5.1一元一次方程讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

11 一元一次方程 知识点1 方程与一元一次方程的概念 1.含有 的 叫做方程.例如：x=0，2x=5，y+3=-4，，x-2y=10，等都是方程. 2.只含有 个未知数（元），未知数的次数都是 ，等号两边都是 式，这样的方程叫做一元一次方程. 例如：x=1，2x-1=x+2，等都是一元一次方程. 3.一元一次方程的最简形式为. 一元一次方程的标准形式为. 知识点2 方程的解与解方程 1.使方程中等号左右两边 的未知数的值叫做方程的解.例如：x=2是方程2x+1=5的解. 2.求方程的 的过程叫做解方程. 知识点3 列简单的一元一次方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来.列方程的一般步骤为： （1）审题，分析实际问题中的等量关系，找出已知量和 ； （2）恰当地设出未知数x，并把涉及相等关系的量用 表示出来； （3）利用 关系列出方程. 知识点4 等式的性质 1.等式的性质1： 等式两边 （或 ）同一个数（或式子），结果仍相等.即如果a=b，那么 . 2.等式的性质2： 等式两边乘 或除以同一个 ，结果仍相等.即如果a=b，那么ac= ；如果a=b，那么 （）. 3.等式的其他性质： （1）对称性：若a=b，则b=a.如解方程时，若得到5=x，则根据等式的对称性，马上可以得到x=5. （2）传递性：若a=b，b=c，则a=c. 划重点 1、由此可以看出，方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示. 2、方程中的未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上. 3、一元一次方程必须满足三个条件： （1）整理化简后只含“一元”； （2）整理化简后最高次为“一次”； （3）整理前两边均为整式. 如：等式化简后为-4=-4，不含未知数，所以不是一元一次方程.要特别注意π不是未知数. 4、若已知等式为一元一次方程，则默认. 5、若要检验一个数是否为某个方程的解，只需把这个数分别代入方程的左右两边，看左右两边的值是否相等，相等则这个数是该方程的解，否则不是. 6、利用等式的性质计算时，一定要注意只有对等号两侧进行同样的运算，结果才仍相等. 例如：5=5，5+1=5+1，. 7、等式两边除以同一个数时，这个数一定不能为0. 课时1 从算式到方程 基础巩固 题型1 方程的概念 1.下列各式是方程的是（ ） A.7x-4=3x B.4m-6 C.4+3=7 D.2t<5 2.在①2y+1；②1+7=15-8+1；③；④m+2n=3；⑤a+b=b+a（a，b为常数）中，是方程的为_________.（填序号） 题型2 一元一次方程的概念 3.下列等式是一元一次方程的是（ ） A. B.2y-9 C. D.x+2y=3 4.已知下列方程：①；②0.3x=1；③；④；⑤x=6；⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 5.已知方程是关于x的一元一次方程，则a=________. 6.若方程是一元一次方程，则m=_________. 题型3 方程的解 7.下列方程中，解为x=-2的是（ ） A.2x+5=1-x B. C.x-5=5-x D. 8.小马虎在解关于x的方程2a-5x=21时，误将“-5x”看成了“+5x”，得方程的解为x=3，则原方程的解为_________. 9.检验下列各数是不是方程的解. （1）x=2； （2）x=-1. 题型4 列方程 10.已知每本练习本比每支水性笔便宜2元，小刚买了6本练习本和4支水性笔正好用去18元，设水性笔的单价为x元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11.下列所给出的条件，不能列出方程的是（ ） A.某数比它的平方小6 B.某数加上3，再乘2等于14 C.某数与它的的差 D.某数的3倍与7的和等于29 12.《孙子算经》是中国古代数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣.《孙子算经》记载：今有妇人河上荡杯.津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客.”津吏曰：“客有几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，不知道有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为__________________. 易错点 列方程时因单位未统一而致错 13.甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是10千米/时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小时两人相遇？（只列方程） 莉莉：设乙出发后x小时两人相遇. 列出的方程为. 请问莉莉列出的方程正确吗？如果不正确，请说明理由并列出正确的方程. 课时2 等式的性质 基础巩固 题型1 等式的性质 1.已知a=b，则下列式子的变形不一定成立的是（ ） A.2a=2b B.x+a=x+b C. D. 2.下列等式变形中，不正确的是（ ） A.若x=y，则x+3=y+3 B.若-2x=-2y，则x=y C.若，则x=y D.若x=y，则 3.如果3x=-x+4，那么3x+_______=4. 4.已知x-3y=3，则7+6y-2x=_______. 题型2 利用等式的性质解一元一次方程 5.把方程变形为x=2，其依据是（ ） A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.乘法结合律 D.乘法分配律 6.用等式的性质解方程：x-15=5，两边同时_______，得x=_______；，两边同时_______，得y=_______. 7.运用等式的性质解下列方程： （1）； （2）2x-1=2； （3）18=5-x； （4）3x=2x+12； （5）（需检验）； （6）（需检验）； （7）（需检验）. 易错点 应用等式的性质2时，忽视等式两边不能同除以0而致错 8.阅读下列解题过程，指出它错在哪一步？为什么？ . 两边同时加上1，得.第一步 两边同时除以，得2=3.第二步 所以原方程无解.第三步 巩固提升 1.设x，y，c是有理数，则下列判断错误的是（ ） A.若x=y，则x+2c=y+2c B.若x=y，则a-cx=a-cy C.若x=y，则 D.若，则3x=2y 2.宁宁同学拿了一架天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）.第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次：左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再次平衡（ ） A.左盘上加2克砝码 B.右盘上加2克砝码 C.左盘上加5克砝码 D.右盘上加5克砝码 3.方程中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是.则这个常数应是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.[中]如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第n个图案中有2020个白色菱形纸片，则n的值为（ ） A.671 B.672 C.673 D.674 5.如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两架天平都平衡，则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的_________.（填分数） 6.已知当x=-2时，代数式的值为6，利用等式的性质求代数式-8a+4b的值. 7.老师在黑板上写了一个等式.王聪说x=4，刘敏说不一定，当时，这个等式也可能成立. （1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由； （2）你能求出当a=2时中x的值吗？ 拓展培优 8.观察下列两个等式：，.给出定义如下：我们称使等式a-b=2ab-1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b）.如：数对，都是“同心有理数对”. 根据上述材料，解答下列问题： （1）数对，中，是“同心有理数对”的是_________； （2）若是“同心有理数对”，求a的值； （3）若是“同心有理数对”，则是否为“同心有理数对”？请说明理由. 答案 11 一元一次方程 知识点1 方程与一元一次方程的概念 1.含有 的 叫做方程.例如：x=0，2x=5，y+3=-4，，x-2y=10，等都是方程. 2.只含有 个未知数（元），未知数的次数都是 ，等号两边都是 式，这样的方程叫做一元一次方程. 例如：x=1，2x-1=x+2，等都是一元一次方程. 3.一元一次方程的最简形式为. 一元一次方程的标准形式为. 知识点2 方程的解与解方程 1.使方程中等号左右两边 的未知数的值叫做方程的解.例如：x=2是方程2x+1=5的解. 2.求方程的 的过程叫做解方程. 知识点3 列简单的一元一次方程 列方程就是把实际问题中的等量关系用方程的形式表示出来.列方程的一般步骤为： （1）审题，分析实际问题中的等量关系，找出已知量和 ； （2）恰当地设出未知数x，并把涉及相等关系的量用 表示出来； （3）利用 关系列出方程. 知识点4 等式的性质 1.等式的性质1： 等式两边 （或 ）同一个数（或式子），结果仍相等.即如果a=b，那么 . 2.等式的性质2： 等式两边乘 或除以同一个 ，结果仍相等.即如果a=b，那么ac= ；如果a=b，那么 （）. 3.等式的其他性质： （1）对称性：若a=b，则b=a.如解方程时，若得到5=x，则根据等式的对称性，马上可以得到x=5. （2）传递性：若a=b，b=c，则a=c. 答案 未知数 等式 — 1 整 相等 解 未知量 x 等量 加 减 同一个数 不为0的数 bc 划重点 1、由此可以看出，方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示. 2、方程中的未知数的个数不一定是一个，也可以是两个或两个以上. 3、一元一次方程必须满足三个条件： （1）整理化简后只含“一元”； （2）整理化简后最高次为“一次”； （3）整理前两边均为整式. 如：等式化简后为-4=-4，不含未知数，所以不是一元一次方程.要特别注意π不是未知数. 4、若已知等式为一元一次方程，则默认. 5、若要检验一个数是否为某个方程的解，只需把这个数分别代入方程的左右两边，看左右两边的值是否相等，相等则这个数是该方程的解，否则不是. 6、利用等式的性质计算时，一定要注意只有对等号两侧进行同样的运算，结果才仍相等. 例如：5=5，5+1=5+1，. 7、等式两边除以同一个数时，这个数一定不能为0. 课时1 从算式到方程 基础巩固 题型1 方程的概念 1.下列各式是方程的是（ ） A.7x-4=3x B.4m-6 C.4+3=7 D.2t<5 1.A 【解析】方程是含有未知数的等式，只有A项符合方程的定义，B，D项不是等式，C项不含未知数.故选A. 2.在①2y+1；②1+7=15-8+1；③；④m+2n=3；⑤a+b=b+a（a，b为常数）中，是方程的为_________.（填序号） 2.③④ 【解析】①2y+1，含未知数但不是等式，所以不是方程；②1+7=15-8+1，是等式但不含未知数，所以不是方程；③是含有未知数的等式，所以是方程；④m+2n=3是含有未知数的等式，所以是方程；⑤a+b=b+a（a，b为常数），不含有未知数，不是方程.故是方程的为③④. 刷有所得·知识 方程是含有未知数的等式，是等式但不含未知数的不是方程，含未知数但不是等式的也不是方程. 题型2 一元一次方程的概念 3.下列等式是一元一次方程的是（ ） A. B.2y-9 C. D.x+2y=3 3.A 【解析】A选项，是一元一次方程，符合题意；B选项，2y-9含有未知数，但不是等式，不是一元一次方程，不合题意；C选项，未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不合题意；D选项，x+2y=3含有两个未知数，不是一元一次方程，不合题意.故选A. 刷有所得·知识 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是等式，这样的方程叫做一元一次方程. 4.已知下列方程：①；②0.3x=1；③；④；⑤x=6；⑥x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 4.B 【解析】①的分母中含有未知数，不是一元一次方程，故①错误；②0.3x=1，符合一元一次方程的定义，故②正确；③，即，符合一元一次方程的定义，故③正确；④的未知数的最高次数是2，它不是一元一次方程，故④错误；⑤x=6，符合一元一次方程的定义，故⑤正确；⑥x+2y=0中含有2个未知数，不是一元一次方程，故⑥错误.综上所述，一元一次方程的个数是3.故选B. 5.已知方程是关于x的一元一次方程，则a=________. 5. 【解析】由“一次”的含义知二次项系数一定为0，即2a-1=0，解得. 6.若方程是一元一次方程，则m=_________. 6.1或2 【解析】由题意得①，且，解得m=1；②m-2=0，解得m=2.故m=1或2. 题型3 方程的解 7.下列方程中，解为x=-2的是（ ） A.2x+5=1-x B. C.x-5=5-x D. 7.B 【解析】A选项，把x=-2代入方程，左边右边，因而不是方程的解；B选项，把x=-2代入方程，左边=9=右边，因而是方程的解；C选项，把x=-2代入方程，左边右边；因而不是方程的解；D选项，把x=-2代入方程，左边右边，因而不是方程的解.故选B. 8.小马虎在解关于x的方程2a-5x=21时，误将“-5x”看成了“+5x”，得方程的解为x=3，则原方程的解为_________. 8.x=-3 【解析】因为小马虎在解关于x的方程时，误将“-5x”看成了“+5x”，得方程的解为x=3，所以把x=3代入2a+5x=21得出方程2a+15=21，解得a=3，即原方程为6-5x=21，解得x=-3. 9.检验下列各数是不是方程的解. （1）x=2； （2）x=-1. 9.【解】（1）当x=2时，左边，右边=0， 因为左边≠右边，所以x=2不是原方程的解. （2）当x=-1时，左边=-3，右边=-3， 因为左边=右边，所以x=-1是原方程的解. 题型4 列方程 10.已知每本练习本比每支水性笔便宜2元，小刚买了6本练习本和4支水性笔正好用去18元，设水性笔的单价为x元，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10.B 【解析】因为水性笔的单价为x元，所以练习本的单价为元，则.故选B. 11.下列所给出的条件，不能列出方程的是（ ） A.某数比它的平方小6 B.某数加上3，再乘2等于14 C.某数与它的的差 D.某数的3倍与7的和等于29 11.C 【解析】设某数为x，A选项，，是方程，故此选项错误；B选项，，是方程，故此选项错误；C选项，，不是方程，故此选项正确；D选项，3x+7=29，是方程，故此选项错误.故选C. 12.《孙子算经》是中国古代数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣.《孙子算经》记载：今有妇人河上荡杯.津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客.”津吏曰：“客有几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，不知道有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为__________________. 12. 【解析】共有客人x人，人数除以2得饭碗数，人数除以3得羹碗数，人数除以4得肉碗数，三种碗数相加，得总碗数，故可列方程为. 易错点 列方程时因单位未统一而致错 13.甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地骑车相向而行，甲骑车的速度是10千米/时，乙骑车的速度是8千米/时，甲先出发25分钟后，乙骑车出发，问乙出发后多少小时两人相遇？（只列方程） 莉莉：设乙出发后x小时两人相遇. 列出的方程为. 请问莉莉列出的方程正确吗？如果不正确，请说明理由并列出正确的方程. 13.【解】莉莉列出的方程不正确.理由：列方程时应先统一单位，正确方程：设乙出发后x小时两人相遇. 依题意得. 易错警示 题中的速度单位是千米/时，时间单位是分，列方程时必须先转化单位使其统一，即把25分转化为小时，与题目所问一致.还需注意速度单位是组合单位，不要与路程单位相混淆. 课时2 等式的性质 基础巩固 题型1 等式的性质 1.已知a=b，则下列式子的变形不一定成立的是（ ） A.2a=2b B.x+a=x+b C. D. 1.D 【解析】A选项，由a=b得2a=2b，此等式一定成立，不符合题意；B选项，由a=b得x+a=x+b，此等式一定成立，不符合题意；C选项，由a=b得ay=by，所以，此等式一定成立，不符合题意；D选项，当a=b=0时，和无意义，此等式不一定成立，符合题意故选D. 2.下列等式变形中，不正确的是（ ） A.若x=y，则x+3=y+3 B.若-2x=-2y，则x=y C.若，则x=y D.若x=y，则 2.D 【解析】D选项，当m=0时，和无意义，故错误.故选D. 3.如果3x=-x+4，那么3x+_______=4. 3.x 【解析】根据题意，得第一个等式等号右边为-x+4，第二个等式等号右边为4，因为，所以等号两边同时加x. 4.已知x-3y=3，则7+6y-2x=_______. 4.1 【解析】等式x-3y=3两边都乘-2，得6y-2x=-6，等式6y-2x=-6两边都加7，得7+6y+2x=-6+7=1. 题型2 利用等式的性质解一元一次方程 5.把方程变形为x=2，其依据是（ ） A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.乘法结合律 D.乘法分配律 5.B 【解析】将原方程两边都乘2，得x=2，这是依据等式的性质2.故选B. 6.用等式的性质解方程：x-15=5，两边同时_______，得x=_______；，两边同时_______，得y=_______. 6.加15 20除以（或乘） 10 【解析】解方程时将方程变形的原则是左边不含常数项，右边不含未知项，等式x-15=5，左边有-15，则两边需加15，得x=20；等式，两边都除以（或乘），得y=10. 7.运用等式的性质解下列方程： （1）； （2）2x-1=2； （3）18=5-x； （4）3x=2x+12； （5）（需检验）； （6）（需检验）； （7）（需检验）. 7.【解】（1）两边减1，得. （2）两边加1，得2x=3.两边除以2，得. （3）两边减5，得13=-x.两边除以-1，得x=-13. （4）两边减2x，得x=12. （5）两边加3，得.两边乘2，得x=16. 检验：当x=16时，左边=5=右边，故x=16是原方程的解. （6）两边减1，得.两边除以，得x=-9. 检验：当x=-9时，左边=-5=右边，故x=-9是原方程的解. （7）两边同时加，得. 两边除以，得m=-70.检验：当m=-70时，左边=-30=右边，故m=-70是原方程的解. 易错点 应用等式的性质2时，忽视等式两边不能同除以0而致错 8.阅读下列解题过程，指出它错在哪一步？为什么？ . 两边同时加上1，得.第一步 两边同时除以，得2=3.第二步 所以原方程无解.第三步 8.【解】解题过程在第二步出错理由如下： 等式两边不能同时除以x-1，x-1可能为0. 易错警示 利用等式的性质2进行化简时，一定要注意等式两边不能同时除以一个可能为0的式子，否则容易导致类似本题中出现的错解. 巩固提升 1.设x，y，c是有理数，则下列判断错误的是（ ） A.若x=y，则x+2c=y+2c B.若x=y，则a-cx=a-cy C.若x=y，则 D.若，则3x=2y 1.C 【解析】A选项，根据等式的性质1可得出，若x=y，则x+2c=y+2c，故A选项不符合题意；B选项，根据等式的性质1和2得出，若x=y，则a-cx=a-cy，故B选项不符合题意；C选项，根据等式的性质2得出，若c=0，则不成立，故C选项符合题意；D选项；根据等式的性质2可得出，若，则3x=2y，故D选项不符合题意.故选C. 2.宁宁同学拿了一架天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）.第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次：左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再次平衡（ ） A.左盘上加2克砝码 B.右盘上加2克砝码 C.左盘上加5克砝码 D.右盘上加5克砝码 2.A 【解析】由试验可得饼干与糖果之间的数量关系，第一次；2饼干=3糖果，即1饼干=1.5糖果；第二次；1饼干+1糖果=10克砝码，把1饼干=1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果=10克砝码，即1糖果=4克砝码，1饼干=1.5糖果=6克砝码.所以第三次；1饼干-1糖果=6克砝码-4克砝码=2克砝码，故选A. 3.方程中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是.则这个常数应是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.C 【解析】设阴影部分表示的数为a.将代入，得，，两边同时加上，得0=3-a，两边同时加上a，得a=3，故选C. 4.[中]如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第n个图案中有2020个白色菱形纸片，则n的值为（ ） A.671 B.672 C.673 D.674 4.C 【解析】图形变化的规律：第1个图案有4个白色菱形纸片，第2个图案有7个白色菱形纸片，以后每个图案都比前一个图案多3个白色菱形纸片.所以第n（n是正整数）个图案中的白色菱形纸片的个数为3n+1，所以3n+1=2020，两边减1，得3n=2019.两边除以3，得n=673.故选C. 5.如图所示，天平中放有苹果、香蕉、砝码，且两架天平都平衡，则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的_________.（填分数） 5. 【解析】设一个苹果的质量为x，一个香蕉的质量为y，一个砝码的质量为z. 由题意得2x=4z，则x=2z，3y=2z+x，即3y=2x+2z=4z，则y=-z.故. 6.已知当x=-2时，代数式的值为6，利用等式的性质求代数式-8a+4b的值. 6.【解】由题意，可得4a-2b+1=6，所以4a-2b=5，所以. 7.老师在黑板上写了一个等式.王聪说x=4，刘敏说不一定，当时，这个等式也可能成立. （1）你认为他们俩的说法正确吗？请说明理由； （2）你能求出当a=2时中x的值吗？ 7.【解】（1）王聪的说法不正确. 理由：两边除以不符合等式的性质2，因为当a+3=0时，x为任意实数. 刘敏的说法正确. 理由：因为当a+3=0时，x为任意实数，所以当时，这个等式也可能成立. （2）将a=2代入，得， 解得x=4. 拓展培优 8.观察下列两个等式：，.给出定义如下：我们称使等式a-b=2ab-1成立的一对有理数a，b为“同心有理数对”，记为（a，b）.如：数对，都是“同心有理数对”. 根据上述材料，解答下列问题： （1）数对，中，是“同心有理数对”的是_________； （2）若是“同心有理数对”，求a的值； （3）若是“同心有理数对”，则是否为“同心有理数对”？请说明理由. 8.【解】（1）因为-2-1=-3，，， 所以数对不是“同心有理数对”. 因为，， 所以， 所以是“同心有理数对”， 故答案为. （2）因为是“同心有理数对”， 所以a-3=6a-1. 等式两边同时减去a，得a-3-a=6a-a-1. 整理得-3=5a-1. 等式两边同时加上1，得-3+1=5a-1+1. 整理得-2=5a. 等式两边同时除以5，得. （3）是“同心有理数对”.理由如下： 因为是“同心有理数对”， 所以m-n=2mn-1， 而， 所以（-n，-m）是“同心有理数对”. 学科网（北京）股份有限公司 $$