新课预习衔接：循环小数 （讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

循环小数 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1、一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 2、一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 3、循环小数的表示方法 方法一：写循环小数时，写出至少两个循环节后用一半的省略号表示以后的循环节。例如： 5.333 … ；2.08181…。 方法二：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。例如： 5.333 …写作5.3， 2.08181…写作2.081 ， 6.9258258 …写作6.9258。 4、小数部分的位数有限的小数是有限小数，小数部分的位数无限的小数是无限小数。 第三部分 典型例题 例题1：2÷7的商的小数点后2017位数字的和是多少 【分析】先求出2÷7的商，是一个循环小数，循环节是8571，说明每6个数字一个循环，再求出小数点后面2017位里面有多少个6，就有多少个（2+8+5+7+1+4），再根据余数，进一步确定余数是下一个循环的前几个，进而解决问题． 【解答】解：2÷7＝0. 8571， 每6个数字一个循环， 小数点后面2017位数字共有2017÷6＝336……1， 所以小数点后面2017位各位上的数字的和是： 336×（2+8+5+7+1+4）+2 ＝336×27+2 ＝9072+2 ＝9074． 答：2÷7商的小数点后面2017个数字和是9074． 【点评】考查了算术中的规律，此题属于周期问题，最后的余数是解决问题的关键，最后的余数是下一个周期的前几个，先探索周期的变化规律，再根据规律和余数解答，求出问题． 例题2：循环小数3.643643643…的小数部分第50位上的数字是几？ 【分析】循环小数的循环节为643位，用50除以3，求出余数，从而得出，第50位小数和循环节中第几位小数相同。 【解答】解：50÷3＝16……2 所以，第50位上的数字和第2位上的数字相同，即为4。 【点评】本题主要考查了循环小数中循环节的规律，需要学生熟练掌握。 例题3：仔细观察下面的循环小数，说说你发现了什么． 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… 5÷11＝0.4545… 6÷11＝0.5454… 根据以上的结果，你可以推断下面的结果吗？试试看，然后再验证一下． 7÷11＝ 8÷11＝ 9÷11＝ 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变； 除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商就扩大或缩小相同的倍数（0除外）； 被除数不变，除数扩大则商反而缩小，除数缩小商就扩大，而且倍数也相同（0除外）； 据此解答即可． 【解答】解：根据商的变化规律可知， 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… 5÷11＝0.4545… 6÷11＝0.5454… 7÷11＝0.6363… 8÷11＝0.7272… 9÷11＝8181… 【点评】此题考查了商的变化规律的灵活运用． 第四部分 高频真题 一．填空题（共5小题） 1．（2024春•杨浦区期中）300÷11的商用循环小数表示是 　 　，用“四舍五入”法凑整到百分位是 　 　。 2．（2023秋•华容县期末）小数8.727727……的循环节是 　 　，用简便形式写作 　 　，保留两位小数约是 　 　。 3．（2023秋•莒县期末）1.6÷11的商用循环小数表示简写成 　 　，保留三位小数是 　 　。 4．（2023秋•淮北期末）9÷22的商用循环小数的简便记法表示为 　 　，它的小数部分第11位上的数是 　 　。 5．（2023秋•通道县期末）在5.22525……这个循环小数还可以简写是 　 　，循环节是 　 　。 二．计算题（共3小题） 6．（2021•宁波模拟）计算：0.+0.125+0.+0.1，结果保留三位小数。 7．（2021•宁波模拟）计算： （1）0.5+0. （2）1.×1.+ 8．不计算，试着写出下面各题的商，再用计算器验算。 10÷9＝ 11÷9＝ 12÷9＝ 13÷9＝ 14÷9＝ 15÷9＝ 16÷9＝ 17÷9＝ 18÷9＝ 19÷9＝ 三．应用题（共2小题） 9．（2022秋•大田县期中）用计算器计算1÷7，结果如图。请完成下列问题。 （1）根据1÷7的商进行推理，那么20÷7的商是多少？ （2）小数点向右数几位数，就称为几位小数。在1÷7、2÷7、3÷7、4÷7、5÷7、6÷7中，任意一个算式的商的第2022位小数上的数有可能是3吗？请说明理由。 参考答案与试题解析 一．填空题（共5小题） 1．（2024春•杨浦区期中）300÷11的商用循环小数表示是 　27.　，用“四舍五入”法凑整到百分位是 　27.27　。 【专题】综合填空题；运算能力． 【答案】27.；27.27。 【分析】从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数，叫作循环小数，循环小数的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去，而在第一个循环节首末两位上方各添一个小点。由于300÷11＝27.272727……，商用循环小数的简便记法表示是27.；根据四舍五入的取近似数的方法可知，保留两位小数约是27.27。 【解答】解：300÷11＝27.272727……，即商用循环小数的简便记法表示是27.；用“四舍五入”法凑整到百分位是27.27。 故答案为：27.；27.27。 【点评】本题重点考查了循环小数的记法及按要求取近似值的方法。 2．（2023秋•华容县期末）小数8.727727……的循环节是 　727　，用简便形式写作 　8.2　，保留两位小数约是 　8.73　。 【专题】数感． 【答案】727；8.2；8.73。 【分析】找出循环小数中依次不断重复的数字，即循环节；在循环节首尾两个数字的上边点上圆点即可写出循环小数的简便形式；保留两位小数，就是精确到百分位，要看千分位上是几，利用“四舍五入”求出近似值即可。 【解答】解：小数8.727727…的循环节是727，用简便形式写作8.2，保留两位小数约是8.73。 故答案为：727；8.2；8.73。 【点评】本题考查循环小数的认识以及小数的近似数的改写。 3．（2023秋•莒县期末）1.6÷11的商用循环小数表示简写成 　0.1　，保留三位小数是 　0.145　。 【专题】数感． 【答案】0.1，0.145。 【分析】根据题意，首先计算出1.6除以11的商，再找出小数部分依次不断重复的数字，小数部分依次不断重复出现的数字就是循环节，保留三位小数，即精确到千分位，看小数点后面第四位，运用“四舍五入”法进行解答即可。 【解答】解：1.6÷11＝0.1 答：1.6÷11的商用循环小数表示简写成0.1，保留三位小数是0.145。 故答案为：0.1，0.145。 【点评】本题考查了循环小数以及求小数近似数知识，结合题意分析解答即可。 4．（2023秋•淮北期末）9÷22的商用循环小数的简便记法表示为 　0.4　，它的小数部分第11位上的数是 　9　。 【专题】数感． 【答案】0.4，9。 【分析】根据有余数除法的计算法则进行计算，找出重复出现的数字，即为循环节，再写出循环小数的简便写法。 用11减去1，再除以循环节的个数，没有余数，即为循环节的最后一个数。 【解答】解：9÷22＝0.4090909…… （11﹣1）÷2＝5 答：9÷22的商用循环小数的简便记法表示为0.4，它的小数部分第11位上的数是9。 故答案为：0.4，9。 【点评】本题考查循环小数的认识以及写法。 5．（2023秋•通道县期末）在5.22525……这个循环小数还可以简写是 　　，循环节是 　25　。 【专题】计算题；运算能力． 【答案】；25。 【分析】根据循环节的定义，循环节是指如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位置的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。循环小数的简写是在循环节的第一位数字和最后一位数字的上面点上一点即可。 【解答】解：在5.22525…这个循环小数还可以简写是，循环节是25。 故答案为：；25。 【点评】题重点考查了循环小数的记法及循环节的意义与辨识。 二．计算题（共3小题） 6．（2021•宁波模拟）计算：0.+0.125+0.+0.1，结果保留三位小数。 【专题】小升初与竞赛专题；计算问题（巧算速算）；能力层次． 【答案】0.736。 【分析】把小数都化为分数，纯循环小数化分数的方法：所求分数的分子是一个循环节所表示的数，分母的个位数字全是9，9的个数等于一个循环节里数字的个数； 混循环小数化分数的方法是：所求分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字所组成的数与小数部分中循环部分的数字所组成的数之差，分母的前几位数字是9，9后面的数字是0，9的个数和一个循环节中数字的个数相等，0的个数等于不循环部分的数字的个数。 【解答】解：0.+0.125+0.+0.1 ＝+++ ＝ ＝ ≈0.736 【点评】解决此题可把分数全部化为小数，关键是掌握循环小数化为分数的方法。 7．（2021•宁波模拟）计算： （1）0.5+0. （2）1.×1.+ 【专题】小升初与竞赛专题；计算问题（巧算速算）；能力层次． 【答案】，。 【分析】（1）先把循环小数化成分数，再进行加减运算即可； （2）先把循环小数化成小数，再按照运算顺序计算即可。 【解答】解：（1）0.5+0. ＝+ ＝+ ＝ （2）1.×1.+ ＝1×1+ ＝×+ ＝ 【点评】本题主要考查循环小数的乘法和分数加法的计算方法，一般把循环小数化成分数进行计算。 8．不计算，试着写出下面各题的商，再用计算器验算。 10÷9＝ 11÷9＝ 12÷9＝ 13÷9＝ 14÷9＝ 15÷9＝ 16÷9＝ 17÷9＝ 18÷9＝ 19÷9＝ 【专题】运算能力． 【答案】1.111……；1.222……；1.333……；1.444……；1.555……；1.666……；1.777……；1.888……；2；2.111……。 【分析】用计算器依次算出各算式的商，找出循环节，运用循环小数表示出商即可求解。 【解答】解： 10÷9＝1.111…… 11÷9＝1.222…… 12÷9＝1.333…… 13÷9＝1.444…… 14÷9＝1.555…… 15÷9＝1.666…… 16÷9＝1.777…… 17÷9＝1.888…… 18÷9＝2 19÷9＝2.111…… 【点评】本题考查了循环小数的认识以及计算器的应用，结合题意分析解答即可。 三．应用题（共2小题） 9．（2022秋•大田县期中）用计算器计算1÷7，结果如图。请完成下列问题。 （1）根据1÷7的商进行推理，那么20÷7的商是多少？ （2）小数点向右数几位数，就称为几位小数。在1÷7、2÷7、3÷7、4÷7、5÷7、6÷7中，任意一个算式的商的第2022位小数上的数有可能是3吗？请说明理由。 【专题】数据分析观念；运算能力． 【答案】（1）2.； （2）不可能是3。因为这几个算式里的小数都不含3。 【分析】（1）1÷7小数部分是142857的循环，20÷7小数部分是857142的循环； （2）分别求出1÷7、2÷7、3÷7、4÷7、5÷7、6÷7的商，然后再进一步解答即可。 【解答】解；（1）20÷7，商的整数部分是2，小数部分是857142的循环。 20÷7＝2. （2）1÷7＝0. 2÷7＝0. 3÷7＝0. 4÷7＝0. 5÷7＝0. 6÷7＝0. 观察可知这几个算式里的小数都不含3，所以在任意一个算式的第2022位小数上的数不可能是3。 【点评】本题主要考查了循环小数的意义。一个数的小数部分从某一位起，一个或者几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。 学科网（北京）股份有限公司 $$