6.2 直线、射线、线段 同步练习2024-2025学年人教版七年级上册

6.2 直线、射线、线段 知识点1 直线 1.直线可以用表示直线上任意两点的 字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个 字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示.如下图： 直线l或直线AB 2.直线的基本事实：经过 点有且只有一条直线.简单说成： . 3.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线 ，这个公共点叫做它们的 .如下图： 直线a，b交于点O 4.直线没有端点，没有长度，不可度量.“延长直线”的说法是 的. 拓展：过不在同一条直线上的三点画不出直线.过没有任何三点共线的n个点中的两点共能画出条直线.若平面内有n条直线，则最多有个交点. 知识点2 射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示 点和射线上另一个点的 个大写字母来表示，也可以用一个 字母来表示. 2.射线只有 个端点，没有长度，不可度量.如下图，“延长射线AB”的说法是 的，但可以说“反向延长射线AB”. 知识点3 线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.下图中的线段可以表示为线段AB线段BA或线段a. 2.线段的比较：比较身高通常是让两人背靠在一起并站在同一平面上，看头部位置来得出结论，即叠合法.又如比较两根筷子的长短，一般也采用叠合法.比较两条线段的长短可以采取 法或 . 3.线段的中点：把一条线段分成两条 的线段的点，叫做线段的中点.如图，若点O是线段AB的中点，则有AO= = .反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足，那么点O为线段AB的 . 4.线段的n等分点：若线段上个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这个点为这条线段的 等分点. 5.点和线段的位置关系：点在线段 （包括端点）或点在线段 ，也可以说成线段经过点或线段不经过点. 6.线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算. 7.线段的基本事实：两点之间， 最短. 8.两点的距离：连接两点间的线段的 ，叫做这两点的距离. 知识点4 用尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作法：第一步：作射线AC. 第二步：以 为圆心， 的长为半径画弧，交射线AC于点 . 则线段AB就是所求作的线段.如下图： 作一条线段等于已知线段 2.作线段的和、差 在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b；设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b. 重点 1、用大写字母表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面. 2、端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延长的方向不同，所表示的射线也不同；只有端点和延长方向都相同时，才是同一条射线. 3、不能用一个大写字母或两个小写字母或一大写一小写两字母来表示. 4、只有线段才能比较大小，直线和射线不能比较大小在用“<”“>”或“=”连接两条线段时，字母前的“线段”二字可省略不写. 5、虽然线段没有方向，但延长线段是有“方向”的，如延长线段AB是指沿着从点A到点B的方向延长. 6、线段与两点的距离含义不同，线段是图形，距离是数量，不是一回事.但二者又有紧密联系：两点的距离是连接这两点间的线段的长度，不是随便一条线段的长度. 课时1 直线、射线、线段 基础巩固 题型1 直线、射线、线段的图形与表示 1.下列说法正确的是（ ） A.画一条长3cm的射线 B.射线、线段、直线中直线最长 C.射线是直线的一部分 D.直线只能往一个方向延伸 2.手电简发射出来的光线，类似于几何中的（ ） A.线段 B.射线 C.直线 D.折线 3.如图，下列不正确的几何语句是（ ） A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线OA与射线OB是同一条射线 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.线段AB与线段BA是同一条线段 4.如图，平面上有三点A，B，C，按下列要求画出图形（在原图上画）. （1）画直线AB；（2）画射线BC；（3）画线段AC. 题型2 点与直线、射线、线段的位置关系 5.下列说法错误的是（ ） A.图①中直线l经过点A B.图②中直线a，b相交于点A C.图③中点C在线段AB上 D.图④中射线CD与线段AB有公共点 6.对于直线AB，线段CD，射线EF，在下列各图中能相交的是（ ） A. B. C. D. 7.直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC的交点. 以上语句正确的有__________.（只填写序号） 题型3 直线的基本事实 8.在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ） ①把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ③植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上. A.① B.② C.③ D.②③ 9.在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.无法确定 10.开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，这是因为______________________. 巩固提升 1.如图是四个图形，每一个图形都有相应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上. ①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，会经过点C.其中正确的语句的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，记以点A为端点的射线条数为x，以点D为其中一个端点的线段的条数为y，则x-y的值为________. 3.若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交.如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域________时，线段PQ与线段AB相交（填写区域序号） 4.小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星.小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星.”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 5.如图，A，B，C，D四点在同一平面内，并且每三点都不在同一条直线上，读下列语句，按要求画出图形. （1）连接AD，并延长线段DA； （2）连接BC，并反向延长线段BC； （3）连接AC，BD相交于点O； （4）DA的延长线与BC的反向延长线交于点P. 拓展培优 6.探究归纳题. （1）试验分析： 如图（1），直线上有两点A与B，图中有_______条线段. （2）拓展延伸： 如图（2），直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC.去除重复线段，图（2）中共有_______条线段.用同样方法探究出图（3）中有_______条线段. （3）探索归纳： 如果直线上有n（n为正整数）个点，则共有________条线段.（用含n的式子表示） （4）解决问题： ①中职篮（CBA）赛，参赛队伍数为20支，截至2023年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛. ②2023年8月28日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，正式进入轨道铺设阶段，预计2024年7月1日通车，若北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，承德南站，喀左站，赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下应该设计多少种高铁车票. 课时2 线段的比较与度量 基础巩固 题型1 线段的尺规作图 1.尺规作图的工具是（ ） A.刻度尺和圆规 B.三角尺和圆规 C.直尺和圆规 D.没有刻度的直尺和圆规 2.已知：线段a，如图（1）.求作：线段AB，使AB=a.在下面的作法中，有些地方叙述稍显笼统，请找出来，并加以改正. 作法：如图（2），①作射线AC；②以点A为一端，作线段AB=a.AB就是所求作的线段. 3.如图，已知线段a，b，在同一条射线上作出线段AB，BC，使AB=a，BC=b. 题型2 线段的比较 4.体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示她最好成绩的点是（ ） A.M B.N C.P D.Q 5.如图所示，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是（ ） A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定 6.如图，用圆规比较两条线段A'B'和AB的长短，则AB______A'B'.（填“>”“=”或“<”） 题型3 线段的和差 7.如图，一根长为10厘米的木棒，棒上有两个刻度.若把它作为尺子，量一次要量出一个长度，能量的长度共有（ ） A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 8.线段AB=3cm，在线段AB的延长线上截取BC=1cm，则AC=_______. 题型4 线段的中点 9.如图，已知点P是CD中点，则下列等式中正确的有（ ） ①PC=PD；②；③CD=2PD；④PC+PD=CD. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，AB=24，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且，则DB的长度为_______. 11.如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AC=6cm，BD=2cm. （1）图中共有多少条线段？ （2）求AD的长. 题型5 线段的性质 12.某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要短，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.线段的定义 D.圆弧的定义 13.如图，甲、乙两地之间有多条路可走，其中最短路线的走法序号是②-④，其理由是_____________________. 易错点 对于没给出图形的线段和差问题，因考虑不周致错 14.若A，B，C在同一条直线上，线段AB=10cm，BC=2cm，则A，C两点间的距离是________. 巩固提升 1.如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（ ） A.CD=AC-BD B. C. D.CD=AD-BC 2.如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三个住宅区在一条大道上（即A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米.为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ） A.点A B.点B C.A，B之间 D.B，C之间 3.如图（1），OP为一条拉直的细线，A，B两点在OP上，且OA:AP=1:3，OB:BP=3:5.若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图（2），再从图（2）的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为（ ） A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:2 D.1:2:5 4.如图，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点如果AB=a，AD=b，那么CE=________. 5.已知：如图，AB=18cm，点M是线段AB的中点，点C把线段MB.分成MC:CB=2:1的两部分，求线段AC的长. 请补充下列解答过程： 解：因为M是线段AB的中点，且AB=18cm， 所以AM=MB=______AB=______cm. 因为MC:CB=2:1， 所以MC=______MB=______cm. 所以AC=AM+______=______+______=______（cm）. 6.画图并计算：已知线段AB=2cm，延长线段AB至点C，使得，再反向延长AC至点D，使得AD=AC. （1）准确地画出图形，并标出相应的字母； （2）哪个点是线段DC的中点？线段AB的长是线段DC的长的几分之几？ （3）求出线段BD的长度. 7.如图，已知点A，B，C在同一直线上，M，N分别是线段AC，BC的中点. （1）若AB=20，BC=8，求MN的长； （2）若AB=a，BC=8，求MN的长； （3）若AB=a，BC=b，求MN的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 拓展培优 8.已知A，B两点在数轴上表示的数为a和b，M，N均为数轴上的点，且OA<OB. （1）若A，B的位置如图所示，试化简：； （2）如图，若，MN=3，求图中以A，N，O，M，B这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和； （3）如图，M为AB中点，N为OA中点，且MN=2AB-15，a=-3，若点P为数轴上一点，且，试求点P所对应的数. 课时3 与线段上的点有关的计算 巩固提升 类型1 与线段中点有关的计算 1.如图，已知线段AB=12，延长线段AB至点C，使得，点D是线段AC的中点，则线段BD的长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m，CD=n，则AB=（ ） A.m-n B.m+n C.2m-n D.2m+n 3.已知线段AB=10cm，在直线AB上取一点C，使AC=16cm，求线段AB的中点与AC的中点的距离. 类型2 与线段分点有关的计算 4.如图，已知点C将线段AB分成1:3的两部分，点D是AB的中点，若CD=2，则线段AB的长为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 5.已知线段AB=8，在线段AB上取点C，使得AC:CB=1:3，延长CA至点D，使得AD=2AC，点E是线段CB的中点，则线段ED的长度为（ ） A.5 B.9 C.10 D.16 6.如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，点C将线段MB分成两部分，且MC:CB=1:2，则线段AC的长度为________. 7.如图，已知点C为线段AB上一点，AC=15cm，，D，E分别为线段AC，AB的中点，求线段DE的长. 类型3 与线段上的动点有关的计算 8.线段AB=12cm，点C在线段AB上，点D，E分别是AC和BC的中点. （1）若点C恰好是AB中点，求DE的长； （2）若AC=4cm，求DE的长； （3）若点C为线段AB上的一个动点（点C不与A，B重合），求DE的长. 9.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧的一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. （1）数轴上点B表示的数是_________；点P表示的数是_________（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长. 99 学科网（北京）股份有限公司 答案 15 直线、射线、线段 知识点1 直线 1.直线可以用表示直线上任意两点的 字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个 字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示.如下图： 直线l或直线AB 2.直线的基本事实：经过 点有且只有一条直线.简单说成： . 3.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线 ，这个公共点叫做它们的 .如下图： 直线a，b交于点O 4.直线没有端点，没有长度，不可度量.“延长直线”的说法是 的. 拓展：过不在同一条直线上的三点画不出直线.过没有任何三点共线的n个点中的两点共能画出条直线.若平面内有n条直线，则最多有个交点. 知识点2 射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示 点和射线上另一个点的 个大写字母来表示，也可以用一个 字母来表示. 2.射线只有 个端点，没有长度，不可度量.如下图，“延长射线AB”的说法是 的，但可以说“反向延长射线AB”. 知识点3 线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示.下图中的线段可以表示为线段AB线段BA或线段a. 2.线段的比较：比较身高通常是让两人背靠在一起并站在同一平面上，看头部位置来得出结论，即叠合法.又如比较两根筷子的长短，一般也采用叠合法.比较两条线段的长短可以采取 法或 . 3.线段的中点：把一条线段分成两条 的线段的点，叫做线段的中点.如图，若点O是线段AB的中点，则有AO= = .反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足，那么点O为线段AB的 . 4.线段的n等分点：若线段上个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这个点为这条线段的 等分点. 5.点和线段的位置关系：点在线段 （包括端点）或点在线段 ，也可以说成线段经过点或线段不经过点. 6.线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算. 7.线段的基本事实：两点之间， 最短. 8.两点的距离：连接两点间的线段的 ，叫做这两点的距离. 知识点4 用尺规作图 1.作一条线段等于已知线段 作法：第一步：作射线AC. 第二步：以 为圆心， 的长为半径画弧，交射线AC于点 . 则线段AB就是所求作的线段.如下图： 作一条线段等于已知线段 2.作线段的和、差 在直线上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b；设线段a>b，如果在线段AB上作线段BD=b，那么线段AD就是a与b的差，记作AD=a-b. 答案 大写 小写 两 两点确定一条直线 相交 交点 错误 端 两 小写 — 错误 叠合 度量 相等 BO AB 中点 n 上 外 线段 长度 A 线段a B 重点 1、用大写字母表示射线时，一定要把表示端点的字母写在前面. 2、端点不同，所表示的射线不同；端点相同，延长的方向不同，所表示的射线也不同；只有端点和延长方向都相同时，才是同一条射线. 3、不能用一个大写字母或两个小写字母或一大写一小写两字母来表示. 4、只有线段才能比较大小，直线和射线不能比较大小在用“<”“>”或“=”连接两条线段时，字母前的“线段”二字可省略不写. 5、虽然线段没有方向，但延长线段是有“方向”的，如延长线段AB是指沿着从点A到点B的方向延长. 6、线段与两点的距离含义不同，线段是图形，距离是数量，不是一回事.但二者又有紧密联系：两点的距离是连接这两点间的线段的长度，不是随便一条线段的长度. 课时1 直线、射线、线段 基础巩固 题型1 直线、射线、线段的图形与表示 1.下列说法正确的是（ ） A.画一条长3cm的射线 B.射线、线段、直线中直线最长 C.射线是直线的一部分 D.直线只能往一个方向延伸 1.C 【解析】A选项，画一条长3cm的射线，说法错误，射线可以向一个方向无限延伸；B选项，射线、线段、直线中直线最长说法错误，射线可以向一个方向无限延伸，直线可以向两个方向无限延伸；C选项，射线是直线的一部分，正确；D选项，直线可以向两个方向无限延伸，原说法错误.故选C. 2.手电简发射出来的光线，类似于几何中的（ ） A.线段 B.射线 C.直线 D.折线 2.B 【解析】手电筒发射出来的光线，类似于几何中的射线，手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向.故选B. 3.如图，下列不正确的几何语句是（ ） A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线OA与射线OB是同一条射线 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.线段AB与线段BA是同一条线段 3.C 【解析】A正确，因为直线向两方无限延伸；B正确，射线的端点和方向都相同；C错误，因为射线的端点不相同；D正确.故选C. 4.如图，平面上有三点A，B，C，按下列要求画出图形（在原图上画）. （1）画直线AB；（2）画射线BC；（3）画线段AC. 4.【解】如图所示： 题型2 点与直线、射线、线段的位置关系 5.下列说法错误的是（ ） A.图①中直线l经过点A B.图②中直线a，b相交于点A C.图③中点C在线段AB上 D.图④中射线CD与线段AB有公共点 5.C 【解析】A选项，题图①中直线l经过点A，正确；B选项，题图②中直线a，b相交于点A，正确；C选项，题图③中点C在线段AB外；故本选项错误；D选项，题图④中射线CD与线段AB有公共点，正确.故选C. 6.对于直线AB，线段CD，射线EF，在下列各图中能相交的是（ ） A. B. C. D. 6.B 【解析】B选项中直线AB与射线EF能相交；A、C、D选项中均不能相交.故选B. 7.直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC的交点. 以上语句正确的有__________.（只填写序号） 7.①③④ 【解析】由题图可得，①点B在直线BC上，正确；②直线AB不经过点C，错误；③直线AB，BC，CA两两相交，正确；④点B是直线AB，BC的交点，正确.故答案为①③④. 题型3 直线的基本事实 8.在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ） ①把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ②把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ③植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上. A.① B.② C.③ D.②③ 8.C 【解析】①把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用“点动成线”来解释；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；③植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释.故选C. 9.在墙壁上固定一根横放的木条，至少需要钉子的枚数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.无法确定 9.B 【解析】因为两点确定一条直线，所以至少需要2枚钉子.故选B. 10.开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，这是因为______________________. 10.两点确定一条直线 巩固提升 1.如图是四个图形，每一个图形都有相应的一句描述，且所有图形都画在同一个平面上. ①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，会经过点C.其中正确的语句的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 1.B 【解析】①线段AB与射线MN不相交；根据图形可得①正确；②根据图形可得点C不在线段AB上，故②错误；③根据图形可得出直线a和直线b会相交，故③错误；④根据图形可得出应为延长线段AB，会经过点C，故④错误.故正确的语句的个数是1，故选B. 2.如图，记以点A为端点的射线条数为x，以点D为其中一个端点的线段的条数为y，则x-y的值为________. 2.-2 【解析】因为以点A为端点的射线有射线AC、射线AB，所以x=2.因为以点D为其中一个端点的线段有DA，DO，DB，DC，所以y=4.所以x-y=2-4=-2. 3.若两个图形有公共点，则称这两个图形相交，否则称它们不相交.如图，直线PA，PB和线段AB将平面分成五个区域（不包含边界），当点Q落在区域________时，线段PQ与线段AB相交（填写区域序号） 3.② 【解析】由题图可得，当点Q落在区域②时；线段PQ与线段AB相交. 4.小刚和小强在争论一道几何问题，问题是射击时为什么枪管上有准星.小刚说：“过两点有且只有一条直线，所以枪管上才有准星.”小强说：“过两点有且只有一条直线我当然知道，可是若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这样不是有三点了吗？既然过两点有且只有一条直线，那弄出第三点是为什么呢？”聪明的你能回答小强的疑问吗？ 4.【解】如果将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与目标确定的这条直线应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，即可看到哪儿打到哪儿. 换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上. 5.如图，A，B，C，D四点在同一平面内，并且每三点都不在同一条直线上，读下列语句，按要求画出图形. （1）连接AD，并延长线段DA； （2）连接BC，并反向延长线段BC； （3）连接AC，BD相交于点O； （4）DA的延长线与BC的反向延长线交于点P. 5.【解】 拓展培优 6.探究归纳题. （1）试验分析： 如图（1），直线上有两点A与B，图中有_______条线段. （2）拓展延伸： 如图（2），直线上有A，B，C三个点，以A为端点，有线段AB，线段AC；以C为端点，有线段CA，线段CB；以B为端点，有线段BA，线段BC.去除重复线段，图（2）中共有_______条线段.用同样方法探究出图（3）中有_______条线段. （3）探索归纳： 如果直线上有n（n为正整数）个点，则共有________条线段.（用含n的式子表示） （4）解决问题： ①中职篮（CBA）赛，参赛队伍数为20支，截至2023年12月14日，赛程已经过半（每两队之间都赛了一场），请你帮助计算一下目前一共进行了多少场比赛. ②2023年8月28日，赤峰至京沈高铁喀左站客运专线路基工程全部完成，正式进入轨道铺设阶段，预计2024年7月1日通车，若北京至赤峰有北京星火站，顺义西站，怀柔南站，密云站，承德南站，喀左站，赤峰西站等共计14个车站，请你帮助计算一下应该设计多少种高铁车票. 6.【解】（1）题图（1）中有1条线段.故答案为1. （2）题图（2）共有3条线段，题图（3）中有6条线段.故答案为3，6. （3）如果直线上有n（n为正整数）个点，则共有条线段.故答案为. （4）①（场）. 答：一共进行了190场比赛. ②（种）. 答：应该设计182种高铁车票. 课时2 线段的比较与度量 基础巩固 题型1 线段的尺规作图 1.尺规作图的工具是（ ） A.刻度尺和圆规 B.三角尺和圆规 C.直尺和圆规 D.没有刻度的直尺和圆规 1.D 【解析】“尺规作图”中的尺是指没有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度.故选D. 2.已知：线段a，如图（1）.求作：线段AB，使AB=a.在下面的作法中，有些地方叙述稍显笼统，请找出来，并加以改正. 作法：如图（2），①作射线AC；②以点A为一端，作线段AB=a.AB就是所求作的线段. 2.【解】作法的叙述中第②步太笼统，没交待清楚. 这一步正确作法为以点A为圆心，以线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B.线段AB即为所求. 或者是用圆规在射线AC上截取AB=a，线段AB即为所求. 3.如图，已知线段a，b，在同一条射线上作出线段AB，BC，使AB=a，BC=b. 3.【解】如图所示： 或 题型2 线段的比较 4.体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示她最好成绩的点是（ ） A.M B.N C.P D.Q 4.C 【解析】如图所示，OP>ON>OQ>OM，所以表示她最好成绩的点是点P，故选C. 5.如图所示，比较线段a和线段b的长度，结果正确的是（ ） A.a>b B.a<b C.a=b D.无法确定 5.B 【解析】由题图知a的长度约为3.5cm，b的长度约为4.2cm，所以a<b.故选B. 6.如图，用圆规比较两条线段A'B'和AB的长短，则AB______A'B'.（填“>”“=”或“<”） 6.< 【解析】由题图可知，AB <A'B'. 题型3 线段的和差 7.如图，一根长为10厘米的木棒，棒上有两个刻度.若把它作为尺子，量一次要量出一个长度，能量的长度共有（ ） A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 7.B 【解析】因为图中共有3+2+1=6（条）线段，所以能量出6个长度，分别是2厘米、3厘米、5厘米、7厘米、8厘米、10厘米.故选B. 8.线段AB=3cm，在线段AB的延长线上截取BC=1cm，则AC=_______. 8.4cm 【解析】因为点C在线段AB的延长线上，所以AC=AB+BC=3+1=4（cm）. 题型4 线段的中点 9.如图，已知点P是CD中点，则下列等式中正确的有（ ） ①PC=PD；②；③CD=2PD；④PC+PD=CD. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.D 【解析】因为P是CD中点，所以PC=PD，，CD=2PD，PC+PD=CD，所以正确的是①②③④，共4个，故选D. 10.如图，AB=24，点C为AB的中点，点D在线段AC上，且，则DB的长度为_______. 10.20 【解析】因为AB=24，点C为AB的中点，所以.因为，所以，所以DB=AB-AD=24-4=20. 11.如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AC=6cm，BD=2cm. （1）图中共有多少条线段？ （2）求AD的长. 11.【解】（1）图中共有6条线段，分别是AC，AB，AD，CB，CD，BD. （2）因为点B是CD的中点，BD=2cm；所以CD=2BD=4cm，所以AD=AC+CD=10cm. 题型5 线段的性质 12.某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶减掉一部分（如图），发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要短，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.线段的定义 D.圆弧的定义 12.A 【解析】剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要短，依据是两点之间线段最短. 13.如图，甲、乙两地之间有多条路可走，其中最短路线的走法序号是②-④，其理由是_____________________. 13.两点之间，线段最短 【解析】两点的所有连线中，线段最短.简单说即两点之间，线段最短.故答案为两点之间，线段最短. 易错点 对于没给出图形的线段和差问题，因考虑不周致错 14.若A，B，C在同一条直线上，线段AB=10cm，BC=2cm，则A，C两点间的距离是________. 14.12cm或8cm 【解析】当点B在点A，C之间时，AC=AB+BC=12cm；当点C在点A，B之间时，AC=AB-BC=8cm.故答案为12cm或8cm. 易错警示 对于没有给出图形的求线段长度的问题，一定要考虑清楚所求的线段有几种情况.如本题“点A，B，C在同一条直线上”这个条件，并未明确三个点具体的位置关系，这就有两种不同的情况存在：点C在点B的左边或右边.要在每种情况下分别算出A，C两点间的距离. 巩固提升 1.如图，C是线段AB的中点，D是CB上一点，下列说法中错误的是（ ） A.CD=AC-BD B. C. D.CD=AD-BC 1.B 【解析】因为C是线段AB的中点，所|以.A选项，CD=BC-BD=AC-BD，故本选项正确；B选项，D不一定是BC的中点，故不一定成立；C选项， ，故本选项正确；D选项，CD=AD-AC=AD-BC，故本选项正确.故选B. 2.如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三个住宅区在一条大道上（即A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米.为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ） A.点A B.点B C.A，B之间 D.B，C之间 2.A 【解析】①以点A为停靠点，则所有人步行到停靠点的路程之和为（米）； ②以点B为停靠点，则所有人步行到停靠点的路程之和为（米）； ③以点C为停靠点，则所有人步行到停靠点的路程之和为（米）； ④当在A，B之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则0<m<300，则所有人步行到停靠点的路程之和是米>13500米； ⑤当在B，C之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则0<n<600，则所有人步行到停靠点的路程之和为米>15000米.所以该停靠点的位置应设在点A，故选A. 3.如图（1），OP为一条拉直的细线，A，B两点在OP上，且OA:AP=1:3，OB:BP=3:5.若先固定B点，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图（2），再从图（2）的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为（ ） A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:2 D.1:2:5 3.B 【解析】设OP的长度为8a.因为OA:AP=1:3，OB:BP=3:5；所以OA=2a，AP=6a，OB=3a，BP=5a.又因为先固定B点，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，再从题图（2）中的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，所以这三段从小到大的长度分别是2a，2a，4a，则此三段细线由小到大的长度比为2a:2a:4a=1:1:2.故选B. 4.如图，点C是线段AB上一点，点D，E分别是线段AC，BC的中点如果AB=a，AD=b，那么CE=________. 4. 【解析】因为点D，E分别是线段AC，BC的中点，AB=a，AD=b，所以AC=2b，所以BC=a-2b，. 5.已知：如图，AB=18cm，点M是线段AB的中点，点C把线段MB.分成MC:CB=2:1的两部分，求线段AC的长. 请补充下列解答过程： 解：因为M是线段AB的中点，且AB=18cm， 所以AM=MB=______AB=______cm. 因为MC:CB=2:1， 所以MC=______MB=______cm. 所以AC=AM+______=______+______=______（cm）. 5.【解】因为M是线段AB的中点，且AB=18cm， 所以. 因为MC:CB=2:1， 所以. 所以AC=AM+MC=9+6=15（cm）. 故答案为，9，，6，MC，9，6，15. 6.画图并计算：已知线段AB=2cm，延长线段AB至点C，使得，再反向延长AC至点D，使得AD=AC. （1）准确地画出图形，并标出相应的字母； （2）哪个点是线段DC的中点？线段AB的长是线段DC的长的几分之几？ （3）求出线段BD的长度. 6.【解】（1）如图： （2）点A是线段DC的中点. 因为，所以. 又因为AD=AC，所以. （3）因为AB=2cm， 所以，， 所以BD=DC-BC=6-1=5（cm）. 7.如图，已知点A，B，C在同一直线上，M，N分别是线段AC，BC的中点. （1）若AB=20，BC=8，求MN的长； （2）若AB=a，BC=8，求MN的长； （3）若AB=a，BC=b，求MN的长； （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到什么结论？ 7.【解】（1）因为AB=20，BC=8，所以AC=AB+BC=28.因为点A，B，C在同一直线上，M，N分别是AC，BC的中点， 所以，， 所以MN=MC-NC=14-4=10. （2）根据（1）得. （3）根据（1）得. （4）从（1）（2）（3）的结果中能得到线段MN的长度始终等于线段AB长度的一半，与BC的长度无关. 拓展培优 8.已知A，B两点在数轴上表示的数为a和b，M，N均为数轴上的点，且OA<OB. （1）若A，B的位置如图所示，试化简：； （2）如图，若，MN=3，求图中以A，N，O，M，B这5个点为端点的所有线段（无重复）长度的和； （3）如图，M为AB中点，N为OA中点，且MN=2AB-15，a=-3，若点P为数轴上一点，且，试求点P所对应的数. 8.【解】（1）由已知得a<0，b>0. 因为OA<OB， 所以， 所以a+b>0，a-b<0， 所以 . （2）因为， 所以AB=8.9.又因为MN=3， 所以 . （3）因为a=-3， 所以OA=3. 因为M为AB的中点，N为OA的中点， 所以，， 所以. 又因为MN=2AB-15， 所以， 解得AB=9， 所以. 当点P在点A的左边时，点P在原点的左边，OP=9，故点P所对应的数为-9； 当点P在点A的右边时，点P在原点的右边，OP=3，故点P所对应的数为3. 综上，点P所对应的数为-9或3. 课时3 与线段上的点有关的计算 巩固提升 类型1 与线段中点有关的计算 1.如图，已知线段AB=12，延长线段AB至点C，使得，点D是线段AC的中点，则线段BD的长是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 1.A 【解析】由题意可知AB=12，且， 所以BC=6，AC=18. 因为点D是线段AC的中点， 所以， 所以BD=AB-AD=12-9=3. 2.如图，C，D是线段AB上的两点，E是AC的中点，F是BD的中点，若EF=m，CD=n，则AB=（ ） A.m-n B.m+n C.2m-n D.2m+n 2.C 【解析】由题意，得EC+FD=m-n. 因为E是AC的中点，F是BD的中点， 所以AE+FB=EC+FD=EF-CD=m-n.又因为AB=AE+FB+EF，所以AB=m-n+m=2m-n，故选C. 3.已知线段AB=10cm，在直线AB上取一点C，使AC=16cm，求线段AB的中点与AC的中点的距离. 3.【解】①如图，当C在BA延长线上时. 因为AB=10cm，AC=16cm，D，E分别是AB，AC的中点，所以，， 所以DE=AE+AD=8+5=13（cm）. ②如图，当C在AB延长线上时. 因为AB=10cm，AC=16cm，D，E分别是AB，AC的中点，所以，， 所以DE=AE-AD=8-5=3（cm）. 综上，线段AB的中点与AC的中点的距离为13cm或3cm. 类型2 与线段分点有关的计算 4.如图，已知点C将线段AB分成1:3的两部分，点D是AB的中点，若CD=2，则线段AB的长为（ ） A.6 B.8 C.10 D.12 4.B 【解析】由题意可知，， 而CD=AD-AC，所以， 所以，所以AB=8，故选B. 5.已知线段AB=8，在线段AB上取点C，使得AC:CB=1:3，延长CA至点D，使得AD=2AC，点E是线段CB的中点，则线段ED的长度为（ ） A.5 B.9 C.10 D.16 5.B 【解析】根据题意画图： 因为AC:CB=1:3，且AB=8， 所以AC=2，BC=6. 由题意可知 ，故选B. 6.如图，长度为12cm的线段AB的中点为M，点C将线段MB分成两部分，且MC:CB=1:2，则线段AC的长度为________. 6.8cm 【解析】因为线段AB的中点为M， 所以AM=BM=6cm. 设MC=xcm，则CB=2xcm， 所以x+2x=6，解得x=2， 即MC=2cm. 所以AC=AM+MC=6+2=8（cm）. 7.如图，已知点C为线段AB上一点，AC=15cm，，D，E分别为线段AC，AB的中点，求线段DE的长. 7.【解】因为AC=15cm，， 所以，所以AB=15+9=24（cm）. 因为D，E分别为线段AC，AB的中点， 所以， . 所以DE=AE-AD=12-7.5=4.5（cm）. 类型3 与线段上的动点有关的计算 8.线段AB=12cm，点C在线段AB上，点D，E分别是AC和BC的中点. （1）若点C恰好是AB中点，求DE的长； （2）若AC=4cm，求DE的长； （3）若点C为线段AB上的一个动点（点C不与A，B重合），求DE的长. 8.【解】（1）因为点C是AB中点， 所以. 又因为D，E分别是AC和BC的中点， 所以， 故DE的长为6cm. （2）因为AB=12cm，AC=4cm， 所以BC=8cm， 因为点D，E分别是AC和BC的中点， 所以，， 所以DE=6cm. （3）因为， 且AB=12cm， 所以DE=6cm. 9.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧的一点，且AB=22，动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. （1）数轴上点B表示的数是_________；点P表示的数是_________（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.若点P，Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为线段AP的中点，N为线段BP的中点，在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长. 9.（1）-14 8-5t 【解】（2）如图，设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x. 因为AC-BC=AB，所以5x-3x=22.解得x=11. 所以点P运动11秒时追上点Q. （3）线段MN的长度不发生变化，都等于11. 理由如下： ①当点P在点A，B之间运动时，如图， ； ②当点P运动到点B的左侧时，如图， . 所以线段MN的长度不发生变化，其值为11. 99 学科网（北京）股份有限公司 $$