专题2.2 直线与圆的位置关系（七个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题2.2 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 五、切线长问题 二、圆的弦长问题 六、数形结合求圆的范围最值 三、圆内接三角形的面积 七、韦达定理的应用 四、过点求切线方程 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2圆的弦长 圆的弦长与弦心距的关系:; 常需结合点到直线的距离公式. 知识点3圆的切线与切点弦方程 过圆上一点的切线方程为:. 重难点一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 2．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 4．已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 6．点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 重难点二 圆的弦长问题 7．（多选）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 8．圆 被直线截得的弦长等于 . 9．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为 . 10．已知直线与圆交于两点，写出满足“”的实数的一个值： . 11．过坐标原点的直线l与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1，则l的斜率为 ． 12．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 求弦长的常用方法是几何法：由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 重难点三 圆内接三角形的面积 13．已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 14．已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 15．已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 16．已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 重难点四 过点求切线方程 17．（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 18．已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 19．已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 20．已知圆经过三点. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 21．已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 22．过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 求切线方程的常用方法 （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 ①几何法：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出． ②代数法：设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由，求得k，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 重难点五 切线长问题 23．圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 24．已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 25．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 26．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 27．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．从点向圆作切线，则切线长为 ． 圆外一点到圆的切线长: 重难点六 数形结合求圆的范围最值 29．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 30．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 31．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 32．已知实数满足，则的最大值为 . 33．已知实数x，y满足，则的最大值和最小值分别为 和 ． 34．已知点在圆上运动，则的最小值是 . （1）形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; （2）形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; （3）形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （4）形如形式的最值问题,可转化为直线到圆的距离问题; 重难点七 韦达定理的应用 35．已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 36．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 37．已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 38．已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 39．已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 40．在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 41．已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 一、单选题 1．圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 2．在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 5．已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．对于直线与圆，下列说法不正确的是（  ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 8．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 三、填空题 9．已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 10．已知点在圆上，点，当最小时， . 11．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 四、解答题 12．在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 13．已知圆的圆心在坐标原点，且过点． (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． (3)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 14．已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 15．已知圆，一条斜率等于1的直线L与圆C交于A，B两点 (1)求弦AB最长时直线L的方程 (2)求面积最大时直线L的方程 (3)若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 直线与圆的位置关系 一、直线与圆的位置关系 五、切线长问题 二、圆的弦长问题 六、数形结合求圆的范围最值 三、圆内接三角形的面积 七、韦达定理的应用 四、过点求切线方程 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2圆的弦长 圆的弦长与弦心距的关系:; 常需结合点到直线的距离公式. 知识点3圆的切线与切点弦方程 过圆上一点的切线方程为:. 重难点一 直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：D 2．在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 直线过圆内定点，斜率可正可负可为0， ABD选项都有可能，C选项不可能. 故选：C. 3．已知圆，则直线与圆C（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】可化为， 即该圆圆心为，半径为， 由可得该直线过定点， 有，即该定点必在圆内， 故两者位置关系为相交. 故选：A. 4．已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的    （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径为， 由直线与圆相切，得，而，解得， 所以“”是“直线l与圆C相切”的充要条件. 故选：C 5．若直线与圆有交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径， 所以，即. 故选：A. 6．点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 判断直线与圆位置关系的两种方法： （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 重难点二 圆的弦长问题 7．（多选）已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 8．圆 被直线截得的弦长等于 . 【答案】 【详解】圆的圆心，半径， 则点到直线的距离， 所以所求弦长为. 故答案为： 9．已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度最小值为 . 【答案】 【详解】由题意得直线过定点， 圆圆心为，半径为， 连接，当直线与垂直时弦长最小， 此时， 所以AB长度最小值为. 故答案为：. 10．已知直线与圆交于两点，写出满足“”的实数的一个值： . 【答案】或（写出其中一个即可） 【详解】圆心为，到直线的距离为， 又，圆半径为2，则，解得， 故答案为：或． 11．过坐标原点的直线l与圆相交，且将该圆分成的两段弧长之比为2∶1，则l的斜率为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：圆心坐标为，半径为2，因为将该圆分成的两段弧长之比为， 则两段弧所对的圆心角分别为和， 由几何性质可知：圆心到的距离为， 设的方程为，则，解得． 故答案为：. 12．已知关于的方程：． (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由圆的一般方程性质可知： 解得， 所以当时，方程表示圆. （2）由，得， 所以该圆圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 根据弦长公式可知： 解得. 求弦长的常用方法是几何法：由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 重难点三 圆内接三角形的面积 13．已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 . 【答案】（任意一个也对） 【详解】的圆心为，半径为， 则圆心到的距离为， 则， 故，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得， 故或 故答案为：（任意一个也对） 14．已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以. 15．已知圆． (1)过点作圆的切线，求切线的斜率 (2)直线与圆交于两点，是上的动点，求三角形面积的最大值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）显然当切线的斜率不存在时，此时直线方程为，圆心到该直线的距离为7，不等于半径，则此时不相切， 则切线的斜率存在，设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得； （2）圆心到直线的距离， ， ∴三角形面积的最大值为：． 16．已知直线l：与圆C：相切. (1)求实数a的值及圆C的标准方程； (2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. （2）设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 重难点四 过点求切线方程 17．（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 18．已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 19．已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 20．已知圆经过三点. (1)求圆的方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设圆C的方程为， 则有，得， 即圆C的方程为. （2）由（1）知圆心，半径. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由圆心到直线的距离等于半径，得，解得， 则直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意， 从而所求直线的方程为或. 21．已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）圆：的圆心，半径 由点在圆内，得，解得， 所以的取值范围为. （2）显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2， 则直线是过点的圆的切线； 当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为， 由，解得，切线方程为，即， 所以圆的切线方程为或. 22．过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心为，则， 依题意，所以， 又，所以直线的倾斜角为3．. 故选：A 求切线方程的常用方法 （1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法 先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或. （2）求过圆外一点的圆的切线方程的方法 ①几何法：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得k，切线方程即可求出． ②代数法：设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由，求得k，切线方程即可求出． 注意：过圆外一点的切线必有两条，当几何法或代数法求得的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出． 重难点五 切线长问题 23．圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，. 故选：B. 24．已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 25．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为A，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离， 因为，且， 当最小时，则最大，可得最大，即最大， 又因为的最小值即为圆心到直线的距离为， 此时，所以取得最大值． 故选：C． 26．已知 过坐标原点O作的两条切线，切点为A、B，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 由题意得⊙C圆心为，半径，， 则， 则四边形的面积. 故选：B. 27．过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆的圆心为，则， ，令，，， 则，其中， 所以的最大值为. 故选：D. 28．从点向圆作切线，则切线长为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：. 圆外一点到圆的切线长: 重难点六 数形结合求圆的范围最值 29．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意：，即. 设，则，代入，得. 因为关于的一元二次方程一定有解， 所以. 故选：A. 30．已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A．＋2，－2 B．＋2， C．，－2 D．， 【答案】C 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：    又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 31．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆，由此分析选项： 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B正确； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，设，作出图象为正方形，作出圆，如图， 由图象可知，正方形与圆有公共点A时，有最小值， 即的最小值为，故D正确； 故选：ABD 32．已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 33．已知实数x，y满足，则的最大值和最小值分别为 和 ． 【答案】 ； 【详解】由题意，得表示过点和圆上的动点连线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值． 设切线方程为，则， 故，解得， 所以，． 故答案为：；. 34．已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. （1）形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; （2）形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; （3）形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. （4）形如形式的最值问题,可转化为直线到圆的距离问题; 重难点七 韦达定理的应用 35．已知直线与圆，设O为坐标原点，若直线l与圆C交于两点，且直线的斜率分别为，，则= ． 【答案】 【详解】由直线得， 令，解得， 直线l恒过定点. 圆的圆心为，半径为，直线过点， 直线l与圆C交于M，N两点，则直线l的斜率存在， 设直线l方程为， 联立，得， 设，，则，， 是定值，定值为 故答案为： 36．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 37．已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【详解】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 38．已知圆C：，直线l：. (1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程； (2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在， 而在圆C：内， ∴直线l与圆C总有两个不同的交点； 圆C：的圆心为， 所以M与P不重合时，连接CM，CP，则， ∴. 设，则， 化简得：； （2）设，， 由，得， ∴，化简得，① 又由，消去y得. ∴，② 由①②解得，代入（*）解得. ∴直线l的方程为或. 39．已知圆：，为圆心，动直线过点，且与圆交于，两点，记弦的中点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过作两条斜率分别为，的直线，交曲线于，两点，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为是弦的中点， 所以，即， 所以点的轨迹为以为直径的圆，所以曲线的方程为. （2）当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 代入，得. 设，，则，是方程的两解， 则，，， 根据根与系数的关系，得， 即. 若，则直线过点，舍去； 所以，即， 直线的方程为，故直线过定点. 当直线斜率不存在时，设直线：， 与曲线的方程联立，可得，，则，解得， 故直线的方程为，恒过点. 综上，直线过定点. 40．在平面直角坐标系中，已知点，，是平面内的一动点，且满足，记点的运动轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，若的面积是的面积的3倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，因为， 所以， 化简得， 故曲线的方程为； （2）若直线垂直于轴，则，，，四点共线，不能构成三角形；    故可设直线的方程为， 代入曲线的方程可得， ， 则，， 又，, ，故， 因为，故， 则， 故， 则有， 可得，故， 则直线方程为. 41．已知圆C：． (1)若圆C与y轴相切，求圆C的方程； (2)若，圆C与x轴相交于M，N两点，且M的横坐标小于N的横坐标．过点M作一条直线与圆O：相交于两点A，B，若，求a的值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由得， 因为圆与轴相切，所以，解得或4， 故所求圆C的方程为或． （2）令得， 解得或，而，即，． 设，， 当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为， 由得， ，， 又，即NA，NB的斜率互为相反数， ， 即， 整理得 所以，即，解得． 当直线AB与x轴垂直时，仍然满足， 即NA，NB的斜率互为相反数． 综上所述，． 一、单选题 1．圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 2．在平面直角坐标系 中， 以点 为圆心且与直线 相切的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆心到直线 的距离， 即所求圆的半径为，所以所求圆的标准方程为. 故选：B. 3．已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程化为， 表示的图形是一个以为圆心，为半径的半圆， 令，即，如图所示， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离， 解得或（负值不满足条件，舍去）， 所以的最大值为， 故选：C. 4．已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 5．已知动点与两个定点的距离之比为2，那么直线的斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动点，则， 化简得， 所以点的轨迹为圆， 如图，过点作圆的切线，连接，则，， 所以，同理， 则直线的斜率范围为. 故选：C.    6．已知圆，直线.则直线被圆截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线， 令，解得，所以直线恒过定点， 圆的圆心为，半径为， 且，即在圆内， 当时，圆心到直线的距离最大为， 此时，直线被圆截得的弦长最小，最小值为. 故选：A. 二、多选题 7．对于直线与圆，下列说法不正确的是（  ） A．过定点 B．的半径为9 C．与可能相切 D．被截得的弦长最小值为 【答案】BC 【详解】可变形为， 由，得，所以直线过定点，故A正确； 圆的标准方程为，半径为3，故B不正确； 由，所以点在圆的内部， 所以与相交，不会相切，故C不正确； 当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小. 因为点和圆心连线的斜率为，所以，解得， 此时的方程为，因为圆心到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：BC. 8．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为2， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，即，故选项B正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以，，， 线段，故选项C不正确； 对于选项D：， 故，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题 9．已知圆，则圆心到直线的最大距离为 . 【答案】 【详解】因为直线，即，令，解得， 所以直线经过的定点为，当圆心与定点的连线与直线垂直时， 距离最大为. 故答案为： 10．已知点在圆上，点，当最小时， . 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为4， 如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接， 则，，而， 由勾股定理得， 所以当最小时，. 故答案为：. 11．已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 四、解答题 12．在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相切，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，则， 半径， 所以圆的方程为； （2）由直线，即， 又直线与圆相切，可得，解得. 13．已知圆的圆心在坐标原点，且过点． (1)求圆的方程； (2)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程． (3)已知点是圆上的动点，试求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）因为直线的斜率，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即； （3）圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离， 所以到直线的距离的最大值为. 14．已知平面直角坐标系内两定点，满足的点形成的曲线记为. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线相交与两点，当的面积最大时，求直线的方程（为坐标原点） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题设知，两边化简得， 所以点的轨迹的方程为 （2）由题意知直线的斜率一定存在，设，即， 因为原点到直线的距离，， 所以，当且仅当时，取得等号， 又当时，由，得到，解得， 所以直线的方程为．    15．已知圆，一条斜率等于1的直线L与圆C交于A，B两点 (1)求弦AB最长时直线L的方程 (2)求面积最大时直线L的方程 (3)若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线L在y轴上的截距范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由圆可知其标准方程为； 所以其圆心为，半径为3， 因此当L过圆心时弦长AB最大，此时L的方程为，也即； （2）的面积， 当时，的面积最大，此时为等腰直角三角形 设L方程为，则圆心到直线距离为， 从而有，解得或； 则L方程为或； （3）设L方程为， 联立整理可得， 设则A，B两点的横坐标为方程的解， ，可得 AB的中点坐标为，， 由题意知，即， 解得. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$