专题2.1 圆与方程（八个重难点突破）-2024-2025学年高二数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第一册）

专题2.1 圆与方程 一、圆的标准方程 五、点与圆的位置关系 二、一般方程与标准方程的转化 六、圆的对称问题 三、方程表示圆的条件 七、轨迹问题 四、求圆的方程 八、圆中的最值问题 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点3圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 知识点4 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 重难点一 圆的标准方程 1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 3．圆心为，半径为5的圆的方程为 . 4．以为直径端点的圆的方程是 . 5．求以点为圆心，半径等于2的圆的方程. 称为圆心为,半径为r的圆的标准方程 重难点一 一般方程与标准方程的转化 6．圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 7．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 8．已知圆的一般方程为，则圆的面积为 . 9．已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 10．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （    ） A． B． C． D． 11．圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 由此可得圆心,半径. 重难点二 方程表示圆的条件 12．若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．若方程表示圆的标准方程，则的取值范围是 ． 15．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ． 16．方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数． 重难点三 求圆的方程 17．已知，求外接圆的标准方程． 18．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 ． 19．已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 20．分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，圆心为； (2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上； (3)过点，，且圆心在x轴上； (4)过点，和原点． 21．已知圆C过点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线对称圆的方程. 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 重难点四 点与圆的位置关系 22．点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 23．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 24．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 26．已知三角形ABC的三个顶点为，，， (1)求三角形ABC外接圆的方程； (2)判断点是否在这个圆上. 判断点与圆的位置关系的方法： （1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可； （2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断． 重难点五 圆的对称问题 27．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 28．若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 29．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 30．若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 重难点六 轨迹问题 31．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 32．已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 33．已知动点M与两个定点，的距离的比为2，且动点M不在x轴的下方，则动点M的轨迹与x轴所围成的图形的面积为 . 34．已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为 ， 35．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 36．已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程. 求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． （2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 重难点七 圆中的最值问题 37．已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 38．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．7 39．若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为 ． 40．已知实数x，y满足方程，求的最大值和最小值． 41．已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 一、单选题 1．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 5．已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（    ） A．3 B．9 C． D． 二、多选题 7．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 8．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 10．已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 11．已知曲线的方程为：有下列四种描述 （1）曲线关于对称； （2）曲线的面积大于16； （3）曲线与圆有四个公共点； （4）若，为曲线与轴的交点，为曲线上的点，则的面积最大为；则其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题 12．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求的面积 (2)求外接圆的方程 13．动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程. 14．已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 15．已知圆C过点和且圆心C到直线的距离与半径长相等．求圆C的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 圆与方程 一、圆的标准方程 五、点与圆的位置关系 二、一般方程与标准方程的转化 六、圆的对称问题 三、方程表示圆的条件 七、轨迹问题 四、求圆的方程 八、圆中的最值问题 知识点1 圆的标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合． 2．圆的标准方程：我们把方程称为圆心为,半径为r的圆的标准方程． 3．几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在y轴上 圆心在x轴上且过原点 圆心在y轴上且过原点 与x轴相切 与y轴相切 知识点2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系： （1）点在圆外； （2）点在圆上； （3）点在圆内. 知识点3圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心到定点的距离为,圆的半径为,圆上的动点为: （1）若点在圆外,则; （2）若点在圆上,则; （3）若点在圆内,则. 综上,. 知识点4 圆的一般方程 1．圆的一般方程 当时,方程表示一个圆．我们把方程叫做圆的一般方程． 2．对方程的说明 对方程配方得，与0的大小关系对方程图形的影响如下表： 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心,以为半径的圆 重难点一 圆的标准方程 1．以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 2．圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆的面积. 故选：D. 3．圆心为，半径为5的圆的方程为 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的方程为. 故答案为：. 4．以为直径端点的圆的方程是 . 【答案】 【详解】是直径端点， 由两点间距离公式得直径长为，故半径为， 且设圆心为，由中点坐标公式得圆心， 故圆的方程为. 故答案为： 5．求以点为圆心，半径等于2的圆的方程. 【答案】 【详解】设圆上任一点，记圆心为点, 则由题意，,即， 两边取平方即得所求圆的方程为：. 称为圆心为,半径为r的圆的标准方程 重难点一 一般方程与标准方程的转化 6．圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原点与的距离为， 则圆心为半径为的圆的方程为， 则该圆的一般方程是 故选：D 7．圆的圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以圆心和半径分别为. 故选：D 8．已知圆的一般方程为，则圆的面积为 . 【答案】 【详解】,故圆的半径为1， 则圆的面积为， 故答案为： 9．已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 【答案】 【详解】由可得， 所以半径为， 故答案为： 10．若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故圆心为，要想圆心到轴、轴的距离相等， 则. 故选：C 11．圆C：关于直线对称圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆的方程化为标准方程可得，， 所以，圆心，半径. 设， 由已知可得，，解得， 所以，圆的圆心为，半径， 所以，圆的方程为. 故选：D. 由此可得圆心,半径. 重难点二 方程表示圆的条件 12．若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 13．若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 14．若方程表示圆的标准方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方程表示圆的标准方程， 可得，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 15．已知方程表示一个圆，则的取值范围为 ，该圆的半径的最大值为 ． 【答案】 2 【详解】 该方程可化为圆的标准方程． 由，得． 因为， 所以该圆的半径的最大值为． 故答案为：，2 16．方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 判断二元二次方程是否表示圆，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．方法如下：一是看是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端是否为大于零的常数． 重难点三 求圆的方程 17．已知，求外接圆的标准方程． 【答案】 【详解】设圆的方程为， 则，解得， 所以外接圆的标准方程为. 18．过点且圆心在直线上的圆的一般方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的一般方程为，则圆心为， 依题意得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为： 19．已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程. 【答案】. 【详解】设圆的一般方程为，由圆经过点和， 代入圆的一般方程，得(*) 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 设圆在轴上的截距为、，则它们是方程的两个根，得. 由已知，得，即.　③ 由(*)③联立解得. 故所求圆的方程为. 20．分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，圆心为； (2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上； (3)过点，，且圆心在x轴上； (4)过点，和原点． 【答案】(1) (2)或. (3) (4) 【详解】（1）解：由题意，圆过点，圆心为， 可得半径，所以圆的方程为. （2）解：由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线上， 可设圆心为，则，解得或， 若，则圆心为，半径为，圆的方程为； 若，则圆心为，半径为，圆的方程为， 所以圆的方程为或. （3）解：由题意，圆过点，，且圆心在x轴上 可设圆心为， 由，可得，解得， 即圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. （4）解：由题意，圆过点，和原点， 设圆的方程为， 由，解得， 所以圆的方程为. 21．已知圆C过点. (1)求圆C的方程； (2)求圆C关于直线对称圆的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设圆C：，其中， 则，解得， 所以圆C的一般方程是：， 化为标准方程是：. （2）设所求圆的圆心为，由（1）知圆的圆心， 则由已知得，解得， 故圆C关于直线对称圆的方程为. 确定圆的方程的方法 （1）几何法：利用圆的几何性质等，直接求出圆的圆心和半径，进而得到圆的标准方程． （2）待定系数法：假设圆的标准方程或者一般方程，由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的方程中三个参数即可 重难点四 点与圆的位置关系 22．点P与圆的位置关系为（    ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为圆的圆心为：，半径为：1. 由点与圆心的距离为：， 又. 所以点在圆外. 故选：A 23．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 【答案】A 【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 24．已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则两直线与的交点为， 依题意得，解得. 故选：B. 25．已知点，与圆O：，则（    ） A．点A与点B都在圆O外 B．点A在圆O外，点B在圆O内 C．点A在圆O内，点B在圆O外 D．点A与点B都在圆O内 【答案】C 【详解】将代入圆的方程，可得， 所以点A在圆O内；将代入圆的方程， 可得，所以点B在圆O外． 故选：C． 26．已知三角形ABC的三个顶点为，，， (1)求三角形ABC外接圆的方程； (2)判断点是否在这个圆上. 【答案】(1) (2)点在这个圆上，点不在这个圆上 【详解】（1）设三角形ABC外接圆的方程为 由已知可得方程组：解得：，   则圆的方程为. （2）圆的标准方程化为. 把点的坐标代入圆的方程，得， 即点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上，            把点的坐标代入圆的方程得， 即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上. 判断点与圆的位置关系的方法： （1）计算该点与圆的圆心距离，与半径做比较即可； （2）把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并做出判断． 重难点五 圆的对称问题 27．已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 28．若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 29．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 30．若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 重难点六 轨迹问题 31．已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】 【详解】设，由题意，则， 平方化简得， 即的轨迹是半径为4 的圆，所围成图形面积为. 故答案为：. 32．已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【答案】 【详解】设平面内的动点，由得， 所以， 化简得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以周长是. 故答案为：. 33．已知动点M与两个定点，的距离的比为2，且动点M不在x轴的下方，则动点M的轨迹与x轴所围成的图形的面积为 . 【答案】 【详解】设，由题意得， 又已知，，则， 化简整理得，， 又动点M不在x轴的下方， 则动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在轴上方的半圆弧. 该轨迹与x轴所围成的图形的面积为半圆面积， 由半径，故所求面积. 故答案为：. 34．已知A为圆C：上一动点，点，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为 ， 【答案】 【详解】设，，则，，所以，， 又点A在圆C上，所以， 即的方程为． 故答案为：. 35．已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 36．已知圆经过，，三点. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为，求的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设圆的方程为， 将三点，，分别代入方程， 则，解得，，， 所以圆的方程为； （2）设，， 因为点满足，， 所以，， 则，所以. 因为点在圆上运动， 所以， 所以，所以， 所以点的轨迹方程为. 求轨迹方程的常用方法： （1）直接法：根据题目条件，建立关于动点的几何关系，再利用有关公式(如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简． （2）代入法：如果动点依赖于另一动点，而又按某个规律运动，则可先用表示，再把代入它满足的条件便得到动点的轨迹方程． 重难点七 圆中的最值问题 37．已知点，，动点C在圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【详解】不妨设，． 因为，，则，， 所以． 当时，即时等号成立， 故选:D． 38．为圆上任意一点，且点．则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【详解】圆变形为， 其圆心为，半径为，      则的最大值为. 故选：D 39．若，是平面内不同的两定点，动点满足（且），则点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点，，，动点满足，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】设，则，整理得， 则是圆：上一点， 由，得,如图所示 故， 当且仅当，，三点共线，且在之间时取得最大值． 又因为, 所以的最大值为. 故答案为：. 40．已知实数x，y满足方程，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【详解】方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆． 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心所连的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）． 又圆心到原点的距离为， 所以的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为． 41．已知为圆：上一动点，点，为的中点. (1)求的轨迹方程； (2)若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，，则得 因为A在圆O上，所以，则，化简得， 故Q的轨迹方程为. （2）如图，设圆的圆心为， 设O关于对称的点为，则得，即. 易得，则当，M，N三点共线时，最小， 最小值为. 因为，所以的最小值为. 一、单选题 1．已知等腰三角形的底边对应的顶点是，底边的一个端点是，则底边另一个端点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由题意知，， 因为是以为底边的等腰三角形，于是有， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又点，，构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点及点关于点对称的点， 所以点的轨迹方程为（去掉，两点）， 故选：C. 2．圆的圆心到直线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为圆的圆心为， 所以圆心到直线的距离为， 故选：B. 3．若点在圆的外部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示圆， 所以，即， 又因为点在圆的外部， 所以，即， 所以， 故选：C. 4．已知点关于直线对称的点在圆：上，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，解得，. 因为在上，所以，解得. 故选：B 5．已知点，动点在圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，即求的最小值. 设，则， 整理，得点的轨迹方程为. 又点在圆上， 所以，解得，所以， 所以， 即的最小值为. 故选：. 6．已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 设，由得， 化简得， 又因为即， 所以，因为对于任意恒成立， 所以，解得，所以， 所以当点的纵坐标的绝对值最大时的面积最大， 此时轴，所以或， 所以的面积为. 故选：A.    二、多选题 7．已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 【答案】ACD 【详解】由题意，方程，可化为， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径， 中，当时，可得，所以正确； 中，当时，此时半径为，所以错误； 中，当时，表示的圆的半径为，所以正确； 中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确； 故选：ACD． 8．已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    三、填空题 9．在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】设，则有， 化简得，即点的轨迹方程是. 故答案为：. 10．已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 【答案】（或） 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 11．已知曲线的方程为：有下列四种描述 （1）曲线关于对称； （2）曲线的面积大于16； （3）曲线与圆有四个公共点； （4）若，为曲线与轴的交点，为曲线上的点，则的面积最大为；则其中所有正确结论的序号是 . 【答案】（1）（2）（4） 【详解】设是曲线上任意一点，由于曲线的方程为， 则当，时，曲线的方程为，即； 方程中，用替换，用替换，方程不变，故曲线关于轴，轴，原点对称，曲线的图象如下图（由图中实线部分及原点组成），故（1）正确；    由图可知，曲线所围成的图形是由一个边长为的正方形和四个全等的半圆组合而成，其中半圆半径为，故曲线围成图形的面积为，故（2）正确；      连接原点与点，并延长与曲线交于点，则， 则以为圆心，半径为的圆与曲线有8个交点，故（3）错误； 因为为曲线上的点，由于图象的对称性，不妨设点为第一象限点， 所以，当时，，故，故（4）正确.    故答案为：（1）（2）（4） 四、解答题 12．已知三个顶点的坐标分别是. (1)求的面积 (2)求外接圆的方程 【答案】(1) (2) 【详解】（1）三个顶点的坐标分别是， 直线的斜率，直线的斜率， 则，即. ，， . （2）由，外接圆是以线段为直径的圆， 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 13．动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 所以点的轨迹方程为即. 14．已知在中，，，，动点M在内部且满足． (1)求点M的轨迹方程； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由，，，则有，， 因为，，所以. 在中，由正弦定理得：（R为的外接圆半径）， 所以，解得：.    设E为AC的中点，有，又，所以钝角的外接圆的圆心为O， 又点M在内部，所以点M的轨迹为：. （2）设，则有. 由， 所以当时有最小值. 15．已知圆C过点和且圆心C到直线的距离与半径长相等．求圆C的方程． 【答案】或. 【详解】圆心在线段的垂直平分线上， 设圆心为，半径为，则圆的方程为. 将点代入得.① 而，代入①， 得， 解得，，或，. 故圆C的方程为:或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$