时，y，当x＝1时，y，即，解得，所以的取值范围是. 题型5 不等式的“恒成立”问题 19．无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 答案： 解析：因为无论取何值时，不等式恒成立，所以，，解得. 20．对任意实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是_________. 答案： 解析：当时,不等式化简为,显然此时不等式恒成立; 当时,由一元二次不等式恒成立可得,解得, 综上所述,a的取值范围为. 21．关于x的一元二次不等式的解集为空集，则实数m的取值范围为 ． 答案： 解析：因为关于x的一元二次不等式的解集为空集， 所以，对恒成立，所以，解得. 22．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是 答案：. 解析：当时，，与客观事实矛盾， 故此时不等式的解集为，符合； 当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为， 则有， 综上，实数m的取值范围是. 23．若对任意的恒成立，则m的取值范围是 ． 答案： 解析：，而当时，，当且仅当，即时取等号，所以m的取值范围是:. 24．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 答案： 解析：当时，不等式恒成立，所以当时，恒成立， 则=2.5，所以. 25．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 . 答案：. 解析：当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立，对称轴为， 时，开口向上，当x=±1时，y，即，解得； 时，开口向下，当，解得. 综上所述，的取值范围是. 26．若关于x的不等式对于实数－1时恒成立，实数的取值范围是 . 答案：. 解析：关于x的不等式对于实数－1时恒成立， 等价于，显然， 令自变量为的函数，所以在， 即，解得，所以实数的取值范围是。 题型6 不等式的“能成立”问题 27．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：∵，则，即， 由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为的真子集， 结合选项可知符合的只有B选项。 28．若关于x的不等式在上有解，则实数m的取值范围为 . 答案： 解析：易知恒成立，即有两个不等实数根， 又，即二次函数有两个异号零点， 所以要满足不等式在上有解， 所以只需，解得，所以实数m的取值范围是． 29．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是 . 答案： 解析：由题意可知，因为，故在上有实数解，则，且.所以在上有实数解时，a的取值范围是：. 30． 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 答案： 解析：不等式在上有解，仅需即可， 令y=x2－6x+2，对称轴为，0比5距离对称轴远，所以， 所以实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$