精品解析：北京市第五十五中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题

2024-2025学年北京五十五中初三(上)开学考数学 一、选择题 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，6，7 D. 6，8，9 4. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 5. 已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 0.65 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，平分交于点．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 10 D. 8 9. 珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系： 销售量x（件） 100 110 120 130 … 月工资总额w（元） … 求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法： 方法一： 建立w与x的函数关系式： 由，求得x范围． 方法二： 月工资因计件提成不同而不同， 由，求得x的范围． 下列判断正确是（ ）． A. 方法一的思路正确，函数表达式也正确 B. 方法一的思路和函数表达式都不正确 C. 方法二的思路正确，所列不等式也正确 D. 方法二的思路和所列不等式都不正确 10. 如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（ ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 11. 若二次根式有意义，则x取值范围是_________． 12. 如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为_______． 13. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为______． 14. 如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为______． 15. 若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是______．（填“＞”，“＝”或“＜”）． 16. 已知一组数据： 6，7，8，4，3，则这组数据的中位数是______． 17. 如图，在矩形中，将沿折叠，点B的对应点为E，交于点F，，则的长为______． 18. 如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______． 三、解答题： 19. 计算： 20. 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法： ①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、． 则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据__________________； ②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________． 21. 如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC垂足分别是E、F． 求证：四边形DEBF是平行四边形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点． （1）求点B的坐标． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系．下表是测得的身高与“一拃长”一组数据： 一作长 16 17 18 19 身高 162 172 182 192 （1）按照这组数据，求出身高与一拃长之间的函数关系式； （2）某同学一拃长为，求他的身高是多少？ （3）若某人的身高为，一般情况下他的一拃长应是多少？ 24. 为调查了解学校选报引体向上的初三男生的成绩情况，工作人员随机抽测了两个分校区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了两幅不完整的统计图．你根据图中的信息，解答下列问题： （1）计算扇形图中的值，并补全条形图； （2）分别写出在这次抽测中，测试成绩的众数为_____个，中位数为_____个； （3）若在体育中考中学校选报引体向上的男生共有800人，按照长沙市体育中考标准，引体向上完成6个，该项即可得到14分，请你估计在学校选报引体向上的男生能获得14分及以上的有多少人？ 25. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 26. 一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 27. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北京五十五中初三(上)开学考数学 一、选择题 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意． B．中含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C．中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：C 3. 在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 4，6，7 D. 6，8，9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 C. 有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 D. 一个角为且一组邻边相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断．根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：A.一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，此项不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，此项符合题意； C.有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，此项不符合题意； D.一个角为且一组邻边相等的四边形不一定是正方形，此项不符合题意． 故选：B． 5. 已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的增减性求参数，根据正比例函数的性质可得，解出a的值即可． 【详解】解：∵函数中y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故选：B． 6. 甲、乙、丙、丁四名运动员参加射击项目选拔赛，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9.9 9.5 8.2 8.5 0.09 065 0.16 2.85 根据表中数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据平均数和方差作决策，重点考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：由表中数据可知，射击成绩的平均数最大的是甲，射击成绩方差最小的也是甲， 从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲， 故选：A． 7. 《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设折断后的竹子高度为x尺，根据各部分的长，可得出折断部分的竹子长尺，利用勾股定理，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，在中，平分交于点．若，，则的周长为（ ） A. 16 B. 14 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，等角对等边，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得是解题的关键． 首先根据平行四边形的性质得到，，结合角平分线的概念得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵在中， ∴， ∴ ∵平分交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴周长为． 故选：A． 9. 珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系： 销售量x（件） 100 110 120 130 … 月工资总额w（元） … 求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法： 方法一： 建立w与x的函数关系式： 由，求得x的范围． 方法二： 月工资因计件提成不同而不同， 由，求得x的范围． 下列判断正确的是（ ）． A. 方法一的思路正确，函数表达式也正确 B. 方法一的思路和函数表达式都不正确 C. 方法二的思路正确，所列不等式也正确 D. 方法二的思路和所列不等式都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意可得，再根据，可得，即，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知， ∵珍珍爸爸的月收入不低于5000元， ∴，则，即， ∴方法一的思路正确，函数表达式错误，方法二的思路正确，所列不等式也正确， 故选：C． 10. 如表所示，取一次函数的部分自变量的值和对应的函数值，根据信息，下列说法正确的个数是（ ） 0 2024 ①；②当时；③；④不等式的解集是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系及一次函数的增减性是解决本题的关键．根据表格数据逐项判定即可求解． 【详解】解：①由表格可知，时，， ∴， 即．故本选项说法正确，符合题意； ②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴当时，故本选项说法正确，符合题意； ③由表格可知，时，，即， ∴，故本选项说法错误，不符合题意； ④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大， ∴不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有3个． 故选：C 二、填空题 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出关于的不等式是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件求出的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 则的取值范围是：． 故答案为：． 12. 如图，在数轴上，点表示的数为，与数轴垂直，且，以原点为圆心，为半径的圆交数轴于点（点在点的右侧），则点表示的数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴点P表示的数为， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，，，则的度数为______． 【答案】135 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 14. 如图是一块菱形花坛，沿着它的对角线修建的两条小路的长分别为和，则这个菱形花坛的面积为______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是记住菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴菱形的面积． 故答案为：42． 15. 若点，在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是______．（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的增减性，正确理解一次函数的增减性是解题的关键．对于一次函数，，所以随着x的增大而减小，由，可知． 【详解】对于一次函数， ， 随着x的增大而减小， ， ． 故答案为：． 16. 已知一组数据： 6，7，8，4，3，则这组数据的中位数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数．根据中位数的求法解答，即可求解． 【详解】解：把这组数据从大到小排列为：3，4，6，7，8，位于正中间的数为6， ∴这组数据的中位数是6． 故答案为：6 17. 如图，在矩形中，将沿折叠，点B的对应点为E，交于点F，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形折叠问题，解题的关键是掌握全等三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质． 由矩形性质得，，；根据勾股定理，求出．再根据折叠的性质，全等三角形的判定和性质，得，则，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠得到， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 故答案为：． 18. 如图，将正方形ABCD置于平面直角坐标系中，其中A（1，0），D（﹣3，0），AD边在x轴上，直线L：y＝kx与正方形ABCD的边有两个交点O、E，当3＜OE＜5时，k的取值范围是_______． 【答案】k＞2或k＜0且k≠﹣ 【解析】 【分析】设BC与y轴交于点M，由OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3，可得E点不在AD边上，即k≠0，分k＞0与k＜0两种情况进行讨论． 【详解】解：如图，设BC与y轴交于点M， ∵OA＝1＜3，OD＝3，OE＞3， ∴E点不在AD边上， ∴k≠0， ①如果k＞0，那么点E在AB边或线段BM上， 当点E在AB边且OE＝3时， 由勾股定理得， ∴AE＝， ∴E（1，）， 当直线y＝kx经过点（1，）时，k＝， ∵， ∴OB=＜5， 当点E在线段BM上时，OE＜OB=＜5， ∴k＞，符合题意； ②如果k＜0，那么点E在CD边或线段CM上， 当点E在CD边且OE＝3时，E与D重合； 当OE＝5时，由勾股定理得 ， ∴DE＝4， ∴E（﹣3，4），此时E与C重合， 当直线y＝kx经过点（﹣3，4）时，k=， 当点E在线段CM上时，OE＜OC＝5， ∴k＜0且k，符合题意； 综上，当3＜OE＜5时，k的取值范围是k＞或k＜0且k≠． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，一次函数图像与系数的关系，一次函数图像上点的坐标特征，利用数形结合与分类讨论是解题的关键． 三、解答题： 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 20. 下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程． 已知：矩形． 求作：菱形，使． 作法： ①作的角平分线； ②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E； ③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、． 则四边形即为所求作的菱形． （1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）填空： ①四边形是菱形的依据__________________； ②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________． 【答案】（1）见解析 （2）①四条边都相等四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）根据作法可知：，由此即可得出四边形是菱形 （2）根据菱形和矩形性质可证明，，继而判定四边形是平行四边形. 【小问1详解】 解：如图所示， ， 【小问2详解】 ①由作法可知：， ∴四边形是菱形， 依据是：四条边都相等的四边形是菱形； ②连结、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 故答案为：①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【点睛】本题考查了基本尺规作图（作线段等于已知线段）、平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质、正确的识别图形是解题的关键． 21. 如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，DE⊥AC，BF⊥AC垂足分别是E、F． 求证：四边形DEBF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质可得 ，再由DE⊥AC，BF⊥AC，可得 ， ，可证 ，从而得到 ，即可求证． 【详解】解：∵AC是平行四边形ABCD的一条对角线， ∴ ， ， ∴ ， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴ ， ， 在 和 中， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴四边形DEBF是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，与直线相交于点． （1）求点B的坐标． （2）求的面积． （3）在直线上是否存在一点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点M的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，根据一次函数解析式，求三角形的面积，解题的关键是数形结合． （1）把代入，求出点B的坐标即可； （2）先求出点，然后求出的面积即可； （3）设点M的坐标为，根据，得出，求出a的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：在中，令，得：， 解得：， 点B的坐标为． 【小问2详解】 解：在中，令，则， 点， ． 【小问3详解】 解：存在．设点M的坐标为． ， ， ． 当时，点的坐标是； 当时，点的坐标是． 综上所述，点M的坐标为或． 23. 如图，大拇指与食指尽量张开时，两指尖的距离称为“一拃长”，某项研究表明身高与“一拃长”成一次函数关系．下表是测得的身高与“一拃长”一组数据： 一作长 16 17 18 19 身高 162 172 182 192 （1）按照这组数据，求出身高与一拃长之间的函数关系式； （2）某同学一拃长为，求他的身高是多少？ （3）若某人的身高为，一般情况下他的一拃长应是多少？ 【答案】（1）身高与一拃长之间的函数关系式为； （2）他的身高是； （3）他的一拃长应是． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）设，用待定系数法可得身高与一拃长之间的函数关系式为； （2）在中，令得，故他的身高是； （3）在中，令得，，故他的一拃长应是． 【小问1详解】 解：由题意得：h是关于d的一次函数，设， 把，代入得：， 解得， 身高与一拃长之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：在中，令得， 他的身高是； 【小问3详解】 解：在中，令得， 解得， 他的一拃长应是． 24. 为调查了解学校选报引体向上的初三男生的成绩情况，工作人员随机抽测了两个分校区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了两幅不完整的统计图．你根据图中的信息，解答下列问题： （1）计算扇形图中的值，并补全条形图； （2）分别写出在这次抽测中，测试成绩的众数为_____个，中位数为_____个； （3）若在体育中考中学校选报引体向上的男生共有800人，按照长沙市体育中考标准，引体向上完成6个，该项即可得到14分，请你估计在学校选报引体向上的男生能获得14分及以上的有多少人？ 【答案】（1），补图见解析 （2）5；5 （3）估计在学校选报引体向上的男生能获得14分及以上的有360人 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图与扇形统计图，求众数，中位数，利用部分的比例求总体中的数量， （1）用1减去其他测试成绩的百分比得到6个的百分比，求出a的值；利用3个的数量及百分比求出总人数，得到6个的人数，即可补图； （2）根据众数和中位数确定即可； （3）利用总人数800乘以6个和7个的百分比的和即可 【小问1详解】 解：， 调查总人数为， 6个的人数为， 补图如下： 【小问2详解】 测试成绩中，成绩为5个的最多，为60人，故众数为5， 第100和101个数据为5个，5个，故中位数是， 故答案为：5,5； 【小问3详解】 ， ∴估计在学校选报引体向上的男生能获得14分及以上的有360人 25. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，由勾股定理得，则，然后由矩形的性质得，由勾股定理求得即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 26. 一次函数图象与一次函数图象平行，且函数图象经过点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于自变量x的每一个值，一次函数的值均大于值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移及一次函数与一次不等式的关系，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）根据两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与一次函数图象平行， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； 【小问2详解】 解： 一次函数图象经过点， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值均大于一次函数的值， ∴． 27. 在正方形中，E是边上的一个动点（不与点B，C重合），连接，P为点B关于直线的对称点． （1）连接，作射线交射线于点F，依题意补全图1． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②用等式表示线段，和之间的数量关系，并证明； （2）已知，连接，若，M，N是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】（1）补全图形见解析，①；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形，由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出 ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证． （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【小问1详解】 解：补全图形如下： ①∵点P与点B关于直线对称 ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ ②过点A作于点G，如下图：则 ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴， 即． 小问2详解】 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则, ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且， 则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟悉正方形和等腰三角形的性质，作出辅助线和利用动态的思想找到对应的最小值． 28. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等积点．已知点． （1）在，，中，点P的等积点是 ． （2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． （3）已知点和点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段上的每一点A，在线段上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】(1)根据定义，计算确定即可． (2)根据平行四边形的性质，运用平移的思想分类计算即可． (3)根据定义，确定等积点的范围，利用正方形的性质，确定四个顶点的坐标，根据性质建立不等式计算即可． 【小问1详解】 ∵，，，， ∴，，， ∴点P等积点是， 故答案为：． 【小问2详解】 设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， ∴点， 当点O平移得到点P时，平移规律是向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 当点P平移得到点O时，平移规律是向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形， ∴点向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C， ∴点， ∵点在x轴上， ∴点， 解得， ∴点； 综上所述，点或． 【小问3详解】 设点， ∵，点Q是P点的等积点， ∴即， 故点Q在直线上， 设点B的等积点坐标， ∵， ∴即， 故点B的等积点在直线上， ∵点，点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点， 设该正方形为，则， ∵为的等积点，在上， ∴每一点A在直线与直线在第一象限交成的锐角内部或边上， 当在直线上时，m取得最小值， 故， 解得； 当在直线上时，m取得最大值， 故， 解得； 故m的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义问题，平行四边形的判定，平移规律，正方形的性质，正确理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$