第2章轴对称图形拓展培优2-8个模型总结+4种特殊图形的辅助线的构造2024-2025学年苏科版数学八年级上册

苏科版八年级上册 第2章 轴对称图形 轴对称图形拓展培优（二）--8个模型总结+4种特殊图形的构造 （适用于期中复习） 目录 一． 奔驰模型 1 二． 费马点模型 4 三． 角平分线+对角互补模型 10 四． 将军饮马模型 15 五． 维维亚尼模型 38 六． 直角三角形共斜边模型 45 七． 共顶点手拉手模型 47 八． 脚拉脚模型 56 九． 角平分线+垂直构造等腰三角形 56 十． 平行于底或腰构造等腰三角形 62 十一． 角平分线+平行构造等腰三角形 65 十二． 2倍角构造 67 1． 奔驰模型 （一）模型讲解 已知条件：△ABC是等边三角形，D是三角形内任意一点，连接DA、DB、DC。 分析思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACD’，连接DD’ 证明：△ADD’是等边三角形。 （二）巩固练习 1．如图，在等边△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA＝1，PB＝2，∠APB＝150°，则PC＝　　． 【分析】由旋转的性质可得PA＝AP'＝1，PB＝P'C＝2，∠APB＝∠AP'C＝150°，可证△APP'等边正三角形，可得PP'＝AP＝1，∠AP'P＝60°，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP'，连接PP'， ∴△AP'C≌△APB，∠PAP'＝60°， ∴PA＝AP'＝1，PB＝P'C＝2，∠APB＝∠AP'C＝150°， ∴△APP'等边正三角形， ∴PP'＝AP＝1，∠AP'P＝60°， ∴∠PP'C＝90°， ∴PC＝＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质，勾股定理，利用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE＝2，连接BE，则BE的长为 　　． 【分析】如图，作EF⊥AE，且EF＝DE，连接AF、DF；然后根据三角形全等的判定方法，判断出△ADF≌△BDE，所以BE＝AF；最后在直角三角形AEF中，根据勾股定理，求出AF的长度，即可求出BE的长为多少． 【解答】解：如图， 作EF⊥AE，且EF＝DE，连接AF、DF， 因为∠AEF＝90°， 所以∠DEF＝90﹣30＝60°，DE＝EF， 所以△DEF是等边三角形， 所以∠EDF＝60°，∠ADF＝∠BDE， 因为AD＝BD，DE＝EF，∠ADF＝∠BDE， 所以△BDE≌△ADF， 而AE＝3，DE＝2， 所以BE＝AF＝＝． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判断方法和性质，以及等边三角形的特征、勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：△BDE≌△ADF，进而判断出BE的长等于AF的长． 3．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 【分析】根据全等三角形的判定和性质解决问题即可． 【解答】解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形． ∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60° ∵△ABC是等边三角形 ∴AC＝AB，∠BAC＝60°， ∴∠BAP＝∠CAD， ∴△ABP≌△ACD（SAS） ∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC ∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2 ∴∠PDC＝90° ∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150° 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键，属于中考常考题型． 2． 费马点模型 （一）模型讲解 1.概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点. 2.结论： 1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点； 2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个三角形钝角的顶点. （注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°） 3. 分析思路：运用旋转的方法，将∆ABC中任意一个三角形（∆DAB,∆DAC,∆DBC）向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度.上图将∆DAC绕点C顺时针旋转60°，得到∆D’A’C，连接DD’，BA’ 4. 证明：DA+DB+DC=A’D’+DD’+BD≥BA’，所以当B、D、D’、A’四点共线时，DA+DB+DC最小，此时，∠CDD’=∠CD’D=60°，所以∠BDC=∠A’D’C=∠ADC=120°，所以∠BDC=120° 备注：具体旋转哪个三角形根据题目中给出的条件进行判定。 （二）巩固练习 4．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为　7+2　． 【分析】根据相似三角形的判定和性质，即可求解． 【解答】解： 如图： ∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°， ∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠3， ∴△BPC∽△APB ∴＝， 即PB2＝12 ∴PB＝2． ∴PA+PB+PC＝7+2 故答案为：7+2． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质． 5．在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　4　． 【分析】如图，延长BP交AC于D，先说明△ABD是等腰直角三角形，△ADP是30°的直角三角形，可得PD和AD的长，根据费马点的定义可得∠APC＝120°，从而可知△PDC也是30°的直角三角形，可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论． 【解答】解：如图，延长BP交AC于D， ∵∠BAC＝∠PBA＝45°， ∴∠ADB＝90°，AD＝BD， ∵P为△ABC的费马点， ∴∠APB＝∠CPA＝120°， ∴∠BAP＝180°﹣120°﹣45°＝15°， ∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°， ∴∠APD＝60°， Rt△PAD中，∵PA＝4， ∴PD＝2，AD＝2， ∵∠APC＝120°， ∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°， Rt△PDC中，∠PCD＝30°， ∴CD＝2， ∴AC＝AD+CD＝2+2＝4， ∴△PAC的面积为＝＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了费马点的定义，三角形的面积，等腰直角三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线构建等腰直角三角形是本题的关键． 6．如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时， ①∠BDC＝　60°　； ②AD的最小值是 　5　． 【分析】以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE，判定△ABD≌△CBE，即可得出CE＝AD，再根据C，D，E三点共线时，CE有最小值，即可得到AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°． 【解答】解：如图所示，以BD为边向外作等边三角形BDE，连接CE， ∵△BDE，△ABC均为等边三角形， ∴BE＝BD，AB＝BC，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴CE＝AD， ∵BE＝BD＝DE＝8，CD＝3， ∴当C，D，E三点共线时，CE有最小值， ∴CE＝DE﹣CD＝8﹣3＝5， ∴AD的最小值为5，此时∠BDC＝60°． 故答案为：①60°；②5． 【点评】本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是以BD为边向外作等边三角形BDE，依据全等三角形的性质得出结论． 7．【阅读理解】 （1）如图1，等边△ABC内有一点P，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 将△ABP绕顶点A旋转至△ACP'处，得△ACP'≌△ABP，可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，BE＝3，FC＝2，求EF的长． 【能力提升】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是 　　． 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答； （2）根据旋转的性质可以得到边相等角相等，再利用相等的边证明三角形全等，最后进行等边转化，进而求出EF的长； （3）根据旋转的性质可以得到等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出当四点共线的时候PA+PB+PC的值最大，最后根据勾股定理即可得到PA+PB+PC值． 【解答】解：（1）∵由旋转的性质可知△ACP'≌△ABP， ∴AP'＝AP＝3，CP'＝BP＝4，∠AP'C＝∠APB， ∴∠PAP'＝60°， ∴△APP'为等边三角形，PP'＝AP＝3，∠AP'P＝60°， ∴， ∴△PP'C是直角三角形， ∴∠APB＝∠AP'C＝∠AP'P+∠PP'C＝60°+90°＝150°； （2）如图2所示，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE'， 由旋转的性质可知AE'＝AE，CE'＝BE，∠CAE'＝∠BAE，∠ACE'＝∠B，∠EAE'＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E'AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E'AF， ∴在△EAF和△E'AF中， ∴， ∴△EAF≌△E'AF（SAS）， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E'CF＝∠ACF+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴由勾股定理：FC2+CE'2＝E'F2， ∴FC2+CE'2＝E'F2， ∵BE＝3，CF＝2， ∴； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴， ∵△APB绕B点瞬时针方向旋转60°， ∴△A'P'B如图3所示， ∴∠A'BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'P'B， ∴A'B＝AB＝2，BP＝BP'，A'P'＝AP， ∴△BPP'是等边三角形， ∴BP＝PP'，∠BPP'＝∠BP'P＝60°， ∵∠APC＝∠CPB＝∠BPA＝120°， ∴∠CPB+∠BPP′＝∠BP′A'+∠BP′P＝120+60＝180°， ∴当C、P、A'、P'四点共线，PA+PB+PC的值最小， 在Rt△A'BC中，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，利用旋转构造全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 3． 角平分线+对角互补模型 （一）模型讲解 已知在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求证BD=CD 方法一：利用角平分线的性质 辅助线：过D向AB和AC作垂线，垂足分别为G、H 证明：△DGB≌△DHC(AAS)，得BD=CD 方法二：构造等腰三角形 辅助线：在AC的延长线上取点G，使AD=DG 证明：△ABD≌△GCD(AAS)，得BD=CD （二）巩固练习 8．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，AC＝4，CD＝3，则AB﹣AD＝　2　． 【分析】利用“截长补短”中的补短，补出邻补角即可出现相等角度，求出△DEC≌△BFC和△EAC≌△FAC，推出DE＝BF，AE＝AF，求出AB﹣AD＝2DE，求出DE即可． 【解答】解： 过C作CE⊥AD于E，CF⊥BA于F，则∠E＝∠CFB＝90°， ∵AC平分∠DAB， ∴CE＝CF， ∵∠B与∠D互补， ∴∠B+∠ADC＝180°， ∵∠ADC+∠EDC＝180°， ∴∠B＝∠EDC， 在△DEC和△BFC中 ∴△DEC≌△BFC， ∴DE＝BF， ∵AC平分∠DAB， ∴∠EAC＝∠FAC＝＝， 在△EAC和△FAC中 ∴△EAC≌△FAC， ∴AE＝AF， ∴AB﹣AD＝（AF+BF）﹣（AE﹣DE）＝（AE+DE）﹣（AE﹣DE）＝2DE， ∵在Rt△AEC中，∠E＝90°，∠EAC＝30°，AC＝4， ∴CE＝AC＝2， 在Rt△DEC中，∠E＝90°，DC＝3，CE＝2，由勾股定理得：DE＝＝＝， ∴AB﹣AD＝2DE＝2， 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能正确运用定理推出△DEC≌△BFC和△EAC≌△FAC是解此题的关键． 9. 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 【分析】（1）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，证明△BCE≌△DCF，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点C作CF⊥AD，根据角平分线的性质得到CE＝CF，AE＝AF，证明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，结合图形解答即可； （3）在BD上截取BH＝BG，连接OH，证明△OBH≌△OBG，根据全等三角形的性质得到∠OHB＝∠OGB，根据角平分线的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，证明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，计算即可． 【解答】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， ∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°， ∴∠CBE＝∠CDF， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS） ∴BC＝DC； （2）解：AD﹣AB＝2BE， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， ∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE＝CF， 在Rt△ACF和Rt△ACE中， ， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL）， ∴AE＝AF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°， ∴∠CDF＝∠CBE， 在△BCE和△DCF中， ， ∴△BCE≌△DCF（AAS）， ∴DF＝BE， ∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE， ∴AD﹣AB＝2BE； （3）解：如图3，在BD上截取BH＝BG，连接OH， ∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB 在△OBH和△OBG中， ， ∴△OBH≌△OBG（SAS） ∴∠OHB＝∠OGB， ∵AO是∠MAN的平分线，BO是∠ABD的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等， ∴∠ODH＝∠ODF， ∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB， ∴∠DOH＝∠DAB＝60°， ∴∠GOH＝120°， ∴∠BOG＝∠BOH＝60°， ∴∠DOF＝∠BOG＝60°， ∴∠DOH＝∠DOF， 在△ODH和△ODF中， ， ∴△ODH≌△ODF（ASA）， ∴DH＝DF， ∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+4＝6． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4． 将军饮马模型 （一）模型讲解 1.模型背景 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它。从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今。 2.考点 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考中经常出现。 3.解题思路 ①轴对称的性质 ②垂线段最短 ③两点之间线段最短：三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 4.模型分类 类型一：2定1动型 类型二：1定2动型或2定2动 类型三：2定点+1定长 （二）巩固练习 10.如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵为的平分线， ∴，， 作点N关于的对称点，连接交于P，连接， 根据轴对称可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 即的最小值为， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 11．如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，交于点F，连接，根据等边三角形的性质得出是的垂直平分线，证明，得出，说明当B，，三点共线时，最小，的最小值，得出当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长，求出最小值即可． 【详解】解：连接，交于点F，连接，如图所示： ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵当B，，三点共线时，最小，的最小值， ∴当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 即的最小值为9， 故选：B． 12.如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、轴对称图形的性质；通过轴对称图形的性质转化线段和角是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；易得，，；进而构造出等边，然后根据三角形的三边关系可得；求出的长即可 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接并延长交于点，连接、；    由轴对称图形的性质可知：，， ∴ 即：当三点共线时， ∵ 为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 即：的最大值为 故选：A． 13．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 14．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，综合性强．作点B关于的对称点H，连接．可以得到，，即可得到当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时，进而得到．求出，根据和关于对称，求出，进而求出，，根据即可求出． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，， 此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵当的最大值是时， ∴． ∵，， ∴， 由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90 15．如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则 ． 【答案】12 【分析】如图1中，过点P作PH⊥BC于点H．求出PH＝2，推出点P在BC的中垂线上运动，由翻折变换的性质可知，BP＝BP′，推出|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4，推出当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中，设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4，求出PM，即可解决问题． 【详解】解：如图1中，过点P作PH⊥BC于点H． ∵AB＝CB＝4，∠ACB＝90°， ∴ABBC＝4， ∵S△BCP＝4， ∴4×PH＝4， ∴PH＝2， ∴点P在BC的中垂线上运动， 由翻折变换的性质可知，BP＝BP′， ∴|AP′﹣PB|＝|AP′﹣BP′|≥AB＝4， ∴当A，B，P′共线时，|AP′﹣PB|的值最小，如图2中， 设BC的中垂线交AC于点M，交AB于点N．则NM＝AM＝MC＝2，PN＝PP′＝4， ∴PM＝4+2＝6， ∴S△ACP′AC×PM4×6＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找点P的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 16.如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，则，从而可得，先根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，再根据轴对称的性质可得点在边上，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，最后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， ∵平分， ∴点在边上， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 则此时，即， 解得， 即的最小值是， 故选：C． 17．如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 18．如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作于点，由，求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ，，， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键． 19.如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当点A、P、F三点共线时，周长最小，最小值为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点P， ∵， ∴， 当点A、P、F三点共线时，周长最小， ∵F为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴周长的最小值为10， 故选：B．    20．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 21．如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题．熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，是解本题的关键． 根据等边三角形的对称性，作点E关于中线的对称点，连接交于点F，连接，结合是边的中点，得到，，得到，最小， 的周长取得最小值，结合，得到，即得． 【详解】∵为等边三角形， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 在上取点E关于的对称点，连接交于点F，连接（如图）， 则， 由对称性知，， ∴， ∴，最小，此时， 的周长取得最小值， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 22.在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称－最短路线问题、等边三角形的判定和性质．作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，分别交、于、，得到的周长的最小值为，再证得为边长为4的等边三角形即可得出答案． 【详解】解：作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接， 分别交、于、，如图： ∴，， ∴的周长的最小值为， 由轴对称的性质得：，， ，， ，， ，， 为边长为4的等边三角形， ， 的周长的最小值为4． 故选：A． 23．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，由对称的性质得出，证出是等边三角形可得即可解答． 【详解】解：分别作点P关于的对称点D、C，连接，分别交于点M、N，连接，如图所示：      ∵点P关于的对称点为D，关于的对称点为C， ∴；， ∴， ∵的最小值是， ∴，即， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴． 故选A． 24．如图，在锐角中，，，的面积为5，P为内部一点，分别作点P关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为 ．    【答案】5 【分析】首先由的面积为5，，求出，然后由和对称构造正三角形，将转化成，将提取系数2，最终转化成垂线段最短． 【详解】解：设与交于点，则，连接、、、，作，垂足为，   ，的面积为5， ∴，即 ， 根据对称性得，，， ， 是正三角形， ， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将转化成，将提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆． 25．已知的大小，是内部的一个定点．    （1）如图1，是上一点，，点到，的距离相等，当时，的长为 ． （2）如图2．若，，分别是，上的动点，若周长的最小值等于5，则 °． 【答案】 2 30 【分析】题目主要考查角平分线的性质及平行线的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据角平分线的性质得出平分，再由平行线的性质及等量代换即可得出结果； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，．根据轴对称的性质及等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，结合图形即可得出结果． 【详解】解：（1）∵点到，的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点， 连接，，，，，．    ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，，． 同理，可得，，， ∴，， ∴． 又∵的周长，. ∴当点，，在同一直线上时，的周长最小，最小值为的长， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故答案为30． 26.如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 27．如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（     ）. A．2 B． C．20 D．2 【答案】A 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【详解】解： 作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°， ∴在Rt△M′ON′中， M′N′＝． 故选A． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键. 28．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，OC＝2，点P、点D在射线OB上，且OD＝3，则CP+PM+DM的最小值是 ． 【答案】． 【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′，根据轴对称的性质得到OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝3，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°，于是得到CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′，当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′，作C′T⊥D′O于点T，于是得到结论． 【详解】解：如图，作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接OC′，PC′，D′M，OD′，C′D′， 则OC′＝OC＝2，OD′＝OD＝3，CP＝C′P，DM＝D′M，∠C′OD＝′COD＝∠COD′＝45°， ∴CP+PM+MD＝C′+PM+D′M≥C′D′， 当仅当C′，P，M，D′三点共线时，CP+PM+MD最小为C′D′， 作C′T⊥D′O于点T， 则C′T＝OT＝， ∴D′T＝4， ∴C′D′＝， ∴CP+PM+DM的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路径问题，掌握作轴对称点是解题的关键. 5． 维维亚尼模型 （一）等边三角形 1.等边三角形内一点到三边得距离之和等于任意顶点到底边的距离。 分析思路：连接AD、BD、CD，利用等面积法证明。 证明：略。 2.等边三角形外一点到三边得距离与任意顶点到底边的距离的关系也可以用等面积法证明。例如上图中，DE+DG-DF=CH （二）等腰三角形 1.等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 辅助线思路：连接AD，利用等面积法证明。 证明：略 2.等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。 辅助线思路：连接AD，利用等面积法证明。 证明：略 29．【问题情境】 如图1：在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点B作BG⊥AC，垂足为G． 求证：PD+PE＝BG． 【变化一下】 当点P在BC延长线上时，请画图探究PD、PE、BG三者之间的数量关系并给出证明： （2）如图2，△ABC满足AB＝AC＝BC，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，请直接写出PD、PE、PF和BG之间的关系． 【深入探究】 如图3，在△ABC中，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，过点A、B、C分别作AI⊥BC，BG⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为I、G、H，记CH、BG、AI分别为h1、h2、h3，请直接写出PD、PE、PF和h1、h2、h3之间的关系． 【分析】【问题情境】如图1中，连接PA．根据S△ABC＝S△PAB+S△PAC证明即可； 【变化一下】，①如图1﹣1中，结论：BG＝PD﹣PE．理由面积法证明即可解决问题； ②如图2中，结论：PD+PE+PF＝BG．证明方法类似； 【深入探究】，如图3中，结论：++＝1．理由面积法证明即可； 【解答】【问题情境】证明：如图1中，连接PA． ∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC， ∴×AC×BG＝×AB×PD+×AC×PE， ∵AB＝AC， ∴BG＝PD+PE． 【变化一下】，①如图1﹣1中，结论：BG＝PD﹣PE． 理由：连接PA． ∵S△ABC＝S△PAB﹣S△PAC， ∴×AC×BG＝×AB×PD﹣×AC×PE， ∵AB＝AC， ∴BG＝PD﹣PE． ②如图2中，结论：PD+PE+PF＝BG． 理由：连接PA、PB、PC． ∵S△ABC＝S△PAB+S△PAC+S△PBC ∴×AC×BG＝×AB×PD+×AC×PE+•BC•PF ∵AB＝AC＝BC， ∴BG＝PD+PE+PF． 【深入探究】，如图3中，结论：++＝1． 理由：连接PA、PB、PC． 设△ABC的面积为S． ∵S＝•AB•h1＝•AC•h2＝BC•h3， ∴AB＝，AC＝，BC＝， ∵S＝S△PAB+S△PAC+S△PBC ＝•AB•PD+•AC•PE+•BC•PF ＝••PD+•PE+••PF， ∴++＝1． 【点评】本题主要考查三角形的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、等边三角形的性质等知识，也考查了用面积法证明几何问题，运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题． 30．【数学阅读】 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF． 小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF． 【推广延伸】 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明． 【解决问题】 如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数y1＝﹣x+3，和y2：y＝3x+3的图象，l1，l2与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为　（0，3）　； （2）说明△ABC是等腰三角形； （3）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 【分析】【数学阅读】连接AP，由S△ABP＝AB•PD，S△ACP＝AC•PE，S△ABC＝AB•CF且S△ABP+S△ACP＝S△ABC知AB•PD+AC•PE＝AB•CF，结合AB＝AC即可得证； 【推广延伸】连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论； 【解决问题】（1）联立方程组，解之可得交点C的坐标； （2）先求出点A，B坐标，利用勾股定理可求得AC，AB的长即可得证； （3）分M在线段AB上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标． 【解答】解：【数学阅读】如图②，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABP＝AB•PD，S△ACP＝AC•PE，S△ABC＝AB•CF， ∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PD+AC•PE＝AB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD+PE＝CF； 【推广延伸】 猜想：PD﹣PE＝CF， 证明：如图③，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， ∴S△ABP＝AB•PD，S△ACP＝AC•PE，S△ABC＝AB•CF， ∵S△ABP﹣S△ACP＝S△ABC， ∴AB•PD﹣AC•PE＝AB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD﹣PE＝CF； 【解决问题】 （1）由题意得， 解得， 则两条直线的交点C的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）l1：y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝4， ∴A（4，0）． l2：y＝3x+3，令y＝0，则x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∴AB＝5， 在Rt△AOC中，∠AOC＝90°， ∴AC2＝AO2+CO2， ∴AC＝5， ∴AB＝AC＝5， ∴△ABC是等腰三角形． （3）当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AC，垂足分别为P、Q， ∵l2上的一点M到l1的距离是1， ∴MQ＝1， 由图②的结论得：MP+MQ＝3， ∴MP＝2， ∴M点的纵坐标为2， 又∵M在直线y＝3x+3， ∴当y＝2时，x＝﹣， ∴M坐标为（﹣，2）； 同理，由前面结论可知当M点在线段AC外时，有|MP﹣MQ|＝OC， 可求得MP＝4，即M点的纵坐标为4， 分别代入y＝3x+3，可求得x＝， ∴M点的坐标为（，4）； 综上可知M点的坐标为（﹣，2）或（，4）． 【点评】本题是一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题． 6． 直角三角形共斜边模型 1. 异侧型 结论：GA=GE=GD=GF=EF(A、E、D、F四点共圆) ∠AGD=2∠AED 2.同侧型 结论：GA=GE=GD=GF=EF(A、E、D、F四点共圆) ∠AGD=2∠AED 31．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为（　　）度． A．29 B．32 C．45 D．64 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到∠DEB＝116°，根据直角三角形的性质得到DE＝BE＝AC，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴点A，B，C，D在以E为圆心，AC为直径的同一个圆上， ∵∠BAD＝58°， ∴∠DEB＝116°， ∵DE＝BE＝AC， ∴∠EBD＝∠EDB＝32°， 故选：B． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出A，B，C，D四点共圆是解题的关键． 32．如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    【答案】(1)的周长为14；(2)． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，平角定义等． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；（2）根据平角等于，求得，根据直角三角形斜边上的中线求得，根据等腰三角形两底角相等求出，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，M为的中点，∴，， ∴的周长； （2）解：∵是等边三角形，∴， ∴，由（1）得， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，∴． 7． 共顶点手拉手模型 1．等边三角形共顶点 等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线，连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH 结论： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）∠AFB＝∠DFE＝60°； （4）FC平分∠BFE； （5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （6）△CGH为等边三角形． 证明思路： （1）由已知条件可得，则△BCD≌△ACE（SAS）． （2）由（1）得AE＝BD； （3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°． （4）如下图，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N． 由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE． （5）截长补短法，过程略。 （6）易证△ACH≌△BCG（ASA） 可得CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形． 2．等腰直角三角形共顶点 等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE。 （1）△BCD ≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）AE⊥BD； （4）FC平分∠BFE； （5） （6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （7）如图，若F为BE中点，则FG⊥AD,反之，若FG⊥AD，则F为BE中点（婆罗摩笈多模型） （8）S△ACD＝S△BCE 证明思路： （1） （2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”； (5) （6）如下图，过点C作CK⊥FC，交BD于点K，则△CFK为等腰直角三角形． 易证△BCK≌△ACF，所以BK＝AF．从而BF＝BK＋KF＝AF＋FC， 同理可得EF＝DF＋FC． （7） a.已知F为BE中点，则FG⊥AD，倍长CF，连接BH，先证明△CEF≌HBF，再证△ACD≌CBH b.已知FG⊥AD，则F为BE中点,构造两个一线三垂直，证明略。 （8）在（7）中的证明过程中可得到S△ACD＝S△BCE；也可以用下面的方法来证明 如下图，过点D作DP⊥AC于点P，过点E作EQ⊥BC，交BC延长线于点Q． 易证△DPC≌△EQC（AAS）．所以DP＝EQ，故DP·AC＝ EQ·BC，即S△ACD＝S△BCE 3.等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F 结论：（1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）∠AFB＝∠ACB； （4）FC平分∠BFE． 33．（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，分别连接BD，CE，求证：BD＝CE； （2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若AE＝7，BE＝2，请直接写出CM的长，不说明理由． 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△BAD≌△CAE（SAS），利用全等的性质可得BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，又因为△ABC是等腰直角三角形，可得∠ABC＝∠ACB＝∠ACE＝45°，从而可知∠BCE＝90°，即BD⊥CE． （3）由△DCE是等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得△ACD≌△BCE，从而得AD＝BE，即可求出CM的长． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）解：BD与CE的数量关系BD＝CE，位置关系是BD⊥CE．理由如下： ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝∠CAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC， ∵△ABC是等腰三角形且∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴BD⊥CE． （3）解：由（1）的方法得，△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∵CD＝CE，CM⊥DE， ∴DM＝ME， ∵∠DCE＝90°， ∴DM＝ME＝CM， ∴． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． 34．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点 E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF． （1）如图1，点D在线段BC上，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）； （2）如果∠α＝60°， ①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，补全图形，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系． 【分析】（1）连接AE、CE，由轴对称的性质可得AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD，设∠EAD＝∠CAD＝x，则∠CAE＝2x，由等腰三角形的性质可得出结论； （2）①延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG，证明△AFG为等边三角形，由等边三角形的性质得出AG＝AF，∠GAF＝60°，证明△ABG≌△ACF，由全等三角形的性质得出BG＝CF，即可得出结论； ②在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG，证明△AGE≌△AFB，由全等三角形的性质得出BF＝EG，即可得出结论． 【解答】解：（1）连接AE、CE， ∵点E为点C关于AD的对称点， ∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD， 设∠EAD＝∠CAD＝x，则∠CAE＝2x， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝α， ∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α， ∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α， ∵AE＝AB， ∴∠ABE＝AEB＝x+α， ∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α； （2）①AF＝BF+CF，证明如下： 延长FB至点G，使FG＝FA，连接AG， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝α＝60°， ∴△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°， 由（1）知，∠AFB＝α＝60°， ∴△AFG为等边三角形， ∴AG＝AF，∠GAF＝60°， ∴∠GAB＝∠FAC， 在△ABG和△ACF中， ， ∴△ABG≌△ACF（SAS）， ∴BG＝CF， ∴CF+BF＝BG+BF＝GF， ∵GF＝AF， ∴AF＝BF+CF； ②CF＝AF+BF，连接AE， ∵点E为点C关于AD的对称点， ∴AE＝AC，EF＝FC，∠EAD＝∠CAD， 设∠EAD＝∠CAD＝x，则∠CAE＝2x， ∵AB＝AC＝AE， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴∠DAB＝x﹣60°， ∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°， ∵AE＝AB， ∴， ∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°， 在BE上取点G，使得FG＝FA，连接AG， ∴△AFG为等边三角形， ∴AG＝AF，∠GAF＝60°， ∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°， 在△AGE和△AFB中， ， ∴△AGE≌△AFB（SAS）， ∴BF＝EG， ∴EF＝EG+FG＝BF+AF， ∴CF＝EF＝BF+AF． 【点评】本题是几何变换综合题，考查作图﹣轴对称变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 8． 脚拉脚模型 1.已知条件：等腰∆ABC中，AB=AC，等腰∆DCE中DC=DE，且∠BAC+∠CDE=180°，连接AD、BE，G为BE的中点 2.结论：DG⊥AG 3. 辅助线思路：类倍长中线，延长AG至H，使AG=GH，连接DH、EH，延长AC交EH于点M. 4. 证明：先证明∆ABG≌∆HEG，得AB∥EH，所以∠BAC=∠CME，因为∠BAC+∠CDE=180°，所以∠CME+∠CDE=180°，∠DCM+∠DEM=180°，又∠ACD+∠DCM=180°，所以∠DEM=∠ACD，再通过证明∆ACD≌∆HED得到AD=HD，G为AH中点，所以DG⊥AG 9． 角平分线+垂直构造等腰三角形 已知条件：AD平分∠BAC，CE⊥AD 35．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定．版权所有 【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可． 【解答】解：延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中，， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴S△PBC＝S△ABC＝×9cm2＝4.5cm2， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 36．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．版权所有 【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM＝5，BM＝2BE＝6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM＝BM，利用等量代换即可求证． 【解答】解：延长BE交AC于M， ∵BE⊥AE， ∴∠AEB＝∠AEM＝90° ∴∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2， ∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AB＝AM＝5， ∵BE⊥AE， ∴BM＝2BE＝6， ∵∠4是△BCM的外角， ∴∠4＝∠5+∠C， ∵∠ABC＝3∠C， ∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5， ∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C， ∴∠5＝∠C， ∴CM＝BM＝6， ∴AC＝AM+CM＝AB+2BE＝11． 故选：B． 【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，准确添加辅助线构建等腰三角形是解题关键． 37．已知：在△ABC中，∠B＝α， （1）如图1，当α＝30°时，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交BC于D，若AD＝4cm，则BC的长为 　12　cm； （2）如图2，当α＝45°时，AB＝AC，过点B作BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD＝2CE； （3）当0°＜α＜90°时，AB＝4，BC＝5，BE为∠ABC的角平分线，CE⊥BE于E，连AE，若S△ABC＝m，请直接写出△ACE的面积．（用含m的式子表示） 【考点】三角形综合题．版权所有 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，则DC＝AD＝4cm，可求出答案； （2）延长CE与BA延长线交于点F，证明△BAD≌△CAF（ASA），由全等三角形的性质得出BD＝CF，证明△BEF≌△BCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE＝EF，则可得出结论； （3）延长CE与BA的延长线交于点F，作CM⊥AB于M，由（2）知△BEF≌△BCE，得出CE＝FE，BC＝BF＝5，求出CM＝m，根据三角形面积公式可得出答案． 【解答】（1）解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD＝90°， ∵AD＝4cm， ∴BD＝2AD＝8cm， ∵∠B+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝60°， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝4cm， ∴BC＝BD+DC＝4+8＝12（cm）， 故答案为：12； （2）证明：延长CE与BA延长线交于点F， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD， ∴∠BAC＝∠DEC， ∵∠ADB＝∠CDE， ∴∠ABD＝∠DCE， 在△BAD和△CAF中， ， ∴△BAD≌△CAF（ASA）， ∴BD＝CF， ∵BD平分∠ABC，CE⊥DB， ∴∠FBE＝∠CBE， 在△BEF和△BCE中， ， ∴△BEF≌△BCE（AAS）， ∴CE＝EF， ∴DB＝2CE； （3）解：延长CE与BA的延长线交于点F，作CM⊥AB于M， 由（2）知△BEF≌△BCE， ∴CE＝FE，BC＝BF＝5， ∴S△ACE＝S△AFE＝S△ACF， 又∵AB＝4， ∴AF＝1， ∵S△ABC＝m，即AB•CM＝m， ∴CM＝m， ∴S△ACF＝AF•CM＝×1×m＝m， ∴S△ACE＝S△ACF＝m． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 10． 平行于底或腰构造等腰三角形 38．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E． 求证：DE＝EF． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可， 【解答】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点， ∴∠ECF＝∠DGE， ∴∠DGB＝∠ACB ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠DGB， ∴DG＝BD， ∵BD＝CF， ∴DG＝CF． 由∠ECF＝∠DGE，∠DEG＝∠CEF，DG＝CF可得 △DGE≌△FCE（AAS）， ∴DE＝EF． 【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质的理解和掌握．此题的关键是过D点作AF的平行线交BC于G点，然后利用角角边定理证明△DGE≌△FCE，这是此题的关键． 39．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】作PF∥AC交BC于F，交BD于E．根据平行线的性质得到PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°，求得∠BEP＝90°，得到∠BPE＝∠PBE＝45°，求得BE＝PE．根据全等三角形的性质得到PN＝BF；根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠C，求得PB＝PF，得到BM＝MF，于是得到结论． 【解答】解：PN＝2BM， 理由：如图，作PF∥AC交BC于F，交BD于E． ∵BD⊥AC，PF∥AC， ∴PF⊥BD，∠BPE＝∠A＝45°， ∴∠BEP＝90°， ∴∠BPE＝∠PBE＝45°， ∴BE＝PE． ∵PM⊥BC， ∴∠PMB＝∠PEN＝90°， ∵∠BNM＝∠PNE， ∴∠NPE＝∠EBF， ∵∠PEN＝∠BEF＝90°， ∴△PEN≌△BEF（ASA）， ∴PN＝BF； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠PFB＝∠C， ∴PB＝PF， ∵PM⊥BF， ∴BM＝MF， ∴PN＝2BM． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11． 角平分线+平行构造等腰三角形 已知条件：AD平分∠BAC （方法一） （方法二） （方法三） 辅助线思路：以上3种都可以参考。 40.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 【考点】全等三角形的判定与性质．版权所有 【分析】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明△DEG≌△DCA，可得EG＝EF，可证明EF∥AB． 【解答】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点， ∵EG∥AC， ∴∠DEG＝∠C， 在△DEG和△DCA中， ， ∴△DEG≌△DCA（ASA）， ∴EG＝EF，∠G＝∠CAD，又EF＝AC 故EG＝AC ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵EG＝EF， ∴∠G＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠BAD， ∴EF∥AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，本题中求证△DEG≌△DCA是解题的关键． 41.在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 【考点】等腰三角形的判定与性质．版权所有 【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF＝2BE，即可证得AC＝2BE． 【解答】证明：过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F， ∴∠F＝∠DBC，∠FAD＝∠C， ∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∴∠F＝∠FAD＝∠ABD，BD＝CD， ∴AD＝DF，AB＝AF， ∵AE⊥BD， ∴BE＝EF＝BF， ∵AC＝AD+CD＝DF+BD＝BF， ∴AC＝2BE． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 12． 2倍角构造 42．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 【分析】因为∠BAE＝∠DAC，且∠ABC＝90°，所以需要构造2倍的∠BAC，故延长EB至 G，使BE＝BG，从而得到∠GAE＝∠CAD，进一步证明∠GAC＝∠EDA，且AE＝AG，接着证明△GAC≌△EAD，则∠ADE＝∠ACG，DE＝CG，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设∠BAE＝x，则∠DAC＝2x，因为CD∥AB，所以∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，接着用x表示出∠EAC，再计算出∠DAE＝90°，故③是正确的，当∠CAE＝∠BAE时，可以推导出AC⊥DE，否则AC不垂直于DE，故①是错误的． 【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M， ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥GE， ∴AB垂直平分GE， ∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC， ∵∠BAE＝∠GAE， ∴∠GAE＝∠CAD， ∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC， ∴∠GAC＝∠EAD， 在△GAC与△EAD中， ， ∴△GAC≌△EAD（SAS）， ∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE， ∴②是正确的； ∵AG＝AE， ∴∠G＝∠AEG＝∠AED， ∴AE平分∠BED， 当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE， 当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE， ∴①是不正确的； 设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x， ∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x， ∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°， ∴AE⊥AD， ∴③是正确的； ∵△GAC≌△EAD， ∴CG＝DE， ∵CG＝CE+GE＝CE+2BE， ∴DE＝CE+2BE， ∴④是正确的， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，通过二倍角这一条件，构造两倍的∠BAE，是本题的突破口，也是常用方法，同时，要注意本题设参数导角，对学生分析数据的能力有一定要求． 43．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC，求证：∠A＝90°． 【分析】作出图形，作∠ACB的平分线CD交AB于D，过点D作DE⊥BC于E，求出∠B＝∠BCD，再根据等角对等边可得BD＝CD，然后根据等腰三角形三线合一的性质可得BE＝CE，再求出AC＝CE，然后利用“边角边”证明△ACD和△ECD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠CED＝90°． 【解答】证明：如图，作∠ACB的平分线CD交AB于D，过点D作DE⊥BC于E， ∵∠ACB＝2∠B， ∴∠B＝∠BCD＝∠ACB， ∴BD＝CD， ∴BE＝CE＝BC， ∵BC＝2AC， ∴AC＝CE， 在△ACD和△ECD中，， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴∠A＝∠CED＝90°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，角平分线的定义，作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 44．阅读理解：在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形： 如图①，若∠ABC＝2∠C，可作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形； 如图②，若∠ABC＝2∠C，如果延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，则 　△ACD　是等腰三角形； 如图③，若∠B＝2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD＝　∠ACB　，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形． 解决问题：如图④，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC，求证：∠A＝90°． 【分析】（1）先证明∠DBC＝∠C，利用“等角对等边”即可证明； （2）先应用“等边对等角”得：∠BAD＝∠D，进而可证明：∠C＝∠D，再利用“等角对等边”即可； （3）由已知可证明：∠BCD＝∠B，利用“等角对等边”即可证明； （4）如图④，在CB的延长线上截取CH＝AC，在BC上截取CE＝CA，由“SAS”可证△ABE≌△AHC，可得AE＝AC＝CE，可证△ACE是等边三角形，可求∠ACB＝60°，∠ABC＝30°，可得结论． 【解答】（1）证明：如图①，∵BD平分∠ABC ∴∠ABC＝2∠DBC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠DBC＝∠C， ∴BD＝CD ∴△BCD是等腰三角形； （2）解：如图②，∵BD＝BA， ∴∠BAD＝∠D， ∵∠ABC＝∠BAD+∠D， ∴∠ABC＝2∠D， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠D， ∴AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形． 故答案为：△ACD； （3）解：如图③，在△ABC外作∠ACD＝∠ACB， ∵∠ACD＝∠ACB， ∴∠BCD＝2∠ACB， ∵∠B＝2∠ACB， ∴∠BCD＝∠B， ∴DB＝DC， ∴△DBC是等腰三角形． 故答案为：∠ACB； （4）证明：如图④，在CB的延长线上截取CH＝AC，在BC上截取CE＝CA， ∵BC＝2AC， ∴BE＝CE＝AC， ∵AC＝CH， ∴∠H＝∠CAH， ∴∠ACB＝∠H+∠CAH＝2∠H，且∠ACB＝2∠ABC， ∴∠H＝∠ABC， ∴AH＝AB，且∠H＝∠ABC，BE＝EC＝AC＝CH， ∴△ABE≌△AHC（SAS） ∴AE＝AC， ∴AE＝AC＝CE， ∴△ACE是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠ABC＝30°， ∴∠BAC＝90°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形性质和判定；解题关键是构造等腰三角形，熟练运用等腰三角形性质和判定． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版八年级上册 第2章 轴对称图形 轴对称图形拓展培优（二）--8个模型总结+4种特殊图形的构造 （适用于期中复习） 目录 一． 奔驰模型 1 二． 费马点模型 2 三． 角平分线+对角互补模型 5 四． 将军饮马模型 7 五． 维维亚尼模型 16 六． 直角三角形共斜边模型 20 七． 共顶点手拉手模型 21 八． 脚拉脚模型 28 九． 角平分线+垂直构造等腰三角形 29 十． 平行于底或腰构造等腰三角形 31 十一． 角平分线+平行构造等腰三角形 33 十二． 2倍角构造 34 1． 奔驰模型 （一）模型讲解 已知条件：△ABC是等边三角形，D是三角形内任意一点，连接DA、DB、DC。 分析思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACD’，连接DD’ 证明：△ADD’是等边三角形。 （二）巩固练习 1．如图，在等边△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA＝1，PB＝2，∠APB＝150°，则PC＝　　． 2．如图，△ABD是等边三角形，以AD为边向外作△ADE，使∠AED＝30°，且AE＝3，DE＝2，连接BE，则BE的长为 　　． 3．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 2． 费马点模型 （一）模型讲解 1.概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点. 2.结论： 1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点； 2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个三角形钝角的顶点. （注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°） 3. 分析思路：运用旋转的方法，将∆ABC中任意一个三角形（∆DAB,∆DAC,∆DBC）向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度.上图将∆DAC绕点C顺时针旋转60°，得到∆D’A’C，连接DD’，BA’ 4. 证明：DA+DB+DC=A’D’+DD’+BD≥BA’，所以当B、D、D’、A’四点共线时，DA+DB+DC最小，此时，∠CDD’=∠CD’D=60°，所以∠BDC=∠A’D’C=∠ADC=120°，所以∠BDC=120° 备注：具体旋转哪个三角形根据题目中给出的条件进行判定。 （二）巩固练习 4．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为　 　． 5．在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为　　． 6．如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时， ①∠BDC＝　 ； ②AD的最小值是 　 　． 7．【阅读理解】 （1）如图1，等边△ABC内有一点P，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数． 将△ABP绕顶点A旋转至△ACP'处，得△ACP'≌△ABP，可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解题过程． 【基本运用】 （2）请你利用第（1）题的解答方法，解答问题： 如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，BE＝3，FC＝2，求EF的长． 【能力提升】 （3）如图3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC内一点，连接AP，BP，CP，则PA+PB+PC的最小值是 　　． 3． 角平分线+对角互补模型 （一）模型讲解 已知在四边形ABDC中，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，求证BD=CD 方法一：利用角平分线的性质 辅助线：过D向AB和AC作垂线，垂足分别为G、H 证明：△DGB≌△DHC(AAS)，得BD=CD 方法二：构造等腰三角形 辅助线：在AC的延长线上取点G，使AD=DG 证明：△ABD≌△GCD(AAS)，得BD=CD （二）巩固练习 8．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，AC＝4，CD＝3，则AB﹣AD＝　 　． 9. 已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E． （1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC； （2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BO交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝2，DF＝4，求线段DB的长． 4． 将军饮马模型 （一）模型讲解 1.模型背景 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它。从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今。 2.考点 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考中经常出现。 3.解题思路 ①轴对称的性质 ②垂线段最短 ③两点之间线段最短：三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 4.模型分类 类型一：2定1动型 类型二：1定2动型或2定2动 类型三：2定点+1定长 （二）巩固练习 10.如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 11．如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 12.如图，已知 为等腰直角三角形，，， 为 上的动点，则 的最大值为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．8 13．如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 14．已知在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时， 度． 15．如图，，∠ACB＝90°，BC＝AC＝4，平面内直线BC的左侧有一点P，连接BP，CP，，将沿BC翻折至同一平面得到，连接．若取得最大值时，则 ． 16.如图，在中，，平分，若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 17．如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 19.如图，在中，，，的面积是24，的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P在线段上，则周长的最小值为（    ）    A．6 B．10 C．12 D．14 20．如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（   ） A．8.5 B．9 C．12.5 D．15 21．如图，等边三角形的边长为7，是边上的中线，是边上的动点，是边的中点．当的周长取得最小值时，的度数为 ． 22.在某草原上，有两条交叉且笔直的公路、，如图，，在两条公路之间的点处有一个草场，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为、，存在、使得的周长最小．则周长的最小值是（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 23．如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，的最小值是，则的度数是（　　） A． B． C． D． 24．如图，在锐角中，，，的面积为5，P为内部一点，分别作点P关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为 ．    25．已知的大小，是内部的一个定点．    26.如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（     ）. A．2 B． C．20 D．2 28．如图，∠AOB＝45°，点M、点C在射线OA上，OC＝2，点P、点D在射线OB上，且OD＝3，则CP+PM+DM的最小值是 ． 5． 维维亚尼模型 （一）等边三角形 1.等边三角形内一点到三边得距离之和等于任意顶点到底边的距离。 分析思路：连接AD、BD、CD，利用等面积法证明。 证明：略。 2.等边三角形外一点到三边得距离与任意顶点到底边的距离的关系也可以用等面积法证明。例如上图中，DE+DG-DF=CH （二）等腰三角形 1.等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 辅助线思路：连接AD，利用等面积法证明。 证明：略 2.等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。 辅助线思路：连接AD，利用等面积法证明。 证明：略 29．【问题情境】 如图1：在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点B作BG⊥AC，垂足为G． 求证：PD+PE＝BG． 【变化一下】 当点P在BC延长线上时，请画图探究PD、PE、BG三者之间的数量关系并给出证明： （2）如图2，△ABC满足AB＝AC＝BC，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，请直接写出PD、PE、PF和BG之间的关系． 【深入探究】 如图3，在△ABC中，点P为△ABC内任意一点，过点P分别作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，过点A、B、C分别作AI⊥BC，BG⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为I、G、H，记CH、BG、AI分别为h1、h2、h3，请直接写出PD、PE、PF和h1、h2、h3之间的关系． 30．【数学阅读】 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE＝CF． 小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE＝CF． 【推广延伸】 如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明． 【解决问题】 如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l1、l2，分别是函数y1＝﹣x+3，和y2：y＝3x+3的图象，l1，l2与x轴的交点分别为A，B． （1）两条直线的交点C的坐标为　 　； （2）说明△ABC是等腰三角形； （3）若l2上的一点M到l1的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标． 6． 直角三角形共斜边模型 1. 异侧型 结论：GA=GE=GD=GF=EF(A、E、D、F四点共圆) ∠AGD=2∠AED 2.同侧型 结论：GA=GE=GD=GF=EF(A、E、D、F四点共圆) ∠AGD=2∠AED 31．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为（　　）度． A．29 B．32 C．45 D．6 32．如图，在中，于F，于E，M为的中点．(1)若，，求的周长；(2)若是等边三角形，求的度数．    7． 共顶点手拉手模型 1．等边三角形共顶点 等边△ABC与等边△DCE，B、C、E三点共线，连结BD、AE交于点F，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连结CF、GH 结论： （1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）∠AFB＝∠DFE＝60°； （4）FC平分∠BFE； （5）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （6）△CGH为等边三角形． 证明思路： （1）由已知条件可得，则△BCD≌△ACE（SAS）． （2）由（1）得AE＝BD； （3）由（1）得∠GAF＝∠GBC，而∠AGF＝∠BGC，所以∠DFE＝∠AFB＝∠ACB＝60°． （4）如下图，过点C分别作BD、AE的垂线，垂足分别为M、N． 由（1）知S△ACE＝S△BCD，即BD·CM＝AE·CN，所以CM＝CN，故FC平分∠BFE． （5）截长补短法，过程略。 （6）易证△ACH≌△BCG（ASA） 可得CG＝CH，而∠GCH＝60°，所以△CGH为等边三角形． 2．等腰直角三角形共顶点 等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，连结BD、AE交于点F，连结FC、AD、BE。 （1）△BCD ≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）AE⊥BD； （4）FC平分∠BFE； （5） （6）BF＝AF＋FC，EF＝DF＋FC； （7）如图，若F为BE中点，则FG⊥AD,反之，若FG⊥AD，则F为BE中点（婆罗摩笈多模型） （8）S△ACD＝S△BCE 证明思路： （1） （2）（3）（4）证明见“等边三角形共顶点”； (5) （6）如下图，过点C作CK⊥FC，交BD于点K，则△CFK为等腰直角三角形． 易证△BCK≌△ACF，所以BK＝AF．从而BF＝BK＋KF＝AF＋FC， 同理可得EF＝DF＋FC． （7） a.已知F为BE中点，则FG⊥AD，倍长CF，连接BH，先证明△CEF≌HBF，再证△ACD≌CBH b.已知FG⊥AD，则F为BE中点,构造两个一线三垂直，证明略。 （8）在（7）中的证明过程中可得到S△ACD＝S△BCE；也可以用下面的方法来证明 如下图，过点D作DP⊥AC于点P，过点E作EQ⊥BC，交BC延长线于点Q． 易证△DPC≌△EQC（AAS）．所以DP＝EQ，故DP·AC＝ EQ·BC，即S△ACD＝S△BCE 3.等腰△ACB与等腰△DCE中，AC＝BC，DC＝CE，且∠ACB＝∠DCE．连结BD，AE交于点F 结论：（1）△BCD≌△ACE； （2）AE＝BD； （3）∠AFB＝∠ACB； （4）FC平分∠BFE． 33．（1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，分别连接BD，CE，求证：BD＝CE； （2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，若AE＝7，BE＝2，请直接写出CM的长，不说明理由． 34．在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点 E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF． （1）如图1，点D在线段BC上，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）； （2）如果∠α＝60°， ①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，补全图形，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系． 8． 脚拉脚模型 1.已知条件：等腰∆ABC中，AB=AC，等腰∆DCE中DC=DE，且∠BAC+∠CDE=180°，连接AD、BE，G为BE的中点 2.结论：DG⊥AG 3. 辅助线思路：类倍长中线，延长AG至H，使AG=GH，连接DH、EH，延长AC交EH于点M. 4. 证明：先证明∆ABG≌∆HEG，得AB∥EH，所以∠BAC=∠CME，因为∠BAC+∠CDE=180°，所以∠CME+∠CDE=180°，∠DCM+∠DEM=180°，又∠ACD+∠DCM=180°，所以∠DEM=∠ACD，再通过证明∆ACD≌∆HED得到AD=HD，G为AH中点，所以DG⊥AG 9． 角平分线+垂直构造等腰三角形 已知条件：AD平分∠BAC，CE⊥AD 35．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2 36．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　） A．10 B．11 C．13 D．15 37．已知：在△ABC中，∠B＝α， （1）如图1，当α＝30°时，AB＝AC，过点A作AD⊥AB交BC于D，若AD＝4cm，则BC的长为 　12　cm； （2）如图2，当α＝45°时，AB＝AC，过点B作BD平分∠ABC交AC于D，过C作CE⊥BD交BD的延长线于E，求证：BD＝2CE； （3）当0°＜α＜90°时，AB＝4，BC＝5，BE为∠ABC的角平分线，CE⊥BE于E，连AE，若S△ABC＝m，请直接写出△ACE的面积．（用含m的式子表示） 10． 平行于底或腰构造等腰三角形 38．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD＝CF，连接DE交BC于E． 求证：DE＝EF． 39．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，点P为边AB上一点（不与点A、点B重合），PM⊥BC，垂足为M，交BD于点N．请猜想PN与BM之间的数量关系，并证明． 11． 角平分线+平行构造等腰三角形 已知条件：AD平分∠BAC （方法一） （方法二） （方法三） 辅助线思路：以上3种都可以参考。 40.如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB． 41.在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：AC＝2BE． 12． 2倍角构造 42．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，E为BC上一点，连接AE，2∠BAE＝∠CAD，连接DE，下列结论中正确的有（　　） ①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE． A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②④ 43．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC，求证：∠A＝90°． 44．阅读理解：在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形： 如图①，若∠ABC＝2∠C，可作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形； 如图②，若∠ABC＝2∠C，如果延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD，则 　 　是等腰三角形； 如图③，若∠B＝2∠ACB，以C为顶点，CA为一边，在△ABC外作∠ACD＝　 　，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形． 解决问题：如图④，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC，求证：∠A＝90°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$