5.3 实际问题与一元一次方程 同步练习 2024—2025学年人教版（2024）数学七年级上册

13 实际问题与一元一次方程 知识点1 列方程解应用题的步骤 1.审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 2.找：找出能表示题目全部含义的一个 关系； 3.设：设未知数，可根据已知和所求选择 假设或 假设，原则是尽量使列出的方程简单； 4.列：根据 关系列出方程； 5.解：解方程； 6.检：检验求得的解是否正确及其是否符合 意义； 7.答：写出答案. 知识点2 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5.首先写出“x+2的2倍”，即，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即. 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量. 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系.例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系. 知识点3 常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量× =B种配件总数量× . 例如，一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成，这里：镜架总数× =镜片总数× . 2.工程问题 （1）基本关系式：工作量=工作效率× ，工作时间= ，工作效率= ； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体 ； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量 . 3.营销问题 （1）相等关系：①利润=售价- ；② ；③售价=进价×（1+ ）； （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的 （或 %），其中n叫折数.实际售价= 4.球赛积分问题 相等关系：（1）比赛总场数=胜场数+ 数+ 数； （2）比赛总得分=胜场总得分+ 总得分+ 总得分. 5.分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等.解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和= ；②每一段的计费标准 . 6.行程问题 基本相等关系：路程=速度× ；速度= ÷ ；时间= ÷ . （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的 . （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始 ；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程. （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了 圈；从出发到相遇所用时间；第n次相遇时，二者合走了 圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走 圈；追及所用时间；第n次相遇时，快者比慢者多走 圈. 7.利息问题 （1） ×利率×期数=利息；（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+ =本息和；本息和=本金×（1+ ×期数）. 8.年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. 9.方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策. 重点 1、设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况：（1）设问题的局部（或部分）为x.如多位数问题设其中的一位或几位为x. （2）若题中所求几个未知数的比例关系已知，则可用x表示其中“每份”的数量. （3）有些应用题，尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知数时，这些未知数虽非题目所求，但缺了它就不易建立相等关系，这时可设辅助未知数. 2、列方程解应用题的关键是审题，找出问题中的相等关系，并根据相等关系列出方程. 3、一道应用题中有时含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，可用含有未知数的式子来表示其他未知量，从而列出方程，一般问什么设什么，但有时也间接设未知数. 4、可归为配套问题的还有比例问题、劳力调配问题等，解法略有差异，本质相同.比例问题直接设未知数，劳力调配问题关键是确定“调配”后的数量关系. 方法：（1）找相等关系的规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果甲量已知，从乙量设元，那么就从丙量找相等关系列方程. （2）工程类应用题的工作量并不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”. （3）工作总量看作“1”时，工作效率，工作时间. 5、销售问题包括打折问题，且多数销售问题就是打折问题. 6、增长率问题与打折问题本质相同，都必须搞清“基础量”是什么，即在打折前（或增长前、下降前）原量是什么. 7、解题时要认真审题，清楚不打折时“售价=标价”；打折时“售价=标价”. 8、竞赛答题问题也可归到球赛积分问题中，因为有些竞赛中规定答对一题得几分，答错一题扣几分，不答不得分也不扣分等，这与球赛积分规则类似.但通常的考试答错或不答是不扣分的. 拓展2 其他行程问题 （1）航行问题：顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速. （2）火车过桥问题：①从车头刚上桥到车尾离开桥：过桥速度×过桥时间=桥长+车长；②火车过桥全路程-桥长=车长. 说明 分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题. 课时1 产品配套问题与工程问题 基础巩固 题型1 产品配套问题 1.宜宾某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工小齿轮20个或大齿轮15个.已知3个小齿轮和2个大齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天生产的齿轮刚好配套？若设加工小齿轮的工人有x名，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 2.在国道107工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程①；②；③x+3x=72；④.上述所列方程，正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？ 题型2 工程问题 4.一项工程甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作x天完成这项工程，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5.某地为了打造千年古镇旅游景点，将修建一条长为3600m的旅游大道.此项工程由A、B两个工程队接力完成，共用时20天.若A、B两个工程队每天分别能修建240m、160m，设A工程队修建此项工程xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6.5个人用5天完成了某项工程的，如果再增加工作效率相同的10个人，那么完成这项工程共需要_______天. 7.一个蓄水池可蓄水240吨，现有一个进水管和一个排水管，单独打开进水管8小时可以把水池注满，单独打开排水管6小时可以把满池水排空.若原有满池水，设两管齐开，x小时可把满池水排空，则可列方程___________________. 8.一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成开始时三队合作，中途甲队另有任务，剩下的由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了多少小时？ 巩固提升 1.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的（如图），黑色皮可看作正五边形，白色皮可看作正六边形.设白色皮有x块，则黑色皮有块.每块白色皮有六条边，共有6x条边；因每块白色皮有三条边和黑色皮连在一起，故黑色皮共有3x条边.要求出白色皮、黑色皮的块数，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2.某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作12个盒身，或制作18个盒底，1个盒身与2个盒底配成一套现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设用x张硬纸板做盒身，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3.加工某种工件，须顺次进行三道工序，工作量的比依次是2:1:4.甲完成一个工件与第二个工件的前两道工序，所用时间为t.已知甲和乙的加工效率比是6:7，则乙完成一个工件，需要的时间是t的______倍. 4.由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独整理要用30小时完成，现先安排一部分人整理了1小时，随后又增加6个人和他们一起又整理了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少？ 5.某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成.现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个.已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个. （1）问一张这样的铝片可做几个瓶底？ （2）这些铝片一共有多少张？ （3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则从这些铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？ 拓展培优 6.松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件.且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天.在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元. （1）这批校服共有多少件？ （2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成.并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案. 课时2 商品销售问题与利息问题 基础巩固 题型1 商品销售问题 1.某商场的老板销售一种商品，标价为360元，可以获得80%的利润，则这种商品的进价为（ ） A.80元 B.200元 C.120元 D.160元 2.一种商品，原价600元，现按九折出售，现在的价格比原来便宜（ ） A.540元 B.40元 C.60元 D.100元 3.商店将进价2400元的彩电标价3200元出售，为了吸引顾客进行打折出售，售后核算仍可获利20%，则折扣为（ ） A.九折 B.八五折 C.八折 D.七五折 4.某水果店销售50千克香蕉，第一、二天的售价分别为9元/千克、4元/千克，两天全部售完，销售额共计280元，则第二天比第一天多销售香蕉_________千克. 5.小丽用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本2元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是从第一本起按标价的80%出售. （1）设小丽要购买本练习本，则小丽到甲、乙两家商店购买时，各需付款多少元？列代数式表示. （2）在（1）的条件下，买多少本练习本时，到两家商店付款相同？ 6.某中学到商店购买足球和排球，购买40个足球和30个排球共花费4000元，已知购买一个足球比购买一个排球多花30元 （1）求购买一个足球和一个排球各需多少元. （2）学校决定第二次购买足球和排球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球的单价比第一次购买时提高了10%，排球的单价按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买足球和排球的总费用是第一次购买总费用的86%，求学校第二次购买排球的个数. 题型2 利息问题 7.佳佳的压岁钱由爸爸存人某村镇银行，当年年利率为1.5%，一年后取出时得到本息和为4060元，则佳佳的压岁钱是（ ） A.2060元 B.3500元 C.4000元 D.4100元 8.桐桐的爸爸三年前在银行办理了一份3000元的定期存款，今年到期时的本息和为3243元，请你帮桐桐的爸爸算一算这种储蓄的年利率若设年利率为x%，则可列方程为___________________（前一年的利息不计入下一年本金）. 9.为了准备小亮3年后上高中的费用，小亮的父母计划现在存一笔钱.已知3年期的年利率为2.75%，要想3年后从银行能取到10000元钱，那么他们现在至少应该存人银行多少钱？（前一年的利息不计入下一年本金，结果精确到1元） 巩固提升 1.《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱，问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 2.某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，则该电器的标价为（ ） A.3750元 B.4000元 C.4250元 D.3500元 3.浩浩去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤（注：斤是质量单位，1斤=500g）3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”浩浩报了质量后，摊主同意按八折卖给浩浩，并说：“之前一人只比你少买5斤，按标价付钱，还比你多花了3元呢！”浩浩购买豆角的质量是（ ） A.25斤 B.20斤 C.30斤 D.15斤 4.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元该店为庆“元旦”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元该文具店在这次活动中卖出铅笔________支. 5.大明共有4800元，他将一部分钱按活期存了一年，剩下的钱买了企业债券，一年后共获利24.8元，已知活期储蓄的年利率是0.35%，企业债券的年利率是0.6%，则大明存活期和买债券各用了多少元？ 6.王叔叔十月份的工资为8000元，超过5000元的部分需要交3%的个人所得税. （1）王叔叔十月份税后的工资是多少元？ （2）王叔叔将该月税后工资的一半存入银行，然后用余额购买一部定价为3000元的某品牌手机，恰好遇到手机店开展活动，该款手机打八折，则买完手机后还剩下多少元？ （3）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下： 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过800元的部分 打八折 超过800元的部分 打七五折 若王叔叔在此次促销活动中付款980元，则他购买的商品原价是多少元？ 7.某市百货商场元旦搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元的按总价优惠10%；超过500元的，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠.某人两次购物分别用了134元和466元问： （1）若此人两次购买的物品不打折，则两次购买的物品原价分别为_______元和_______元. （2）在此活动中，通过打折他节省了多少元？ （3）若此人将两次购物的钱合起来购买相同的商品是否比两次分别购买更省钱？说明你的理由. 课时3 积分问题与行程问题 基础巩固 题型1 积分问题 1.在女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王.女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3:2取胜的场次有x场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ） 大比分 胜（积分） 负（积分） 3:0 3 0 3:1 3 0 3:2 2 1 A. B. C. D. 2.父亲与小强下棋（假设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 3.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，未做或做错一题倒扣1分，某同学做了全部试题共得85分，他做对了_______道题. 4.为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛.下表是比赛过程中部分代表队的积分情况. 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 A 6 5 1 0 16 B 6 6 0 0 18 C 6 3 2 1 11 D 6 3 1 2 10 （1）本次比赛中，胜一场积______分； （2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分.请你求出F代表队胜出的场数. 题型2 行程问题 5.甲、乙两人从同一地点出发前往某地，若乙先走2小时，甲从后面追赶，当甲追上乙时（ ） A.甲比乙多走2小时 B.甲、乙两人行走路程之和等于出发地到相遇点的距离 C.乙走的路程比甲多 D.甲、乙两人行走的路程相等 6.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7.已知A、B两地相距1000米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行.若甲以7米/秒的速度骑自行车前进，乙以3米/秒的速度步行前进，则经过_______秒两人相距100米. 8.如图，折线AC-CB是一条公路的示意图，，甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为40km/h，乙骑自行车从C地沿这条公路到B地，速度为10km/h，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟.则这条公路的长为________. 9.甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后经5小时甲才能追上乙.请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？ 巩固提升 1.如图所示，两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点出发，速度为65m/min，乙从B点出发，速度为75m/min，两人同时出发，当乙第一次追上甲时，是在正方形的（ ） A.BC边上 B.DC边上 C.AD边 D.AB边上 2.某客运站行车时刻表如下，若全程保持匀速行驶，则当快车出发_______小时后，两车相距25km. 哈尔滨—长春 出发时间 到站时间 里程（km） 普通车 7:00 11:00 300 快车 7:30 10:30 300 3.盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表，篮球赛没有平局）： 院系篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙回答下列问题： （1）从表中可以看出，负一场积________分，胜一场积________分； （2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由. 4.周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： （1）请根据他们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度； （2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距50米？ 拓展培优 5.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-12，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个单位长度.动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速设点P运动的时间为t秒. （1）动点P从点A运动至点C需要多少秒？ （2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在“折线数轴”上所表示的数是多少？ （3）当t为何值时，P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？ 课时4 分段计费问题与方案选择问题 基础巩固 题型1 分段计费问题 1.深圳市出租车的收费标准：起步价10元（行驶距离不超过2km，都需付10元车费），超过2km的部分每增加1km加收2.6元，小陈乘出租车到达目的地后共支付车费49元，那么小陈乘出租车可行驶的路程最远是（不考虑其他收费）（ ） A.15km B.16km C.17km D.18km 2.自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按2元收费；用水超过10吨，超过10吨的部分按每吨3元收费.王老师家三月份水费为50元，则王老师家三月份用水________吨. 3.有一旅客携带了30千克行李从重庆江北国际机场乘飞机去武汉，按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格是________元 4.为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制度，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同.如表是小明家1至4月份用水量和缴纳水费情况，根据表格提供的数据，回答： 月份 1 2 3 4 用水量（吨） 7 9 12 15 水费（元） 14 18 26 35 （1）规定用量内的收费标准是_______元/吨，超过部分的收费标准是_______元/吨； （2）该市每户每月规定用水量是多少吨？ （3）若小明家6月份应缴水费50元，则6月份小明家的用水量是多少吨？ 题型2 方案选择问题 5.一位商人来到一座新城市，想租一套房子，A家房东的条件是先交2000元，每月租金1200元；B家房东的条件是每月租金1400元. （1）这位商人想在这座城市住半年，则租哪家的房子划算？ （2）如果这位商人想住一年，租哪家的房子划算？ （3）这位商人住多长时间时，租两家的房子租金一样？ 6.李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商品房的单价是5000元/，如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售楼处为李老师提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为5000元/，其中卫生间可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售. （1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房的总金额； （2）当x=2时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元. 巩固提升 1.购买某原料有如下优惠方案：①一次性购买金额不超过1万元不享受优惠；②一次性购买金额超过1万元但不超过3万元给予9折优惠；③一次性购买金额超过3万元，其中3万元给予9折优惠，超过部分给予7折优惠 （1）若某人购该原料付款9900元，则他购买的原料原价是________元； （2）某人分两次购买该原料，第1次付款8000元，第2次付款25200元，若他一次性购买同样数量的原料，可比分两次购买少付_________元. 2.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭会员证每次游泳付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）. （1）根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … x 方式一的总费用/元 150 175 … 方式二的总费用/元 90 135 … （2）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，则选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？ （3）若两种方式总费用一样多，则他的游泳次数是多少？ 3.某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准见下表： 每户每月用水量 水的价格（单位：元/吨） 不超过20吨的部分 1.6 超过20吨但不超过30吨的部分 2.4 超过30吨的部分 3.3 例：甲用户1月份用水25吨，应缴水费 （元）. （1）若乙用户1月份用水10吨，则应缴水费_________元； （2）若丙用户1月份应缴水费62.6元，则他该月用水_________吨； （3）若丁用户1、2月份共用水60吨（1月份用水量超过了2月份），设2月份用水a吨，求丁用户1、2月份各应缴水费多少元.（用含a的代数式表示） 4.如表是中国电信两种“4G套餐”计费方式.（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网流量超出部分加收超时费和超流量费） （1）若小萱某月主叫通话时间为220分钟，上网流量为800MB，则她按套餐1计费需________元，按套餐2计费需_______元；若小花某月按套餐2计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________MB. （2）若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t（分），按套餐1和套餐2计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. （3）若上网流量为540MB，直接写出当主叫通话时间t（分）满足什么条件时，选择套餐1省钱；当主叫通话时间t（分）满足什么条件时，选择套餐2省钱. 月基本费/元 主叫通话时间/分 上网流量/MB 套餐1 49 200 500 套餐2 69 250 600 接听 超时费（元/分） 超流量费（元/MB） 套餐1 免费 0.2 0.3 套餐2 免费 0.15 0.2 答案 13 实际问题与一元一次方程 知识点1 列方程解应用题的步骤 1.审：弄清已知什么，求什么及其数量关系； 2.找：找出能表示题目全部含义的一个 关系； 3.设：设未知数，可根据已知和所求选择 假设或 假设，原则是尽量使列出的方程简单； 4.列：根据 关系列出方程； 5.解：解方程； 6.检：检验求得的解是否正确及其是否符合 意义； 7.答：写出答案. 知识点2 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5.首先写出“x+2的2倍”，即，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即. 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量. 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系.例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系. 知识点3 常见问题中的等量关系 1.配套问题 相等关系：加工总量成比例，若一件产品需要A，B两种配件配成，A，B两种配件的数量比是a:b，则A种配件总数量× =B种配件总数量× . 例如，一个眼镜由1个镜架和2个镜片配成，这里：镜架总数× =镜片总数× . 2.工程问题 （1）基本关系式：工作量=工作效率× ，工作时间= ，工作效率= ； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体 ； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量 . 3.营销问题 （1）相等关系：①利润=售价- ；② ；③售价=进价×（1+ ）； （2）打折：n折即标价的，如7折即标价的 （或 %），其中n叫折数.实际售价= 4.球赛积分问题 相等关系：（1）比赛总场数=胜场数+ 数+ 数； （2）比赛总得分=胜场总得分+ 总得分+ 总得分. 5.分段计费问题 常见类型：我国公民个人所得税按分段累进税制计算；社会医疗保险实行分段累进按比例报销制度；为鼓励节约用水、用电、用气，水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等.解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：①各段费用之和= ；②每一段的计费标准 . 6.行程问题 基本相等关系：路程=速度× ；速度= ÷ ；时间= ÷ . （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的 . （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始 ；快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程. （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了 圈；从出发到相遇所用时间；第n次相遇时，二者合走了 圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走 圈；追及所用时间；第n次相遇时，快者比慢者多走 圈. 7.利息问题 （1） ×利率×期数=利息；（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+ =本息和；本息和=本金×（1+ ×期数）. 8.年龄问题 “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. 9.方案决策问题 方案决策问题是实际生活中常见的问题，用一元一次方程解最佳方案问题的一般步骤：（1）列代数式；（2）列方程；（3）取特殊值试解；（4）决策. 答案 数量 直接 间接 相等 实际 b a 2 1 工作时间 1 之和 进价 利润率 70 标价 平场 负场 平场 负场 总费用 不同 时间 路程 时间 路程 速度 路程 路程差 1 n 1 n 本金 利息 利率 重点 1、设未知数有直接设和间接设两种，间接设未知数的几种情况：（1）设问题的局部（或部分）为x.如多位数问题设其中的一位或几位为x. （2）若题中所求几个未知数的比例关系已知，则可用x表示其中“每份”的数量. （3）有些应用题，尽管解答时可问什么设什么，但当题目中还包含其他未知数时，这些未知数虽非题目所求，但缺了它就不易建立相等关系，这时可设辅助未知数. 2、列方程解应用题的关键是审题，找出问题中的相等关系，并根据相等关系列出方程. 3、一道应用题中有时含有多个未知量，应恰当选择其中一个设为未知数，可用含有未知数的式子来表示其他未知量，从而列出方程，一般问什么设什么，但有时也间接设未知数. 4、可归为配套问题的还有比例问题、劳力调配问题等，解法略有差异，本质相同.比例问题直接设未知数，劳力调配问题关键是确定“调配”后的数量关系. 方法：（1）找相等关系的规律：在工作量、工作效率、工作时间这三个量中，如果甲量已知，从乙量设元，那么就从丙量找相等关系列方程. （2）工程类应用题的工作量并不是具体数量时，往往把工作总量看作“1”. （3）工作总量看作“1”时，工作效率，工作时间. 5、销售问题包括打折问题，且多数销售问题就是打折问题. 6、增长率问题与打折问题本质相同，都必须搞清“基础量”是什么，即在打折前（或增长前、下降前）原量是什么. 7、解题时要认真审题，清楚不打折时“售价=标价”；打折时“售价=标价”. 8、竞赛答题问题也可归到球赛积分问题中，因为有些竞赛中规定答对一题得几分，答错一题扣几分，不答不得分也不扣分等，这与球赛积分规则类似.但通常的考试答错或不答是不扣分的. 拓展2 其他行程问题 （1）航行问题：顺水速度=静水速度+水速；逆水速度=静水速度-水速. （2）火车过桥问题：①从车头刚上桥到车尾离开桥：过桥速度×过桥时间=桥长+车长；②火车过桥全路程-桥长=车长. 说明 分析时，可借助线段图分析，结合和倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题. 课时1 产品配套问题与工程问题 基础巩固 题型1 产品配套问题 1.宜宾某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工小齿轮20个或大齿轮15个.已知3个小齿轮和2个大齿轮配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天生产的齿轮刚好配套？若设加工小齿轮的工人有x名，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 1.B 【解析】已知加工小齿轮的工人有x名，则加工大齿轮的工人有名.根据题意得.故选B. 2.在国道107工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程①；②；③x+3x=72；④.上述所列方程，正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.C 【解析】设挖土的人的工作量为1.因为3人挖出的土1人恰好能全部运走，所以运土的人工作量为3，所以可列方程为①；②；④，故①②④正确，正确的有3个.故选C. 3.程大位是我国明朝商人，珠算发明家，他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人？ 3.【解】设小和尚有x人，则大和尚有人.依题意，得.解得x=75.100-x=25. 答：大和尚有25人，小和尚有75人. 题型2 工程问题 4.一项工程甲单独做需20天完成，乙单独做需30天完成，甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作x天完成这项工程，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4.D 【解析】设整个工程为1.根据甲完成的部分+两人共同完成的部分=1，列方程为，整理得.故选D. 5.某地为了打造千年古镇旅游景点，将修建一条长为3600m的旅游大道.此项工程由A、B两个工程队接力完成，共用时20天.若A、B两个工程队每天分别能修建240m、160m，设A工程队修建此项工程xm，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5.A 【解析】已知A工程队修建此项工程xm.则可列方程为.故选A. 6.5个人用5天完成了某项工程的，如果再增加工作效率相同的10个人，那么完成这项工程共需要_______天. 6.10 【解析】设再增加10人完成剩余的需要x天.根据题意列方程得.解得x=5.则完成这项工程一共需要5+5=10（天）.故答案为10. 7.一个蓄水池可蓄水240吨，现有一个进水管和一个排水管，单独打开进水管8小时可以把水池注满，单独打开排水管6小时可以把满池水排空.若原有满池水，设两管齐开，x小时可把满池水排空，则可列方程___________________. 7. 【解析】本题相等关系为“（每小时的排水量-每小时的进水量）×排水时间=240”，故可列方程为.故答案为. 8.一项工程，甲队单独做10小时完成，乙队单独做15小时完成，丙队单独做20小时完成开始时三队合作，中途甲队另有任务，剩下的由乙、丙两队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了多少小时？ 8.【解】设甲队实际做了x小时.根据题意，得 . 解得x=3. 答：甲队实际做了3小时. 巩固提升 1.有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的（如图），黑色皮可看作正五边形，白色皮可看作正六边形.设白色皮有x块，则黑色皮有块.每块白色皮有六条边，共有6x条边；因每块白色皮有三条边和黑色皮连在一起，故黑色皮共有3x条边.要求出白色皮、黑色皮的块数，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 1.B 【解析】由题意，黑色皮的边数既可以表示为3x，又可以表示为，故可列方程为.故选B. 2.某校社团活动课中，手工制作社的同学用一种彩色硬纸板制作某种长方体小礼品的包装盒，每张硬纸板可制作12个盒身，或制作18个盒底，1个盒身与2个盒底配成一套现有28张这种彩色硬纸板，要使盒身和盒底刚好配套，若设用x张硬纸板做盒身，则下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 2.B 【解析】已知用x张硬纸板做盒身，则用张硬纸板做盒底.根据1个盒身与2个盒底配成一套，可列方程为.故选B. 3.加工某种工件，须顺次进行三道工序，工作量的比依次是2:1:4.甲完成一个工件与第二个工件的前两道工序，所用时间为t.已知甲和乙的加工效率比是6:7，则乙完成一个工件，需要的时间是t的______倍. 3.0.6 【解析】设完成1个工件的工作量为2+1+4=7，则三道工序的工作量分别为2，1，4.已知甲完成一个工件与第二个工件的前两道工序所用时间为t，则甲完成一个工件所需的时间为.已知甲和乙的加工效率比是6:7，效率和用时成反比，所以甲和乙完成一个工件所需的时间比是7:6，可得乙完成一个工件所需的时间为.0.6t是t的0.6倍，故答案为0.6. 4.由于地铁施工，需要拆除我校图书馆，七年级同学主动承担图书馆整理图书的任务，如果由一个人单独整理要用30小时完成，现先安排一部分人整理了1小时，随后又增加6个人和他们一起又整理了2小时，恰好完成整理工作，假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少？ 4.【解】设先安排整理的人员有x人. 根据题意得. 解得x=6. 答：先安排整理的人员有6人. 5.某圆柱形饮料瓶由铝片加工做成.现有若干张一样大小的铝片，若全部用来做瓶身可做900个，若全部用来做瓶底可做1200个.已知每一张这样的铝片全部做成瓶底比全部做成瓶身多20个. （1）问一张这样的铝片可做几个瓶底？ （2）这些铝片一共有多少张？ （3）若一个瓶身与两个瓶底配成一套，则从这些铝片中取多少张做瓶身，取多少张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多？ 5.【解】（1）设一张这样的铝片可做x个瓶底. 根据题意，得. 解得x=80.x-20=60. 答：一张这样的铝片可做80个瓶底. （2）（张）. 答：这些铝片一共有15张. （3）设从这15张铝片中取a张做瓶身，取张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多. 根据题意，得. 解得a=6.则15-a=9. 答：从这些铝片中取6张做瓶身，取9张做瓶底可使配套做成的饮料瓶最多. 拓展培优 6.松雷中学原计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工这种校服16件，乙工厂每天能加工这种校服24件.且单独加工这批校服甲工厂比乙工厂要多用20天.在加工过程中，学校每天需付甲工厂费用80元，乙工厂费用120元. （1）这批校服共有多少件？ （2）在实际加工过程中，甲、乙两个工厂按原生产效率合作一段时间后，甲工厂停工了，乙工厂每天的生产效率提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间比甲工厂工作时间的2倍还多4天，则乙工厂共加工多少天？ （3）经学校研究制定如下方案：方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按第（2）问方式完成.并且每种方案在加工过程中，每个工厂需要一名工程师进行技术指导，并由学校提供每天10元的午餐补助费，请你通过计算帮学校选择一种既省时又省钱的加工方案. 6.【解】（1）设这批校服共有x件. 由题意，得. 解得x=960. 答：这批校服共有960件. （2）设甲工厂加工a天，则乙工厂共加工天.依题意得 . 解得a=12. 2a+4=24+4=28. 答：乙工厂共加工28天. （3）①方案一：需要耗时（天），费用为（元）； ②方案二：需要耗时（天），费用为（元）； ③方案三：甲工厂耗时12天，乙工厂耗时28天，故需要耗时28天，费用为 （元）. 综上，方案三既省时又省钱. 课时2 商品销售问题与利息问题 基础巩固 题型1 商品销售问题 1.某商场的老板销售一种商品，标价为360元，可以获得80%的利润，则这种商品的进价为（ ） A.80元 B.200元 C.120元 D.160元 1.B 【解析】设这件商品的进价为x元根据题意，得360-x=80%x.解得x=200.故选B. 2.一种商品，原价600元，现按九折出售，现在的价格比原来便宜（ ） A.540元 B.40元 C.60元 D.100元 2.C 【解析】设现在的价格比原来便宜x元.根据题意，得.解得x=60.故选C. 3.商店将进价2400元的彩电标价3200元出售，为了吸引顾客进行打折出售，售后核算仍可获利20%，则折扣为（ ） A.九折 B.八五折 C.八折 D.七五折 3.A 【解析】设该商品打x折出售.根据题意，得.解得x=9.所以该商品打九折出售.故选A. 4.某水果店销售50千克香蕉，第一、二天的售价分别为9元/千克、4元/千克，两天全部售完，销售额共计280元，则第二天比第一天多销售香蕉_________千克. 4.18. 【解析】设该店第一天销售香蕉x千克，则第二天销售香蕉千克.根据题意，得，解得x=16，则50-x=34.34-16=18，故第二天比第一天多销售香蕉18千克.故答案为18. 5.小丽用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本2元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是从第一本起按标价的80%出售. （1）设小丽要购买本练习本，则小丽到甲、乙两家商店购买时，各需付款多少元？列代数式表示. （2）在（1）的条件下，买多少本练习本时，到两家商店付款相同？ 5.【解】（1）根据题意，得在申商店购买本练习本需付款元；在乙商店购买本练习本需付款（元）. （2）根据题意，得1.4x+6=1.6x. 解得x=30. 答：买30本练习本时，到两家商店付款相同. 6.某中学到商店购买足球和排球，购买40个足球和30个排球共花费4000元，已知购买一个足球比购买一个排球多花30元 （1）求购买一个足球和一个排球各需多少元. （2）学校决定第二次购买足球和排球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，足球的单价比第一次购买时提高了10%，排球的单价按第一次购买时售价的九折出售，如果学校第二次购买足球和排球的总费用是第一次购买总费用的86%，求学校第二次购买排球的个数. 6.【解】（1）设购买一个排球需要x元，则购买一个足球需要元. 依题意得， 解得x=40， 则x+30=70. 答：购买一个足球需要70元，购买一个排球需要40元. （2）设学校第二次购买m个排球，则购买个足球. 依题意得，解得m=10. 答：学校第二次购买10个排球. 题型2 利息问题 7.佳佳的压岁钱由爸爸存人某村镇银行，当年年利率为1.5%，一年后取出时得到本息和为4060元，则佳佳的压岁钱是（ ） A.2060元 B.3500元 C.4000元 D.4100元 7.C 【解析】设佳佳的压岁钱是x元.根据题意，得，解得x=4000.故选C. 8.桐桐的爸爸三年前在银行办理了一份3000元的定期存款，今年到期时的本息和为3243元，请你帮桐桐的爸爸算一算这种储蓄的年利率若设年利率为x%，则可列方程为___________________（前一年的利息不计入下一年本金）. 8. 【解析】本题相等关系为“本金+利息=本息和”，其中利息=本金×年数×年利率，故可列方程为. 9.为了准备小亮3年后上高中的费用，小亮的父母计划现在存一笔钱.已知3年期的年利率为2.75%，要想3年后从银行能取到10000元钱，那么他们现在至少应该存人银行多少钱？（前一年的利息不计入下一年本金，结果精确到1元） 9.【解】设他们现在应该存入银行x元.根据题意，得. 解得x≈9238. 答：他们现在至少应该存入银行9238元. 巩固提升 1.《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数鸡价各几何？”译文：“假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱，问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？”设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 1.B 【解析】已知有x个人共同买鸡根据题意，得9x-11=6x+16，故选B. 2.某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%，则该电器的标价为（ ） A.3750元 B.4000元 C.4250元 D.3500元 2.A 【解析】设该电器的成本为x元.依题意，得500=20%x.解得x=2500.所以该电器的标价为（元）.故选A. 3.浩浩去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每斤（注：斤是质量单位，1斤=500g）3元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主：“多买按八折，你要多少斤？”浩浩报了质量后，摊主同意按八折卖给浩浩，并说：“之前一人只比你少买5斤，按标价付钱，还比你多花了3元呢！”浩浩购买豆角的质量是（ ） A.25斤 B.20斤 C.30斤 D.15斤 3.C 【解析】设浩浩购买豆角的质量是x斤.依题意；得.解得x=30.即浩浩购买豆角的质量是30斤.故选C. 4.某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元该店为庆“元旦”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元该文具店在这次活动中卖出铅笔________支. 4.25 【解析】设铅笔卖出x支，则圆珠笔卖出支由题意，得.解得x=25. 5.大明共有4800元，他将一部分钱按活期存了一年，剩下的钱买了企业债券，一年后共获利24.8元，已知活期储蓄的年利率是0.35%，企业债券的年利率是0.6%，则大明存活期和买债券各用了多少元？ 5.【解】设存活期用了x元，则买债券用了元. 由题意，得. 解得x=1600. 4800-x=3200. 答：大明存活期用了1600元，买债券用了3200元. 6.王叔叔十月份的工资为8000元，超过5000元的部分需要交3%的个人所得税. （1）王叔叔十月份税后的工资是多少元？ （2）王叔叔将该月税后工资的一半存入银行，然后用余额购买一部定价为3000元的某品牌手机，恰好遇到手机店开展活动，该款手机打八折，则买完手机后还剩下多少元？ （3）某家超市正在开展促销活动，促销方案如下： 商品原价 优惠方案 不超过500元 不打折 超过500元但不超过800元的部分 打八折 超过800元的部分 打七五折 若王叔叔在此次促销活动中付款980元，则他购买的商品原价是多少元？ 6.【解】（1）（元）. 答：王叔叔十月份税后的工资是7910元. （2）（元）. （元）. 答：买完手机后还剩下1555元 （3）设他购买的商品原价是x元. 根据题意，得. . 解得x=1120. 答：他购买的商品原价是1120元. 7.某市百货商场元旦搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；超过200元，而不足500元的按总价优惠10%；超过500元的，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠.某人两次购物分别用了134元和466元问： （1）若此人两次购买的物品不打折，则两次购买的物品原价分别为_______元和_______元. （2）在此活动中，通过打折他节省了多少元？ （3）若此人将两次购物的钱合起来购买相同的商品是否比两次分别购买更省钱？说明你的理由. 7.（1）134 520 【解析】因为（元），180>134，所以第一次购买的物品原价为134元.设第二次购买的物品原价为x元.依题意，得，解得x=520.故答案为134，520. （2）【解】134-134+520-466=54（元）. 答：在此活动中，通过打折他节省了54元. （3）【解】更省钱.理由如下： 两次合在一起购买需要 （元）. 因为134+466=600（元），600>573.2，所以此人将两次购物的钱合起来购买相同的商品比两次分别购买更省钱. 课时3 积分问题与行程问题 基础巩固 题型1 积分问题 1.在女排世界杯比赛中，中国队以11场全胜积32分的成绩成为女排世界杯五冠王.女排世界杯比赛积分规则如表所示，若中国队以大比分3:2取胜的场次有x场，则根据以上信息所列方程正确的是（ ） 大比分 胜（积分） 负（积分） 3:0 3 0 3:1 3 0 3:2 2 1 A. B. C. D. 1.C 【解析】已知中国队以大比分3:2取胜的场次有x场，则中国队以3:1和3:0取胜的场次有场.依题意，得.故选C. 2.父亲与小强下棋（假设没有平局），父亲胜一盘记2分，小强胜一盘记3分，下了10盘后，两人得分相等，则小强胜的盘数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.C 【解析】设小强胜了x盘，则父亲胜了盘.根据题意，得.解得x=4.故选C. 3.一张试卷只有25道选择题，做对一题得4分，未做或做错一题倒扣1分，某同学做了全部试题共得85分，他做对了_______道题. 3.22 【解析】设他做对了x道题，则做错了道题.依题意，得.解得x=22. 4.为了促进全民健身运动的开展，某市组织了一次足球比赛.下表是比赛过程中部分代表队的积分情况. 代表队 场次 胜场 平场 负场 积分 A 6 5 1 0 16 B 6 6 0 0 18 C 6 3 2 1 11 D 6 3 1 2 10 （1）本次比赛中，胜一场积______分； （2）参加此次比赛的F代表队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分.请你求出F代表队胜出的场数. 4.（1）3 【解析】本次比赛中，胜一场积（分）. （2）【解】设F代表队胜出x场，则平了场，输了1场. 由（1）知，胜一场积分为3分，则平一场积分为（分），负一场积分为（分），则.解得x=7. 答：F代表队胜出7场. 题型2 行程问题 5.甲、乙两人从同一地点出发前往某地，若乙先走2小时，甲从后面追赶，当甲追上乙时（ ） A.甲比乙多走2小时 B.甲、乙两人行走路程之和等于出发地到相遇点的距离 C.乙走的路程比甲多 D.甲、乙两人行走的路程相等 5.D 【解析】当甲追上乙时，乙比甲多走2小时，故A选项错误；甲、乙两人行走路程之和等于出发地到相遇点的距离的2倍，故B选项错误；甲、乙两人行走的路程相等，故C选项错误，D选项正确.故选D. 6.从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6.C 【解析】已知甲、乙两地相距x千米.根据题意，列方程得.故选C. 7.已知A、B两地相距1000米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，沿着同一条直线公路相向而行.若甲以7米/秒的速度骑自行车前进，乙以3米/秒的速度步行前进，则经过_______秒两人相距100米. 7.90或110 【解析】设经过x秒两人相距100米.若两人相遇前相距100米，可得7x+3x+100=1000，解得x=90；若两人相遇后相距100米，可得7x+3x-100=1000，解得x=110.故答案为90或110. 8.如图，折线AC-CB是一条公路的示意图，，甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地，速度为40km/h，乙骑自行车从C地沿这条公路到B地，速度为10km/h，两人同时出发，结果甲比乙早到6分钟.则这条公路的长为________. 8.12km 【解析】设这条公路的长为xkm.由题意，得.解得x=12.故答案为12km. 9.甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么在甲出发后经5小时甲才能追上乙.请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？ 9.【解】设甲骑自行车每小时行x千米，则乙骑自行车每小时行千米，即千米. 依题意，得， 解得x=18. . 答：甲骑自行车每小时行18千米，乙骑自行车每小时行9千米. 巩固提升 1.如图所示，两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走，甲从A点出发，速度为65m/min，乙从B点出发，速度为75m/min，两人同时出发，当乙第一次追上甲时，是在正方形的（ ） A.BC边上 B.DC边上 C.AD边 D.AB边上 1.C 【解析】设乙行走tmin后第一次追上甲.根据题意，可得甲行走的路程为65tm，乙行走的路程为75tm，当乙第一次追上甲时，，解得t=27，此时乙行走的路程为.因为（圈）……，所以乙从B点再行走225m，即在AD边上，故选C. 2.某客运站行车时刻表如下，若全程保持匀速行驶，则当快车出发_______小时后，两车相距25km. 哈尔滨—长春 出发时间 到站时间 里程（km） 普通车 7:00 11:00 300 快车 7:30 10:30 300 2.0.5或2.5 【解析】设当快车出发x小时后，两车相距25km.①普通车在前，快车在后，，解得x=0.5.②快车在前，普通车在后，依题意，得，解得x=2.5.综上所述，当快车出发0.5或2.5小时后，两车相距25km，故答案为0.5或2.5. 3.盛盛同学到某高校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表，篮球赛没有平局）： 院系篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙回答下列问题： （1）从表中可以看出，负一场积________分，胜一场积________分； （2）某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由. 3.（1）1 2 【解析】由表中最后一行的信息可知，某队22场全负共积了22分，所以负一场的积分为（分）；设胜一场积a分，则由表中第一行信息可得，解得a=2，所以胜一场积2分. （2）【解】能.理由如下： 设该队胜了x场，则负了场. 根据题意，可得，解得x=11. 所以若某队比完22场，胜了11场，则该队的胜场总积分是负场总积分的2倍. 4.周末小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话： （1）请根据他们的对话内容，求出小明和爸爸的骑行速度； （2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距50米？ 4.【解】（1）设小明的骑行速度为x米/分，则爸爸的骑行速度为2x米/分. 根据题意，得. 解得x=200. 所以2x=400. 答：小明的骑行速度为200米/分，爸爸的骑行速度为400米/分. （2）设爸爸第一次追上小明后；在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸在跑道上相距50米. ①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了50米， 根据题意，得400y-200y=50. 解得. ②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多骑了350米， 根据题意，得400y-200y=350. 解得. 答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前；再经过或分钟，小明和爸爸在跑道上相距50米. 拓展培优 5.如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点A表示-12，点B表示10，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个单位长度.动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速设点P运动的时间为t秒. （1）动点P从点A运动至点C需要多少秒？ （2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在“折线数轴”上所表示的数是多少？ （3）当t为何值时，P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等？ 5.【解】（1）动点P从点A运动至点C需要（秒）. 答：动点P从点A运动至点C需要21秒. （2）由题意可得t>10，且P，Q两点在线段OB上相遇，所以 ， 所以. 解得t=12. . 所以点M在“折线数轴”上所表示的数是6. （3）当点P在AO上，点Q在CB上时，OP=12-2t，BQ=10-t，因为OP=BQ，所以12-2t=10-t，解得t=2；当点P在OB.上，点Q在CB上时，OP=t-6，BQ=10-t，因为OP=BQ，所以t-6=10-t，解得t=8；当点P在OB上，点Q在OB上时，OP=t-6，，因为OP=BQ，所以，解得t=14；当点P在BC上，点Q在OA上时，P，O两点在数轴上相距的长度为，Q，B两点在数轴上相距的长度为，所以，解得t=17. 综上，当t=2或8或14或17时，P，O两点在数轴上相距的长度与Q，B两点在数轴上相距的长度相等. 课时4 分段计费问题与方案选择问题 基础巩固 题型1 分段计费问题 1.深圳市出租车的收费标准：起步价10元（行驶距离不超过2km，都需付10元车费），超过2km的部分每增加1km加收2.6元，小陈乘出租车到达目的地后共支付车费49元，那么小陈乘出租车可行驶的路程最远是（不考虑其他收费）（ ） A.15km B.16km C.17km D.18km 1.C 【解析】设小陈乘出租车行驶的路程最远为xkm.根据题意，得.解得x=17.故选C. 2.自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按2元收费；用水超过10吨，超过10吨的部分按每吨3元收费.王老师家三月份水费为50元，则王老师家三月份用水________吨. 2.20 【解析】设王老师家三月份用水x吨.依题意，得，解得x=20. 3.有一旅客携带了30千克行李从重庆江北国际机场乘飞机去武汉，按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价格的1.5%购买行李票，现该旅客购买了120元的行李票，则他的飞机票价格是________元 3.800 【解析】设他的飞机票价格是x元可列方程.解得x=800.则他的飞机票价格是800元.故答案为800. 4.为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制度，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同.如表是小明家1至4月份用水量和缴纳水费情况，根据表格提供的数据，回答： 月份 1 2 3 4 用水量（吨） 7 9 12 15 水费（元） 14 18 26 35 （1）规定用量内的收费标准是_______元/吨，超过部分的收费标准是_______元/吨； （2）该市每户每月规定用水量是多少吨？ （3）若小明家6月份应缴水费50元，则6月份小明家的用水量是多少吨？ 4.（1）2 3 【解析】由表可知，规定用量内的收费标准是（元/吨），超过部分的收费标准为（元/吨）. （2）【解】设该市每户每月规定用水量为a吨. 则. 解得a=10. 答：该市每户每月规定用水量为10吨. （3）【解】因为， 所以6月份的用水量超过10吨， 设6月份小明家的用水量为x吨. 则. 解得x=20. 答：6月份小明家的用水量为20吨. 题型2 方案选择问题 5.一位商人来到一座新城市，想租一套房子，A家房东的条件是先交2000元，每月租金1200元；B家房东的条件是每月租金1400元. （1）这位商人想在这座城市住半年，则租哪家的房子划算？ （2）如果这位商人想住一年，租哪家的房子划算？ （3）这位商人住多长时间时，租两家的房子租金一样？ 5.【解】（1）如果住半年，交给A家的租金是（元）； 交给B家的租金是（元）. 因为9200>8400， 所以住半年时，租B家的房子划算. （2）如果住一年，交给A家的租金是（元）；交给B家的租金是（元）. 因为16400<16800， 所以住一-年时，租A家的房子划算. （3）设这位商人住x个月时，租两家的房子租金一样.根据题意，得1200x+2000=1400x.解方程，得x=10. 答：这位商人住10个月时，租两家的房子租金一样. 6.李老师准备购买一套小户型商品房，他去售楼处了解情况得知，该户型商品房的单价是5000元/，如图所示（单位：m，卫生间的宽未定，设宽为xm），售楼处为李老师提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为5000元/，其中卫生间可免费赠送一半的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的9.5折出售. （1）用含x的代数式表示该户型商品房的面积及按方案一、方案二购买一套该户型商品房的总金额； （2）当x=2时，通过计算说明哪种方案更优惠，优惠多少元. 6.【解】（1）该户型商品房的面积为 . 按方案一购买一套该户型商品房的总金额为 元； 按方案二购买一套该户型商品房的总金额为元. （2）当x=2时，方案一总金额为240000+5000x=250000（元）； 方案二总金额为228000+9500x=247000（元）. 方案二比方案一优惠250000-247000=3000（元）. 所以方案二更优惠，优惠3000元. 巩固提升 1.购买某原料有如下优惠方案：①一次性购买金额不超过1万元不享受优惠；②一次性购买金额超过1万元但不超过3万元给予9折优惠；③一次性购买金额超过3万元，其中3万元给予9折优惠，超过部分给予7折优惠 （1）若某人购该原料付款9900元，则他购买的原料原价是________元； （2）某人分两次购买该原料，第1次付款8000元，第2次付款25200元，若他一次性购买同样数量的原料，可比分两次购买少付_________元. 1.（1）9900或11000 【解析】若购买金额不超过1万元，则购买的原料原价为9900元；若购买金额超过1万元但不超过3万元，则（元），故答案为9900或11000. （2）2000 【解析】设第2次原料原价为x元，根据题意，可得0.9x=25200，解得x=28000.所以两次原料总价为28000+8000=36000（元），按照方案③，一次性购买同样数量的原料付款为（元），所以一次性购买同样数量的原料可比分两次购买少付8000+25200-31200=2000（元）. 2.某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭会员证每次游泳付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为x（x为正整数）. （1）根据题意，填写下表： 游泳次数 10 15 20 … x 方式一的总费用/元 150 175 … 方式二的总费用/元 90 135 … （2）若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，则选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？ （3）若两种方式总费用一样多，则他的游泳次数是多少？ 2.（1）200 100+5x 180 9x 【解析】已知小明游泳次数为x，则方式一的总费用为100+5x.方式二的总费用为9x. 【解】（2）方式一：100+5x=270，解得x=34. 方式二：9x=270，解得x=30. 所以小明选择第一种付费方式游泳的次数比较多. （3）若两种方式总费用一样多，则100+5x=9x.所以x=25.所以当他的游泳次数是25时，两种方式总费用一样多. 3.某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准见下表： 每户每月用水量 水的价格（单位：元/吨） 不超过20吨的部分 1.6 超过20吨但不超过30吨的部分 2.4 超过30吨的部分 3.3 例：甲用户1月份用水25吨，应缴水费 （元）. （1）若乙用户1月份用水10吨，则应缴水费_________元； （2）若丙用户1月份应缴水费62.6元，则他该月用水_________吨； （3）若丁用户1、2月份共用水60吨（1月份用水量超过了2月份），设2月份用水a吨，求丁用户1、2月份各应缴水费多少元.（用含a的代数式表示） 3.（1）16 【解析】由题意，得（元）.故答案是16. （2）32 【解析】因为用水30吨时应缴水费（元），56<62.6，所以丙用户1月份用水超过30吨，因为超过的吨数为（吨），所以丙用户1月份用水30+2=32（吨）.故答案为32. （3）【解】因为1月份用水量超过了2月份，所以1月份用水量超过了30吨，2月份用水量少于30吨，1月份应缴水费元. ①当2月份用水量不超过20吨时，应缴水费1.6a元； ②当2月份用水量超过20吨但不超过30吨时，应缴水费元. 4.如表是中国电信两种“4G套餐”计费方式.（月基本费固定收，主叫不超过主叫时间，流量不超上网流量不再收费，主叫超时和上网流量超出部分加收超时费和超流量费） （1）若小萱某月主叫通话时间为220分钟，上网流量为800MB，则她按套餐1计费需________元，按套餐2计费需_______元；若小花某月按套餐2计费需129元，主叫通话时间为240分钟，则上网流量为________MB. （2）若上网流量为540MB，是否存在某主叫通话时间t（分），按套餐1和套餐2计费相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. （3）若上网流量为540MB，直接写出当主叫通话时间t（分）满足什么条件时，选择套餐1省钱；当主叫通话时间t（分）满足什么条件时，选择套餐2省钱. 月基本费/元 主叫通话时间/分 上网流量/MB 套餐1 49 200 500 套餐2 69 250 600 接听 超时费（元/分） 超流量费（元/MB） 套餐1 免费 0.2 0.3 套餐2 免费 0.15 0.2 4.（1）143 109 900 【解析】套餐1： =49+4+90 =143（元）. 套餐2： =69+40 =109（元）. 设上网流量为xMB，则 . 解得x=900. 【解】（2）存在.当时， ， 所以此时不存在这样的t，按套餐1和套餐2计费相等；当时， . 解得t=240； 当t>250时， . 解得t=210，不合题意，舍去. 综上，若上网流量为540MB，当主叫通话时间为240分钟时，按套餐1和套餐2计费相等. （3）由（2）可知，当t<240时，选择套餐1省钱； 当t>240时，选择套餐2省钱. 学科网（北京）股份有限公司 $$