2024-2025学年新人教版七年级数学上册点拨训练第二章 第10讲 有理数的混合运算

新人教版七年级数学上 点拨*训练 第2章 第10讲 有理数的混合运算 学习目标： 1．知道有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序. 2．会进行有理数的混合运算.(运算能力） 重点：有理数的混合运算顺序、运算法则和运算律的应用 难点：应用有理数的混合运算解决规律探究和实际应用问题. 老师告诉你 有理数混合运算注意事项： 1. 注意分清运算符号与性质符号，每一步运算都要先定符号，再确定绝对值。 2. 进行分数的乘除运算时，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法。 3. 能够运用运算律的一定要运用运算律简化计算。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1：有理数混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【新知导学】 例1-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【对应导练】 1．计算 (1) (2) (3) (4) 2．下面是佳佳同学的一道题的解题过程： ，① ，② ，③ ，④ (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是_____； (2)请给出正确的解题过程． 知识点2：利用有理数混合运算解决实际问题 在实际问题中，将实际问题转化为数学问题的方法与小学列式计算解应用题一样，先根据实际问题分析题意，抓住能够表示运算关系的关键词语，列出算式，再根据有理数混合运算顺序计算解决问题。 【新知导学】 例2-1．一片牧场，每天在均匀生长，现在这片牧场可供120只羊吃20天或36头牛吃15天．如果一头牛吃的草量相当于4只羊吃的草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 【对应导练】 1．刘老师家准备买一套商品房，房子总价是300万元．若一次性付清，则可以打九五折；若分期付款，则需交首付款120万元，且每月有7500元房贷，需还20年．选择贷款买房比一次性付清最终要多交多少钱？ 2．一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远? (2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少? (3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元? 3．老王在上星期五以每股10元的价格买进某种股票1000股，该股票的涨跌情况如下表（单位：元）（注：每天的涨跌价是以上一天的收盘价为基础） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期五收盘时，每股是____元； (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知股票卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 知识点3：利用有理数混合运算解决新定义问题、程序问题 解决新定义运算问题，主要就是把新定义的运算转化为已学过的有理数混合运算，新定义问题一般都是以字母的形式呈现的，计算时用数代替字母列出有理数运算的算式即可。 【新知导学】 例3-1．按下列所示的程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．15 B．25 C．235 D．255 【对应导练】 1．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 2．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 3．定义一种运算：，求 2、 题型训练 1.有理数的混合运算 1．计算：（1） （2） 2．计算 （1）(-1)2019+0.25×(-2)3+4÷      （2） 2.利用有理数混合运算解决实际问题 3．某公司在去年一年的销售中，盈亏情况如下表（盈利为正，单位：万元）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 2 2 2 1.7 1.7 1.7 1.7 （1）盈利最多的一个月与亏损最多的一个月相差______万元； （2）这个公司去年是盈利还是亏损？盈亏多少？ 4．某商店经销一种品牌的空调，其中某一型号的空调每台进价为1000元，商店将进价提高30%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号空调的零售价为 元． 3.利用有理数混合运算解决新定义问题 5．我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为 ． 6．若“△”表示一种新运算，规定△，则2△△的值是 ． 4.利用有理数混合运算解决程序问题 7．按照如图所示的操作步骤，若输入值为，则输出的值为（    ） A．28 B． C．95 D． 8．一个数字转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是 ；若输入5，那么输出的结果是 ．    3、 课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．幼儿园老师给小班的小朋友分糖果如果每人分7颗则还差6颗，如果每人分6颗则多出7颗，那么共有糖果（    ）颗． A．85 B．84 C．83 D．82 4．小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元，爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一是美团，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其余部分另外支付；方式二是享受八折优惠．哪种方式支付更划算呢？（    ）． A．方式一 B．方式二 C．两种方式价格相同 D．无法确定 5．定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 7．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 8．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．规定一种新运算：，则 ． 10．用简便方法计算： ． 11．华夏旅游公司出租大客车每辆每天1000元，限乘40人；小客车每辆每天650元，限乘25人．育英小学115名师生去参观历史博物馆，如果租用以上两种客车，最低费用为 元． 12．计算： ． 13．定义一种对正整数n的“F运算”：（1）当n为奇数时，结果为；（2）当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则：   若，则第2023次“F运算”的结果是 ． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）计算： (1)； (2)． 15．（8分）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 16．（8分）对于一种新运算“⊙”，请观察下列各式，并完成问题： ①； ②； ③； ④； (1) ； (2)求的值． 17．（8分）如下表是某市机动车道路泊位收费标准： 停车场地等级 白天（）（元/辆·小时） 夜间（次日）（元/辆） 备注 一级 10 5 （1）白天时段停车1小时内按1小时计费，超过1小时后以半小时为计费单位，收费标准相应减半． （2）夜间时段内停车，不论时间长短，均按每辆5元计费． 二级 8 三级 6 (1)某天下午，在社区工作的王阿姨开车去超市（地处二级场地），付了20元停车费，这次购物最多花了多长时间？ (2)当天傍晚，王阿姨又去了社区（地处三级场地），她把车停在小区外的道路泊车位上，下车时是傍晚6点整，晚上9点20分开车离开，王阿姨这一天一共需要缴纳停车费多少元？ 18．（8分）某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示： 售出件数 7 6 5 5 4 3 售价/元 +2 0 问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 19．（8分）贝贝为了计算的值，作了如下探究： ，， ，将这三个等式的两边相加， 得到． (1)请帮贝贝计算的值； (2)请直接写出的值，_______． (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值． ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新人教版七年级数学上 点拨*训练 第2章 第10讲 有理数的混合运算（解析版） 学习目标： 1．知道有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序. 2．会进行有理数的混合运算.(运算能力） 重点：有理数的混合运算顺序、运算法则和运算律的应用 难点：应用有理数的混合运算解决规律探究和实际应用问题. 老师告诉你 有理数混合运算注意事项： 1. 注意分清运算符号与性质符号，每一步运算都要先定符号，再确定绝对值。 2. 进行分数的乘除运算时，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法。 3. 能够运用运算律的一定要运用运算律简化计算。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1：有理数混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【新知导学】 例1-1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)14 (2)37 (3)0 (4)5 (5) (6)0 【分析】本题考查有理数的运算： （1）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可； （3）去绝对值后利用加法运算律进行简算即可； （4）除法变乘法，再利用乘法法则进行计算即可； （5）逆用乘法分配律进行计算即可； （6）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ； （3）原式= ； （4）原式 ； （5）原式 ； （6）原式 ． 【对应导练】 1．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的知识点是有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据有理数四则混合运算法则运算求解即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行运算即可； （3）根据有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律进行运算即可； （4）根据有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 2．下面是佳佳同学的一道题的解题过程： ，① ，② ，③ ，④ (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是_____； (2)请给出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)解答过程见解析． 【分析】（）根据解题过程即可判断； （）根据有理数的运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：佳佳同学开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）解： ． 知识点2：利用有理数混合运算解决实际问题 在实际问题中，将实际问题转化为数学问题的方法与小学列式计算解应用题一样，先根据实际问题分析题意，抓住能够表示运算关系的关键词语，列出算式，再根据有理数混合运算顺序计算解决问题。 【新知导学】 例2-1．一片牧场，每天在均匀生长，现在这片牧场可供120只羊吃20天或36头牛吃15天．如果一头牛吃的草量相当于4只羊吃的草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？ 【答案】这片牧场可供40头牛和32只羊吃10天 【分析】假设1只羊一天吃1份草，则1头牛一天吃4份草，利用生长量（较长时间长时间牛、羊一天吃草的份数较短时间短时间牛、羊一天吃草的份数）（长时间短时间）及总草量较长时间长时间牛、羊一天吃草的份数较长时间生长量，可求出生长量及总草量，再利用时间总草量头牛和32只羊一天吃草的份数生长量），据此解答．本题考查了牛吃草的问题，根据各数量之间的关系，求出牧场的总草量及生长量是解题的关键． 【详解】解：假设1只羊一天吃1份草，则1头牛一天吃4份草，生长量为： （份 总草量为： （份 这片牧场可供40头牛和32只羊吃的时间为： （天 答：这片牧场可供40头牛和32只羊吃10天． 【对应导练】 1．刘老师家准备买一套商品房，房子总价是300万元．若一次性付清，则可以打九五折；若分期付款，则需交首付款120万元，且每月有7500元房贷，需还20年．选择贷款买房比一次性付清最终要多交多少钱？ 【答案】15万元 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，要掌握折扣的意义是解题的关键． 由题意可得：一次性付清需要万元，分期付款需要元，据此相减并计算即可． 【详解】解：（元）=15（万元）． 答：选择贷款买房比一次性付清最终要多交15万元． 2．一出租车一天下午2小时内 以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：，，，，，． (1)该车2小时内最远时在鼓楼什么方向?离鼓楼多远?将最后一名乘客送到目的地，该车在出发地什么方向?离出发地多远? (2)若每公里收费为3元，且每百公里耗油10升，汽油价格每升6元，那么该司机这2小时除去汽油费后收入是多少? (3)司机每天还要向出租车公司上交180元的管理费，若一天按照工作8小时计算，一月安28天算，问该司机辛苦一个月后的收入约为多少元? 【答案】(1)该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里 (2)84元 (3)4368元 【分析】此题考查了有理数加减混合运算的应用，正数与负数，以及绝对值，弄清题意是解本题的关键． （1）将记录的数字相加得到结果，即可做出判断； （2）将记录的数字绝对值相加得到总路程数，算出总收入-汽油费，即可解答； （3）计算出司机的总收入-所交的管理费，即可解答． 【详解】（1）解：送完第1名乘客，离出发地（鼓楼）的距离为9公里， 第2名：（公里）， 第3名：（公里）， 第4名：（公里）， 第5名：（公里）， 第6名：（公里）， 则，该车2小时内最远在鼓楼的东方，离鼓楼有9公里，将最后一名乘客送到目的地，该车在鼓楼的东方，离出发点3公里； （2）（公里）， （元），（元）， （元）， 答：该司机这2小时除去汽油费后收入是84元． （3）（元） 答：该司机辛苦一个月后得收入约为4368元． 3．老王在上星期五以每股10元的价格买进某种股票1000股，该股票的涨跌情况如下表（单位：元）（注：每天的涨跌价是以上一天的收盘价为基础） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期五收盘时，每股是____元； (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)已知股票卖出时需付成交额的手续费和的交易税，如果老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)最高元，最低元 (3)老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，有元的收益 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，提供的是生活中常见的一个表格，包含了多种信息，关键是从中找出解题所需的有效信息，排除其他信息的干扰，构建相应的数学模型解决问题． （1）把表格中一星期五天所对的数字相加，得出每股的涨跌情况，把所得的结果与10相加可得星期五收盘时每股的价钱； （2）分析表格发现星期五股价最高，由（1）即可得出每股的最高价；星期三股价最低，先求出每股的涨跌情况，与10相加可得最低和最高的股价； （3）用星期五的股价股数买入时的股价股数星期五的股价股数计算出结果，即可得到老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，他的收益情况． 【详解】（1）解：根据表格可知：星期五收盘时，每股的涨跌情况为： ， 则星期五收盘时，每股为（元）； 故答案为：； （2）解：星期每股的涨跌情况为： 星期二每股的涨跌情况为：， 星期三每股的涨跌情况为：， 星期四每股的涨跌情况为：， 星期五每股的涨跌情况为：， 本周星期五股价最高，每股为元； 星期三股价最低，每股为元元； （3）解： （元）． 则老王在星期五以收盘价将股票全部卖出，有元的收益． 知识点3：利用有理数混合运算解决新定义问题、程序问题 解决新定义运算问题，主要就是把新定义的运算转化为已学过的有理数混合运算，新定义问题一般都是以字母的形式呈现的，计算时用数代替字母列出有理数运算的算式即可。 【新知导学】 例3-1．按下列所示的程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．15 B．25 C．235 D．255 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据计算程序计算即可． 【详解】解：输入，则， 再把代入计算，得， 再把代入计算，得， 即输出结果， 故选：D． 【对应导练】 1．按下列图示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是（     ） A．6 B．21 C．115 D．231 【答案】D 【分析】观察图示我们可以得出关系式为：，因此将的值代入就可以计算出结果．如果计算的结果等于100则需要把结果再次代入关系式求值，直到算出的值为止，即可得出的值．解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序．一要注意结果才可以输出，二是当等于100是就是重新计算，且输入的就是这个数． 【详解】解：依据题中的计算程序列出算式：由于， 应该按照计算程序继续计算， 应该按照计算程序继续计算， 输出结果为231． 故选：D． 2．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1)21 (2)15 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 3．定义一种运算：，求 【答案】45 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 2、 题型训练 1.有理数的混合运算 1．计算：（1） （2） 【答案】（1）    ；（2） 【分析】（1）先去绝对值，同时把除变乘，再计算乘法，最后加减即可 （2）先计算乘方和括号内的，把除变乘，再计算乘法，最后加减法即可 【详解】（1） = = =-12 （2） = = =0 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． 2．计算 （1）(-1)2019+0.25×(-2)3+4÷      （2） 【答案】（1）3；（2）-2 【分析】（1）先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减运算，即可得到答案； （2）先计算乘方，然后计算乘除，再计算加减运算，即可得到答案； 【详解】解：（1）原式=-1+0.25×（8）+6 =12+6 =3； （2）原式= =3+68+3 =2； 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算． 2.利用有理数混合运算解决实际问题 3．某公司在去年一年的销售中，盈亏情况如下表（盈利为正，单位：万元）： 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 2 2 2 1.7 1.7 1.7 1.7 （1）盈利最多的一个月与亏损最多的一个月相差______万元； （2）这个公司去年是盈利还是亏损？盈亏多少？ 【答案】（1）4.3；（2）盈利3.7万元 【分析】（1）用盈利最多的月利润减去亏损最多的月利润即可； （2）根据题意列式求出一年的盈利与亏损的和，进一步根据计算结果判定即可． 【详解】解：（1）由题意知，盈利最多的月利润为2万元，亏损最多的月利润为-2.3万元， 2-（-2.3）=4.3（万元）． 故答案为：4.3； （2） ∵ ∴公司去年盈利了，盈利3.7万元． 【点睛】本题考查正数和负数、有理数混合运算的实际运用，理解题意，列出算式是解决问题的关键． 4．某商店经销一种品牌的空调，其中某一型号的空调每台进价为1000元，商店将进价提高30%后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号空调的零售价为 元． 【答案】1170 【分析】先求出销售价格为元，再求出打折后的价格元，即可． 【详解】根据题意可知此时零售价为元． 故答案为：1170． 【点睛】本题考查有理数的混合运算的实际应用．正确理解题干的含义列出算式是解答本题的关键． 3.利用有理数混合运算解决新定义问题 5．我们定义一种新运算，规定，例如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据☆的含义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出1☆的值为多少即可． 【详解】解：1☆ 故答案为： 6．若“△”表示一种新运算，规定△，则2△△的值是 ． 【答案】17 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵△， ∴△， ∴2△△ △ 故答案为：17． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 4.利用有理数混合运算解决程序问题 7．按照如图所示的操作步骤，若输入值为，则输出的值为（    ） A．28 B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题实际考查的知识点是有理数的混合运算．把代入操作程序中计算即可得出结果，确定输出的值． 【详解】解：∵， ∴把代入得出，， 故选：A． 8．一个数字转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是 ；若输入5，那么输出的结果是 ．    【答案】 14 15 【分析】本题考查有理数的计算．根据工作原理图，先算平方，再判断是否大于8，再计算下一步输出结果． 【详解】解：若输入， ∵， ∴， 所以输出的结果是14； 若输入5， ∵， ∴， 所以输出的结果是15； 故答案为：14；15． 3、 课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．下列各式计算正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是一道关于有理数混合运算的题目，解答本题的关键是熟练掌握有理数的运算顺序． 按照有理数混合运算的运算顺序逐个运算对每个选项进行判断即可． 【详解】解：A.，故不正确； B.，故不正确； C.，故不正确； D.，故正确． 故选：D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用有理数的相应的法则对各项进行运算即可求解．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．幼儿园老师给小班的小朋友分糖果如果每人分7颗则还差6颗，如果每人分6颗则多出7颗，那么共有糖果（    ）颗． A．85 B．84 C．83 D．82 【答案】A 【分析】本题主要考查整数的混合运算，涉及到人数等于总差额除以没人两次差额，根据题意可知第二次相比第一次每人少1颗，两次分配总差额为颗，即可求得人数，进一步求得糖果数即可． 【详解】解：第一次每人分7颗，第二次每人分6颗，则第二次相比第一次每人少1颗，两次分配总差额为颗， 则人数为， 那么，糖果数量为， 故选：A． 4．小林一家五口去餐馆用餐，平均每人消费60元，爸爸去结账时，服务员告诉他有两种方式：方式一是美团，有58元抵100的抵用券，每桌限用2张，其余部分另外支付；方式二是享受八折优惠．哪种方式支付更划算呢？（    ）． A．方式一 B．方式二 C．两种方式价格相同 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据各数量之间的关系，求出按两种支付方式支付所需费用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：按方式一支付所需费用为（元）； 按方式二支付所需费用为（元）． ∵， ∴按方式一支付更划算． 故选：A． 5．定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．先根据新定义的运算求出的值，再比较即可． 【详解】解： ， 故选：C． 6．现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义情境下的有理数的加减乘除运算，弄懂新定义的含义是解题的关键．根据新定义的运算法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 7．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为3，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了流程图与有理数的运算，根据题目所给出的运算程序进行计算得出规律即可．熟练掌握有理数的相关运算法则，根据运算结果得出数字的变化规律是解本题的关键． 【详解】解：输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是偶数，则输出． 输入，是奇数，则输出 依次类推，输出分别以、、、、、循环． ． 故第次输出的结果是． 故选：B． 8．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．规定一种新运算：，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 先根据定义计算出，再计算即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案为：2． 10．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式逆用乘法分配律计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．华夏旅游公司出租大客车每辆每天1000元，限乘40人；小客车每辆每天650元，限乘25人．育英小学115名师生去参观历史博物馆，如果租用以上两种客车，最低费用为 元． 【答案】2950 【分析】本题根据需要乘车的人数及每种车的限载人数、租金进行分析计算即可：大客车每天每辆租金1000元，限乘坐40人，则每人需要元；小客车每天每辆租金650元，限乘坐25人，则每人需要元．所以大客的成本较低．由此可知，在尽量满载的前提下，多租用大车最省钱．由于，即租用一辆大车，3辆小车每辆车都能满载没有空座．这样租车最省钱，需要元．本题考查了有理数的混合运算的应用，通过分析明确在尽量满载的前提下，多租用大车最省钱是完成本题的关键． 【详解】解：（元 （元 ；所以大客的成本较低； 由此可知，在尽量满载的前提下，多租用大车最省钱． 由于，即租用一辆大车，3辆小车每辆车都能满载没有空座． 这样租车最省钱，需要（元． 答：最低费用为2950元． 故答案为：2950． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方和括号，再算乘除即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13．定义一种对正整数n的“F运算”：（1）当n为奇数时，结果为；（2）当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取，则：   若，则第2023次“F运算”的结果是 ． 【答案】 【分析】根据新定义规定的运算法则分别计算出第1、2、3、．．．次的运算结果，即可发现从第次开始，每次运算为一个周期循环，据此可求解． 【详解】解：由题意得 当时， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 第次运算结果：， 后面按，循环， ， 第2023次“F运算”的结果与第次运算结果相同，为； 故答案：． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，首先要根据题目的要求计算出几个结果，然后利用结果找出循环规律是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共48分） 14．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，运用乘法分配律进行简便运算是解题关键． （1）运用乘法分配律进行有理数计算即可； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减，依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（8分）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 ． 解法②： 原式 ． 解法三： 原式的倒数为： ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则即可判断解法的正确性； （2）运用有理数的除法运算法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，运算是最简便的，只有解法三符合这种运算法则，根据有理数除法的运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解：三种解法中得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③运用了有理数的除法的运算法则，比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 16．（8分）对于一种新运算“⊙”，请观察下列各式，并完成问题： ①； ②； ③； ④； (1) ； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）根据题意找出规律，再进行计算即可； （2）先算出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ……， 以此类推，可知， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 17．（8分）如下表是某市机动车道路泊位收费标准： 停车场地等级 白天（）（元/辆·小时） 夜间（次日）（元/辆） 备注 一级 10 5 （1）白天时段停车1小时内按1小时计费，超过1小时后以半小时为计费单位，收费标准相应减半． （2）夜间时段内停车，不论时间长短，均按每辆5元计费． 二级 8 三级 6 (1)某天下午，在社区工作的王阿姨开车去超市（地处二级场地），付了20元停车费，这次购物最多花了多长时间？ (2)当天傍晚，王阿姨又去了社区（地处三级场地），她把车停在小区外的道路泊车位上，下车时是傍晚6点整，晚上9点20分开车离开，王阿姨这一天一共需要缴纳停车费多少元？ 【答案】(1)2.5小时 (2)17元 【分析】（1）20元包括二级场地第一个小时的8元，那么接下来的时间按半小时收费，每小时收费（元），那么按半小时收费的钱数是（元），（个）半小时共1.5小时，则最多一共停车（小时）． （2）傍晚6点到晚上8点2个小时按白天时段收费，是（元），晚上八点到晚上属于夜间时段，不管多久共收费5元，则总共花费（元）． 此题考查有理数四则混合运算的实际应用，计费问题，解决问题的关键在于确认不同场地不同时间段的收费标准，其次是确认停放时间，分段收费． 【详解】（1）解： （小时） （小时） 答：这次购物最多花了2.5小时． （2）解：依题意， （元） 答：停车费一共17元． 18．（8分）某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示： 售出件数 7 6 5 5 4 3 售价/元 +2 0 问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 【答案】472元 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱． 【详解】解：如表格， ， ∵， ∴， ∴售完这30件连衣裙后，赚了472元． 19．（8分）贝贝为了计算的值，作了如下探究： ，， ，将这三个等式的两边相加， 得到． (1)请帮贝贝计算的值； (2)请直接写出的值，_______． (3)聪明的贝贝将算式类比到如下形式，请计算该算式的值． ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据变化规律将算式展开后即可求解； （）根据变化规律将算式展开后即可求解； （）通过类比找出变化规律“”，依此规律将算式展开后即可得出结论； 本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，利用类比的数学思想解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ∴； （2）同上理： ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$