5.2 解一元一次方程 同步训练-2024-2025学年人教版数学七年级上册

12 解一元一次方程 知识点1 合并同类项与系数化为1 1.合并同类项 将一元一次方程中含有 的项与 项分别合并，使方程转化为的形式，变形依据是 . 2.系数化为1 方程两边同时除以未知数的 ，使一元一次方程变形为的形式，变形的依据是 .例如，解方程：x+2x=6-3，合并同类项，得3x=3.系数化为1，得x=1. 知识点2 移项法解一元一次方程 1.移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件.移项的依据是 . （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边. 但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边，例如：-x+1=5，移项，得1-5=x，所以-4=x，即方程的解为x=-4. 2.移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1. 例如，解方程：10-4y=6y+5，移项，得-4y-6y=5-10. 合并同类项得-10y=-5.系数化为1，得. 知识点3 去括号与去分母 1.去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用前面学习的去括号法则去掉括号. （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律. （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“+1”或“-1”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加. （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1. 2.去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的 ），使方程中不含分母，这样的变化过程叫做去分母. （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为 系数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程.去分母的依据是 . （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程. 知识点4 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 去分母 方程两边乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 （1）易漏乘不含分母的项； （2）分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则. （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式的性质2 （1）系数含字母时，容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易把分子、分母颠倒 知识点5 解含有绝对值的方程 根据“，则”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程.例如，解方程：，去绝对值符号，得，即或，解得或. 重点 1、合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变. 2、利用合并同类项解一元一次方程时，要明确这类方程的特点：等号一边只含未知数的项，另一边只含常数项. 3、系数化为1时，若结果是分数，则原未知数的系数一定要写在分母里，并约分，切勿颠倒除数与被除数的位置. 4、在系数化为1时，特别注意当系数是负数时，符号不要出错. 巧记 “常数右边凑热闹，未知左边来报到.” 5、方程的移项必须： （1）跨过等号；（2）改变符号. 若某一项只在方程一边改变位置，不跨过等号，则属于多项式的移项，不改变符号. 拓展 若方程中有多层括号，通常由内向外逐层去括号，也可以由外向内去括号，可根据数据结构特点，灵活决定.例如；. 对点例 解方程：. 去括号，得. 移项得. 合并同类项，得. 系数化为1，得. 6、去分母时不要漏乘不含分母的项； 7、若分子是和、差的形式，去分母时，要先给分子加上括号，下一步再去括号，以防出现符号错误.例如，去分母，得，这过程中，左边分子为多项式x-1，去分母时要加，右边数1也需乘6才符合等式的性质. 注意5 无论方程是一边含绝对值符号还是两边都含绝对值符号，在去掉绝对值符号后，一边不变，另一边整体加“”号. 课时1 解一元一次方程——合并同类项 基础巩固 题型1 系数化为1 1.在把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（ ） A.方程两边同时乘-2 B.方程两边同时除以 C.方程两边同时乘 D.方程两边同时除以2 2.解方程： （1）； （2）[2020黑龙江哈尔滨南岗区期中]. 题型2 合并同类项 3.对于方程x-3x+5x=4，合并同类项正确的是（ ） A.9x=4 B.3x=4 C.7x=4 D.-7x=4 4.下列各方程合并同类项不正确的是（ ） A.由5y-3y=4，得2y=4 B.由3y-4y=2，得-y=2 C.由-7y+3y=4，得4y=4 D.由y-5y+2y=8，得-2y=8 题型3 解一元一次方程——合并同类项 5.方程的解是（ ） A.x=15 B.x=14 C. D.x=105 6.下面解方程的结果正确的是（ ） A.方程4=3x-4x的解为x=4 B.方程-9=5x-2x的解为x=3 C.方程的解为 D.方程1-4=3x的解为x=-9 7.若三个连续偶数的和是30，则它们的积是（ ） A.960 B.140 C.990 D.1680 8.若一件服装以120元销售，可获利20%，则这件服装的进价________. 9.请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，鸭有多少请算清. 根据诗的内容，设共有x只鸭子，可列方程：_______________，合并同类项，得_______，两边乘_______，得x=_______. 10.解方程： （1）13x-6x=-15-27； （2）； （3）. 11.[中]某地下停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场的小型汽车数量是中型汽车数量的3倍，这些车共缴纳停车费270元，则小型汽车有多少辆？ 课时2 解一元一次方程——移项 基础巩固 题型1 移项 1.方程x-4=3x+5移项后正确的是（ ） A.x+3x=5+4 B.x-3x=-4-5 C.x-3x=5-4 D.x-3x=5+4 2.下列通过移项变形错误的是（ ） A.由x+2=2x-7，得x-2x=-7-2 B.由y+3=2-4y，得y+4y=2-3 C.由2t-3+t=2t-4，得2t+t+2t=-4+3 D.由1-2m=3，得2m=1-3 3.如图所示的是解方程3x+20=4x-25的程序框图.其中，“移项”的依据是__________. 题型2 解一元一次方程——移项 4.方程2x-4=-2x+4的解是（ ） A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=0 5.已知代数式2x-6与3+4x的值互为相反数，那么x的值等于（ ） A.2 B. C.-2 D. 6.一元一次方程-0.3x+6=0的解是________. 7.解方程： （1）3x-6=-15-6x； （2）； （3）-2.5y-7.5y=5-16y； （4）. 题型3 列方程解决实际问题 8.某校在“我和我的祖国”学生读书系列活动中，将一些科技类图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分4本，那么剩余20本；如果每人分5本，那么还缺30本.若设该校七年级一班有学生x人，则下列方程正确的是（ ） A.4x-20=5x+30 B.4x+20=5x-30 C.4x-20=5x-30 D.4x+20=5x+30 9.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意：有一群人分银子，如果每人分七两银子，那么剩余四两；如果每人分九两银子，那么还差八两.请问所分的银子共有_________两.（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语） 10.在某区一次期末考试数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B 28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A 18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B 28的教师中调12人阅A 18，调动后阅B 28剩下的人数比原先阅A 18人数的一半还多3人，阅B 28和阅A 18的原有教师人数各为多少？ 易错点 解方程时，移项不变号致错 11.解方程：. 佳佳的解题过程如下： 解：移项，得.① 合并同类项，得3x=4.② 系数化为1，得.③ 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来. 巩固提升 1.为配合某市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元.若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款（ ） A.140元 B.150元 C.160元 D.200元 2.“★”表示一种运算符号，其定义是a★b=-2a+b，例如：3★7=-2x3+7，如果，那么x等于（ ） A.-4 B.7 C.-1 D.1 3.整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值. x -2 -1 0 1 2 mx+n -12 -8 -4 0 4 则关于x的方程-mx-n=8的解为（ ） A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2 4.已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解是_______. 5.若4a-7与3a互为相反数，则的值为_______. 6.如图，在的方格内填入9个数，使图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x的值是_______. 7.已知关于x的方程x-2m=-3x+4与2-m=x的解互为相反数. （1）求m的值； （2）求这两个方程的解. 8.如图，甲船逆水航行，它的静水速度为28海里/时；乙船顺水航行，它的静水速度为12海里/时，两船相距60海里.已知水流速度为3海里/时，两船同时相向而行. （1）两船同时航行1小时，求此时两船之间的距离； （2）在（1）的情况下，两船再继续航行1小时，求此时两船之间的距离； （3）求两船从开始航行到两船相距12海里，需要多长时间. 拓展培优 9.我们知道写成小数形式为，反过来，无限循环小数也可以转化成分数形式.方法如下： 设，由，可知，所以10x-x=3.解方程，得，所以. 例如：把无限循环小数化为分数的方法如下： 设，由，可知100x=32.323232…，所以100x-x=32，解方程，得，所以. 根据上述材料，解答下列问题： （1）把下列无限循环小数写成分数形式： ①_______；②_______；③_______. （2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的①②③中任选一个，写出你的转化过程. 课时3 解一元一次方程——去括号 基础巩固 题型1 去括号 1.将方程去括号正确的是（ ） A.3-x+2=1 B.3+x+2=1 C.3+x-2=1 D.3-x-2=1 2.将方程去括号，正确的是（ ） A.2x-8x-12=6-2x+2 B.2x-8x+12=6-2x+1 C.2x-8x+3=6-2x-2 D.2x-8x+12=6-2x-2 题型2 解一元一次方程——去括号 3.若，则y的值是（ ） A.6 B.3 C.2 D.1 4.若，那么m的值是（ ） A.0 B. C. D. 5.若代数式3a+1的值与的值互为相反数，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6.解方程：，步骤如下： ①去括号，得4x-4-x=2x+1. ②移项，得4x-x+2x=1+4. ③合并同类项，得5x=5. ④系数化为1，得x=1. 经检验，x=1不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 7.方程的解是________. 8.解方程：. 解：去括号，得5x=_______. 移项，得_______=-12. 合并同类项，得_______. 系数化为1，得_______. 通过阅读并填空，可知解含有括号的一元一次方程的步骤是_______________________________________. 9.在公式中，若a=3，h=4，S=20，则b的值是________. 10.解方程 （1）； （2）； （3）； （4）. 易错点 去括号漏乘项或出现符号错误 11.下列变形正确的是（ ） A.将方程去括号，得3-x=2-x+3 B.将方程去括号、移项、合并同类项，得x=5 C.将方程去括号，得4x-2-3x-9=1 D.将方程去括号，得3x+1-2x+3=12 巩固提升 1.设P=2y-2，Q=2y+3，且3P-Q=1，则y的值是（ ） A.0.4 B.2.5 C.-0.4 D.-2.5 2.当x=4时，式子与bx+4的值相等，则b的值为（ ） A.-6 B.-7 C.6 D.7 3.对于实数a，b，规定，若，则x的值为（ ） A.-2 B. C. D.4 4.当k=_______时，关于x的方程和的解相同. 5.一题多解是拓展我们思维的重要策略.对于方程“”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x-3=y. （1）则原方程可变形为关于y的方程：__________，通过先求y的值，从而可得x=__________； （2）上述方法用到的数学思想是______________. 6.已知y=3是方程的解，那么关于x的方程 的解是多少？ 7.定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法，减法及乘法运算，比如：. （1）求的值； （2）若，求x的值. 8.甲、乙两列火车的长分别为144m和180m，甲车比乙车每秒多行驶4m. （1）两列车相向行驶，从两车头相遇到两车尾离开需9s，问两车速度各是多少？ （2）若同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需多长时间？ 拓展培优 9.任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与. 我们规定：. 例如：. 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对_________； （2）若有理数对，则x=_________； （3）当满足等式的x是整数时，求整数k的值. 课时4 解一元一次方程——去分母 基础巩固 题型1 去分母 1.解方程时，去分母后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 2.下列方程去分母正确的是（ ） A.由，得2x-1=3-3x B.由，得2x-2-x=-4 C.由，得2y-15=3y D.由，得 3（1）将方程的两边乘_________，得； （2）将方程去分母，得_________. 题型2 解一元一次方程——去分母 4.方程的解为（ ） A.x=4 B. C.x=-4 D. 5.若代数式2x-3与的值相等，则x的值为（ ） A.3 B.1 C.-3 D.4 6.解方程时，方程两边乘_______，得，这种变形叫_______，其依据是____________，这个方程的解是_______. 7.与互为倒数，则x=_______. 8.代数式与代数式3-2x的和为4，则x=_______. 9.请你写出一个一元一次方程，且符合下面的要求：①方程的解是x=-2；②含分母，且去分母时会出现括号.你写的方程是____________. 10.解方程： （1）； （2）. 易错点 去分母时容易漏乘不含分母的项，也容易因没有给多项式分子加括号而出现符号错误 11.在数学课上，老师让同学们解方程：. 以下是小明的解题过程： 解：去分母，得. 去括号，得9x+3-2x-5=1. 移项，得9x-2x=1-3+5. 合并同类项，得7x=3. 系数化为1，得. 请仔细阅读，你认为小明哪一步开始出错？请你写出正确解法. 巩固提升 1.下列方程的变形中，正确的是（ ） A.由3x-5=x+1，得3x-x=1-5 B.由-15x=5，得x=-3 C.由，得-2x+2+4=x D.由，得4x+3x=1 2.如图是方程的求解过程，其中表示“去括号”的是（ ） （①），得. （②），得. （③），得. （④），得. （⑤），得. A.① B.② C.③ D.④ 3.小明在解方程，去分母时，方程右边的-1没有乘3，因而求得的解为x=2，则原方程的解为（ ） A.x=0 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 4.若使多项式中不含xy项，则k的值为_________. 5.若与互为相反数，则a的值是_________. 6.一元一次方程的解是x=_________. 7.解方程：. 8.已知关于x的方程的解比的解小，求a的值. 拓展培优 9.类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母分数，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为，类比上述方法解决以下问题. （1）__________； （2）求解关于x的方程： . 答案 12 解一元一次方程 知识点1 合并同类项与系数化为1 1.合并同类项 将一元一次方程中含有 的项与 项分别合并，使方程转化为的形式，变形依据是 . 2.系数化为1 方程两边同时除以未知数的 ，使一元一次方程变形为的形式，变形的依据是 .例如，解方程：x+2x=6-3，合并同类项，得3x=3.系数化为1，得x=1. 知识点2 移项法解一元一次方程 1.移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件.移项的依据是 . （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边. 但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边，例如：-x+1=5，移项，得1-5=x，所以-4=x，即方程的解为x=-4. 2.移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项；（2）合并同类项；（3）系数化为1. 例如，解方程：10-4y=6y+5，移项，得-4y-6y=5-10. 合并同类项得-10y=-5.系数化为1，得. 知识点3 去括号与去分母 1.去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用前面学习的去括号法则去掉括号. （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律. （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“+1”或“-1”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加. （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1. 2.去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的 ），使方程中不含分母，这样的变化过程叫做去分母. （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为 系数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程.去分母的依据是 . （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程. 知识点4 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 去分母 方程两边乘各分母的最小公倍数 等式的性质2 （1）易漏乘不含分母的项； （2）分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则. （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边 等式的性质1 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式的性质2 （1）系数含字母时，容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易把分子、分母颠倒 知识点5 解含有绝对值的方程 根据“，则”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程.例如，解方程：，去绝对值符号，得，即或，解得或. 答案 未知数 常数 合并同类项法则 系数 等式的性质2 等式的性质1 最小公倍数 整数 等式的性质2 重点 1、合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变. 2、利用合并同类项解一元一次方程时，要明确这类方程的特点：等号一边只含未知数的项，另一边只含常数项. 3、系数化为1时，若结果是分数，则原未知数的系数一定要写在分母里，并约分，切勿颠倒除数与被除数的位置. 4、在系数化为1时，特别注意当系数是负数时，符号不要出错. 巧记 “常数右边凑热闹，未知左边来报到.” 5、方程的移项必须： （1）跨过等号；（2）改变符号. 若某一项只在方程一边改变位置，不跨过等号，则属于多项式的移项，不改变符号. 拓展 若方程中有多层括号，通常由内向外逐层去括号，也可以由外向内去括号，可根据数据结构特点，灵活决定.例如；. 对点例 解方程：. 去括号，得. 移项得. 合并同类项，得. 系数化为1，得. 6、去分母时不要漏乘不含分母的项； 7、若分子是和、差的形式，去分母时，要先给分子加上括号，下一步再去括号，以防出现符号错误.例如，去分母，得，这过程中，左边分子为多项式x-1，去分母时要加，右边数1也需乘6才符合等式的性质. 注意5 无论方程是一边含绝对值符号还是两边都含绝对值符号，在去掉绝对值符号后，一边不变，另一边整体加“”号. 课时1 解一元一次方程——合并同类项 基础巩固 题型1 系数化为1 1.在把方程的系数化为1的过程中，最恰当的叙述是（ ） A.方程两边同时乘-2 B.方程两边同时除以 C.方程两边同时乘 D.方程两边同时除以2 1.C 【解析】对于形如的一元一次方程，系数化为1的方法是两边除以未知数的系数，或两边乘未知数系数的倒数.故选C. 2.解方程： （1）； （2）[2020黑龙江哈尔滨南岗区期中]. 2.【解】（1）系数化为1，得，即. （2）系数化为1，得，即. 题型2 合并同类项 3.对于方程x-3x+5x=4，合并同类项正确的是（ ） A.9x=4 B.3x=4 C.7x=4 D.-7x=4 3.B 【解析】x，-3x，5x为同类项，合并其系数即1-3+5=3，故方程合并同类项后化为3x=4.故选B. 4.下列各方程合并同类项不正确的是（ ） A.由5y-3y=4，得2y=4 B.由3y-4y=2，得-y=2 C.由-7y+3y=4，得4y=4 D.由y-5y+2y=8，得-2y=8 4.C 【解析】因为，故C错误，符合题意.故选C. 题型3 解一元一次方程——合并同类项 5.方程的解是（ ） A.x=15 B.x=14 C. D.x=105 5.A 【解析】合并同类项，得.系数化为1，得.故选A. 6.下面解方程的结果正确的是（ ） A.方程4=3x-4x的解为x=4 B.方程-9=5x-2x的解为x=3 C.方程的解为 D.方程1-4=3x的解为x=-9 6.C 【解析】A选项；合并同类项，得4=-x，所以x=-4，解答错误；B选项，合并同类项，得-9=3x，两边除以3，得x=-3，解答错误；C选项，合并同类项，得，两边乘2，得，解答正确；D选项，合并同类项，得-3=3x，两边除以3，得x=-1，解答错误.故选C. 7.若三个连续偶数的和是30，则它们的积是（ ） A.960 B.140 C.990 D.1680 7.A 【解析】设中间的偶数为x，则其余两个偶数分别为x-2，x+2.根据题意，得x-2+x+x+2=30，合并同类项，得3x=30，系数化为1，得x=10.所以另外两个偶数分别为8，12，其积为.故选A. 8.若一件服装以120元销售，可获利20%，则这件服装的进价________. 8.100元 【解析】设进价为x元；则利润为20%x元，根据“进价+利润=售价”，得x+20%x=120，合并同类项，得1.2x=120，系数化为1，得x=100.故这件衣服的进价是100元. 9.请欣赏一首诗： 太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼； 一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中； 剩下十五围着我，鸭有多少请算清. 根据诗的内容，设共有x只鸭子，可列方程：_______________，合并同类项，得_______，两边乘_______，得x=_______. 9. 4 60 【解析】本题相等关系为“鸭子的总数-一半的鸭子数-一半的一半的鸭子数=15”.根据题意，列方程为，合并同类项，得，两边乘4，得x=60. 10.解方程： （1）13x-6x=-15-27； （2）； （3）. 10.【解】（1）合并同类项，得7x=-42. 系数化为1，得x=-6. （2）合并同类项，得. 系数化为1，得. （3）计算，得-0.5m+7.5m-4m-1.5m=-6-3. 合并同类项，得1.5m=-9. 系数化为1，得m=-6. 11.[中]某地下停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场的小型汽车数量是中型汽车数量的3倍，这些车共缴纳停车费270元，则小型汽车有多少辆？ 11.【解】设中型汽车有x辆，则小型汽车有3x辆.根据题意，得. 合并同类项，得18x=270.系数化为1，得x=15.所以3x=45. 答：小型汽车有45辆. 课时2 解一元一次方程——移项 基础巩固 题型1 移项 1.方程x-4=3x+5移项后正确的是（ ） A.x+3x=5+4 B.x-3x=-4-5 C.x-3x=5-4 D.x-3x=5+4 1.D 【解析】因为x-4=3x+5，所以x-3x=5+4.故选D. 2.下列通过移项变形错误的是（ ） A.由x+2=2x-7，得x-2x=-7-2 B.由y+3=2-4y，得y+4y=2-3 C.由2t-3+t=2t-4，得2t+t+2t=-4+3 D.由1-2m=3，得2m=1-3 2.C 【解析】A选项，x+2=2x-7，移项，得x-2x=-7-2，故A选项正确；B选项，y+3=2-4y，移项，得y+4y=2-3，故B选项正确；C选项，2t-3+t=2t-4，移项，得2t+t-2t=-4+3，故C选项错误；D选项，1-2m=3，移项，得2m=1-3，故D选项正确.故选C. 3.如图所示的是解方程3x+20=4x-25的程序框图.其中，“移项”的依据是__________. 3.等式的性质1 【解析】题图所示为解方程3x+20=4x-25的程序框图.其中，“移项”的依据是等式的性质1. 题型2 解一元一次方程——移项 4.方程2x-4=-2x+4的解是（ ） A.x=2 B.x=-2 C.x=1 D.x=0 4.A 【解析】2x-4=-2x+4，移项，得2x+2x=4+4.合并同类项，得4x=8.系数化为1，得x=2.故选A. 5.已知代数式2x-6与3+4x的值互为相反数，那么x的值等于（ ） A.2 B. C.-2 D. 5.D 【解析】根据题意，得2x-6+3+4x=0.移项，得2x+4x=6-3.合并同类项，得6x=3.系数化为1，得.故选D. 6.一元一次方程-0.3x+6=0的解是________. 6.x=20 【解析】-0.3x+6=0，移项，得-0.3x=-6.系数化为1，得x=20. 7.解方程： （1）3x-6=-15-6x； （2）； （3）-2.5y-7.5y=5-16y； （4）. 7.【解】（1）移项，得3x+6x=-15+6. 合并同类项，得9x=-9. 系数化为1，得x=-1. （2）移项，得. 合并同类项，得. 系数化为1，得x=-66. （3）移项，得-2.5y-7.5y+16y=5. 合并同类项，得6y=5. 系数化为1，得. （4）移项，得. 合并同类项，得. 系数化为1，得. 题型3 列方程解决实际问题 8.某校在“我和我的祖国”学生读书系列活动中，将一些科技类图书分给了七年级一班的学生阅读，如果每人分4本，那么剩余20本；如果每人分5本，那么还缺30本.若设该校七年级一班有学生x人，则下列方程正确的是（ ） A.4x-20=5x+30 B.4x+20=5x-30 C.4x-20=5x-30 D.4x+20=5x+30 8.B 【解析】已知该校七年级一班有学生x人.依题意，得图书的数显不变，则4x+20=5x-30.故选B. 9.明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意：有一群人分银子，如果每人分七两银子，那么剩余四两；如果每人分九两银子，那么还差八两.请问所分的银子共有_________两.（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语） 9.46 【解析】设有x人.依题意，有7x+4=9x-8，解得x=6.故7x+4=42+4=46.即所分的银子共有46两. 10.在某区一次期末考试数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B 28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A 18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B 28的教师中调12人阅A 18，调动后阅B 28剩下的人数比原先阅A 18人数的一半还多3人，阅B 28和阅A 18的原有教师人数各为多少？ 10.【解】设阅A 18的原有教师x人，则阅B 28的原有教师3x人. 依题意，得.解得x=6.所以3x=18. 答：阅A 18的原有教师6人，阅B 28的原有教师18人. 易错点 解方程时，移项不变号致错 11.解方程：. 佳佳的解题过程如下： 解：移项，得.① 合并同类项，得3x=4.② 系数化为1，得.③ 请问佳佳的解题步骤有误吗？如果有误，从第几步开始出错的？并且将正确答案写出来. 11.【解】有误，从第①步幵始出错的. 正确的解题过程：移项，得.合并同类项，得3x=-6.系数化为1，得x=-2. 易错警示 移项要变号，即一定要改变符号后再从方程的一边移到另一边.同时也要注意那些没有跨越等号改变位置的项不要变号. 巩固提升 1.为配合某市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元.若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款（ ） A.140元 B.150元 C.160元 D.200元 1.B 【解析】设小慧同学此次购书的总价是x元.则有20+0.8x=x-10.移项，得0.8x-x=-10-20.合并同类项，得-0.2x=-30.系数化为1，得x=150，即小慧同学不买卡直接购书需付款150元.故选B. 2.“★”表示一种运算符号，其定义是a★b=-2a+b，例如：3★7=-2x3+7，如果，那么x等于（ ） A.-4 B.7 C.-1 D.1 2.A 【解析】由题意，可知-2x-5=3，所以-2x=8，所以x=-4.故选A. 3.整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值. x -2 -1 0 1 2 mx+n -12 -8 -4 0 4 则关于x的方程-mx-n=8的解为（ ） A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=2 3.A 【解析】根据表格可知x=0时，mx+n=-4，所以n=-4.x=2时，mx+n=4，所以2m-4=4，移项，得2m=4+4.合并同类项，得2m=8.系数化为1，得m=4.所以原方程为-4x+4=8.移项，得-4x=8-4.合并同类项，得-4x=4.系数化为1，得x=-1.故选A. 4.已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解是_______. 4.x=-3 【解析】因为原方程是关于x的一元一次方程，所以m+2=1，移项，得m=1-2.合并同类项，得m=-1.把m=-1代入原方程，得-2x-2=4.移项，得-2x=4+2.合并同类项，得-2x=6.系数化为1，得x=-3. 5.若4a-7与3a互为相反数，则的值为_______. 5.0 【解析】因为4a-7与3a互为相反数，所以4a-7+3a=0，移项，得4a+3a=7.合并同类项，得7a=7.系数化为1，得a=1，所以. 6.如图，在的方格内填入9个数，使图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x的值是_______. 6.1 【解析】依题意，得x+6-x=-2+6+2x，移项，得x-x-2x=-2+6-6.合并同类项，得-2x=-2.系数化为1，得x=1. 7.已知关于x的方程x-2m=-3x+4与2-m=x的解互为相反数. （1）求m的值； （2）求这两个方程的解. 7.【解】（1）由x-2m=-3x+4，得.依题意有，解得m=6. （2）由m=6，可得方程x-2m=-3x+4的解为，可得方程2-m=x的解为x=2-6=-4. 8.如图，甲船逆水航行，它的静水速度为28海里/时；乙船顺水航行，它的静水速度为12海里/时，两船相距60海里.已知水流速度为3海里/时，两船同时相向而行. （1）两船同时航行1小时，求此时两船之间的距离； （2）在（1）的情况下，两船再继续航行1小时，求此时两船之间的距离； （3）求两船从开始航行到两船相距12海里，需要多长时间. 8.【解】（1）由题意，得（海里）. 答：两船同时航行1小时，此时两船之间的距离是20海里. （2）（海里），由于60<80，所以两船之间的距离是80-60=20（海里）. 答：在（1）的情况下，两船再继续航行1小时，此时两船之间的距离是20海里. （3）设需要x小时.①相遇前相距12海里，则，解得x=1.2；②相遇后相距12海里，则，解得x=1.8.综上所述，两船从开始航行到两船相距12海里，需要1.2小时或1.8小时. 拓展培优 9.我们知道写成小数形式为，反过来，无限循环小数也可以转化成分数形式.方法如下： 设，由，可知，所以10x-x=3.解方程，得，所以. 例如：把无限循环小数化为分数的方法如下： 设，由，可知100x=32.323232…，所以100x-x=32，解方程，得，所以. 根据上述材料，解答下列问题： （1）把下列无限循环小数写成分数形式： ①_______；②_______；③_______. （2）借鉴材料中的方法，从第（1）题的①②③中任选一个，写出你的转化过程. 9.（1）① ② ③ （2）【解】从①②③中任选一个转化即可. ①设，则10x=5.5555…，所以10x-x=5， 解方程，得，所以. ②设，则100x=58.5858…，所以，100x-x=58， 解方程，得，所以. ③设，则1000x=518.518518…，所以1，000x-x=518，解方程，得，所以. 课时3 解一元一次方程——去括号 基础巩固 题型1 去括号 1.将方程去括号正确的是（ ） A.3-x+2=1 B.3+x+2=1 C.3+x-2=1 D.3-x-2=1 1.D 【解析】去括号，得3-x-2=1.故选D. 2.将方程去括号，正确的是（ ） A.2x-8x-12=6-2x+2 B.2x-8x+12=6-2x+1 C.2x-8x+3=6-2x-2 D.2x-8x+12=6-2x-2 2.D 【解析】，去括号，得2x-8x+12=6-2x-2，故选D. 题型2 解一元一次方程——去括号 3.若，则y的值是（ ） A.6 B.3 C.2 D.1 3.B 【解析】方程，去括号，得6y+12=30.移项，得6y=30-12=18.系数化为1，得y=3.故选B. 4.若，那么m的值是（ ） A.0 B. C. D. 4.D 【解析】去括号，得.合并同类项，得.移项，得.系数化为1，得.故选D. 5.若代数式3a+1的值与的值互为相反数，则a的值为（ ） A. B. C. D. 5.A 【解析】因为代数式3a+1的值与的值互为相反数，所以，去括号，得3a+1+3a-3=0.移项，得3a+3a=3-1.合并同类项，得6a=2.系数化为1，得.故选A. 6.解方程：，步骤如下： ①去括号，得4x-4-x=2x+1. ②移项，得4x-x+2x=1+4. ③合并同类项，得5x=5. ④系数化为1，得x=1. 经检验，x=1不是原方程的解，说明解题过程有错误，其中做错的一步是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 6.B 【解析】第②步2x从方程右边移到左边时没有变号，错误.故选B. 7.方程的解是________. 7.x=1 【解析】去括号，得6x-3=3x.移项，得3x=3.系数化为1，得x=1. 8.解方程：. 解：去括号，得5x=_______. 移项，得_______=-12. 合并同类项，得_______. 系数化为1，得_______. 通过阅读并填空，可知解含有括号的一元一次方程的步骤是_______________________________________. 8.3x-12 5x-3x 2x=-12 x=-6 去括号，移项，合并同类项，系数化为1 【解析】解方程过程中每一步的方法指令就是解这类方程的步骤名称. 9.在公式中，若a=3，h=4，S=20，则b的值是________. 9.7 【解析】把a=3，h=4，S=20代入中，得，即，解得b=7. 10.解方程 （1）； （2）； （3）； （4）. 10.【解】（1）去括号，得6x+18=-x-17. 移项及合并同类项，得7x=-35. 系数化为1，得x=-5. （2）去括号，得4x-8-1=3x-3. 移项，得4x-3x=-3+8+1. 合并同类项，得x=6. （3）去括号，得4x+4-5x+15=11. 移项，得4x-5x=11-4-15. 合并同类项，得-x=-8. 系数化为1，得x=8. （4）去括号，得4x-4-x-3=11. 移项，得4x-x=11+4+3. 合并同类项，得3x=18. 系数化为1，得x=6. 易错点 去括号漏乘项或出现符号错误 11.下列变形正确的是（ ） A.将方程去括号，得3-x=2-x+3 B.将方程去括号、移项、合并同类项，得x=5 C.将方程去括号，得4x-2-3x-9=1 D.将方程去括号，得3x+1-2x+3=12 11.B 【解析】A，C选项中，去括号时均出现符号错误，D选项中，去括号时漏乘项.故选B. 易错警示 若括号前为负号，去括号时容易出现符号错误.若括号外面有因数，去括号时容易漏乘括号内靠后面的项. 巩固提升 1.设P=2y-2，Q=2y+3，且3P-Q=1，则y的值是（ ） A.0.4 B.2.5 C.-0.4 D.-2.5 1.B 【解析】将P=2y-2，Q=2y+3代入3P-Q=1，得，6y-6-2y-3=1，4y=10，y=2.5.故选B. 2.当x=4时，式子与bx+4的值相等，则b的值为（ ） A.-6 B.-7 C.6 D.7 2.A 【解析】根据题意，把x=4分别代入两个代数式，得，5b+20-10=4b+4，5b-46=4-20+10.解得b=-6.故选A. 3.对于实数a，b，规定，若，则x的值为（ ） A.-2 B. C. D.4 3.D 【解析】由题意，得.去括号，得4-2x+6=2.解得x=4.故选D. 4.当k=_______时，关于x的方程和的解相同. 4. 【解析】先解不含k的方程，再将求得的解代入含k的方程，得到一个关于k的一元一次方程，再解方程即可.解方程，得.把代入方程，得，解得.故答案为. 5.一题多解是拓展我们思维的重要策略.对于方程“”可以有多种不同的解法，观察此方程，假设4x-3=y. （1）则原方程可变形为关于y的方程：__________，通过先求y的值，从而可得x=__________； （2）上述方法用到的数学思想是______________. 5.（1）y-6y=7y （2）换元思想 【解析】（1）方程中可变形为，故原方程可变形为y-6y=7y，解这个方程，得y=0，所以4x-3=0.从而可得.（2）.上述方法用到的数学思想是“换元思想”. 6.已知y=3是方程的解，那么关于x的方程 的解是多少？ 6.【解】把y=3代入方程， 得，解得m=3. 把m=3代入， 得，解得. 7.定义新运算：对于任意有理数a，b，都有，等式右边是通常的加法，减法及乘法运算，比如：. （1）求的值； （2）若，求x的值. 7.【解】（1） . （2）由， 得到，解得x=10.5. 8.甲、乙两列火车的长分别为144m和180m，甲车比乙车每秒多行驶4m. （1）两列车相向行驶，从两车头相遇到两车尾离开需9s，问两车速度各是多少？ （2）若同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需多长时间？ 8.【解】（1）设乙车的速度是xm/s，则甲车的速度是.根据题意，得. 去括号、移项、合并同类项，得2x=32.解得x=16. 所以x+4=20. 答：甲车的速度是20m/s，乙车的速度是16m/s. （2）由题意，得（s）. 答：需要81s. 拓展培优 9.任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与. 我们规定：. 例如：. 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对_________； （2）若有理数对，则x=_________； （3）当满足等式的x是整数时，求整数k的值. 9.（1）-5 【解析】根据题中的新规定，得原式. （2）2 【解析】根据题中的新规定，得.去括号，得3x+1+2x-2=9，解得x=2. （3）【解】根据题中的新规定，将原式化简得.去括号，得2kx-k+3x+3k=3+2k，即.因为x，k是整数，所以或，则整数h的值为0，-1，-2，-3. 课时4 解一元一次方程——去分母 基础巩固 题型1 去分母 1.解方程时，去分母后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 1.C 【解析】等式两边同时乘6，可得.故选C. 2.下列方程去分母正确的是（ ） A.由，得2x-1=3-3x B.由，得2x-2-x=-4 C.由，得2y-15=3y D.由，得 2.D 【解析】A选项，由，得2x-6=3-3x，此选项错误； B选项，由，得2x-4-x=-4，此选项错误； C选项，由，得5y-15=3y，此选项错误； D选项，由，得3（y+1）=2y+6，选项正确.故选D. 3（1）将方程的两边乘_________，得； （2）将方程去分母，得_________. 3.（1）12 （2） 【解析】（1）4，6的最小公倍数是12；（2）两边乘2，注意不要漏乘5，还要给分子加括号. 题型2 解一元一次方程——去分母 4.方程的解为（ ） A.x=4 B. C.x=-4 D. 4.A 【解析】去分母，得x=-2x+12.移项及合并同类项，得3x=12.系数化为1，得x=4.故选A. 5.若代数式2x-3与的值相等，则x的值为（ ） A.3 B.1 C.-3 D.4 5.A 【解析】根据题意，得.去分母，得.去括号，得4x-6=x+3.移项，得4x-x=3+6.合并同类项，得3x=9.系数化为1，得x=3.故选A. 6.解方程时，方程两边乘_______，得，这种变形叫_______，其依据是____________，这个方程的解是_______. 6.10 去分母 等式的性质2 x=1 【解析】本方程中各分母的最小公倍数是10，第一步是去分母，接着去括号，得2x+8=3x+7.移项及合并同类项，得-x=-1.系数化为1，得x=1. 7.与互为倒数，则x=_______. 7. 【解析】由题意，得，即.去分母，得.去括号，得2x+8=5.合并同类项，得2x=-3.系数化为1，得.故答案为. 8.代数式与代数式3-2x的和为4，则x=_______. 8.-1 【解析】根据题意，得.去分母，得2x-1+9-6x=12.移项及合并同类项，得-4x=4.系数化为1，得x=-1.故答案为-1. 9.请你写出一个一元一次方程，且符合下面的要求：①方程的解是x=-2；②含分母，且去分母时会出现括号.你写的方程是____________. 9.（答案不唯一） 【解析】编写方程时，可以先任意写一个包含-2的等式，再用x代替-2，然后检查一下是不是一元一次方程.要使去分母时出现括号，则分子为多项式. 10.解方程： （1）； （2）. 10.【解】（1）去分母，得.去括号，得5x+3=4-2x+2.移项，得5x+2x=4+2-3.合并同类项，得7x=3.系数化为1，得. （2）去分母，得. 去括号，得10x-10+8x+4=15x+5-20. 移项，得10x+8x-15x=5-20+10-4. 合并同类项，得3x=-9. 系数化为1，得x=-3. 易错点 去分母时容易漏乘不含分母的项，也容易因没有给多项式分子加括号而出现符号错误 11.在数学课上，老师让同学们解方程：. 以下是小明的解题过程： 解：去分母，得. 去括号，得9x+3-2x-5=1. 移项，得9x-2x=1-3+5. 合并同类项，得7x=3. 系数化为1，得. 请仔细阅读，你认为小明哪一步开始出错？请你写出正确解法. 11.【解】第一步开始出错.前面是负号，去分母时多项式分子应该加上括号；且等号右边有不含分母的项，去分母时应乘分母的最小公倍数6. 正确解法如下：去分母，得. 去括号，得9x+3-2x+5=6. 移项及合并同类项，得7x=-2. 系数化为1，得. 易错警示 将方程两边都乘分母的最小公倍数时，每一项都要乘，切勿漏乘不含分母的项，而且当分子整体看是含加减运算的式子时，去分母后要给分子加上括号，然后去括号，这样不易出错. 巩固提升 1.下列方程的变形中，正确的是（ ） A.由3x-5=x+1，得3x-x=1-5 B.由-15x=5，得x=-3 C.由，得-2x+2+4=x D.由，得4x+3x=1 1.C 【解析】A选项，由3x-5=x+1，得3x-x=1+5，故此选项错误；B选项，由-15x=5，得，故此选项错误；C选项，由，得-2x+2+4=x，故此选项正确；D选项，由，得4x+3x=12，故此选项错误.故选C. 2.如图是方程的求解过程，其中表示“去括号”的是（ ） （①），得. （②），得. （③），得. （④），得. （⑤），得. A.① B.② C.③ D.④ 2.B 【解析】去分母，得.去括号，得3x-3+6=4x+2.移项，得3x-4x=2+3-6.合并同类项，得-x=-1.系数化为1，得x=1.即①为去分母，②为去括号，③为移项，④为合并同类项，⑤为系数化为1.故选B. 3.小明在解方程，去分母时，方程右边的-1没有乘3，因而求得的解为x=2，则原方程的解为（ ） A.x=0 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.A 【解析】根据题意，得2x-1=x+a-1，把x=2代入这个方程，得3=2+a-1，解得a=2.将a=2代入原方程，得.去分母，得2x-1=x+2-3.移项及合并同类项，得x=0，故选A. 4.若使多项式中不含xy项，则k的值为_________. 4. 【解析】因为多项式中不含xy项，所以，所以.解得.故答案为. 5.若与互为相反数，则a的值是_________. 5. 【解析】根据题意，得.去分母，得3a+4a-18=0.移项及合并同类项，得7a=18.系数化为1，得.故答案为. 6.一元一次方程的解是x=_________. 6.-2019 【解析】原方程可变形为.逆用乘法分配律，又可变形为，即.两边除以，得x+1=-2018，所以x=-2019.故答案为-2019. 7.解方程：. 7.【解】原方程可化为.去分母，得.去括号，得30x-119+140x=21. 移项及合并同类项，得170x=140. 系数化为1，得. 8.已知关于x的方程的解比的解小，求a的值. 8.【解】因为，所以.因为，所以x=5a.由题意，得比5a小，即，解得a=1. 拓展培优 9.类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论.在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母分数，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项.类似地，对于可以用裂项的方法变形为，类比上述方法解决以下问题. （1）__________； （2）求解关于x的方程： . 9.（1） 【解析】原式 .故答案为. （2）【解】将已知等式整理，得 . 整理得，即， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$