3.6 三元一次方程组及其解法 课件 2025—2026学年沪科版数学七年级上册

第3章 一次方程与方程组 3.6 三元一次方程组及其解法 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.了解三元一次方程组的概念，会解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”思想，发展运算能力. 2.能用三元一次方程组解决某次实际问题. 课堂导入 5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50. 3x + 2y + z = 39， 2x + 3y + z = 34， x + 2y + 3z = 26. 二元一次方程组 由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组. 新知探究 下列方程组是三元一次方程组的是（ ） x + 2y = 1， y + 2z = 2， z + = 3. a + b + c = 1， a - b = 4， 4a – 2b + c = 7. x2 - 4 = 0， y + 1 = x， x – z = -3. -x + y + 3z = -1， x – y + z = 3， 2x + m - z = 0. A. B. C. D. B 知识点 三元一次方程组 新知探究 三元一次方程组满足的条件： （1）方程组中一共含有三个未知数； （2）每个方程必须是一次方程； （3）含有三个方程； （4）必须是整式方程. 知识点 三元一次方程组 新知探究 解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？ 思 考 知识点 三元一次方程组 新知探究 x + y + 2z = 3, ① -2x - y + z = -3, ② x + 2y - 4z = -5. ③ 例1 解方程组： 解: 先用加减消元法消去 x. ② + ①×2，得 y + 5z = 3. ④ ③ - ①，得 y - 6z = -8. ⑤ 知识点 三元一次方程组 新知探究 ④ - ⑤，得 11z = 11. 下面解由④⑤联立成的二元一次方程组. z = 1. ⑥ 将⑥代入④，得 y = -2. 将 y，z 的值代入①，得 x = 3. 所以 x = 3， y = -2， z = 1. y + 5z = 3. ④ y - 6z = -8. ⑤ 知识点 三元一次方程组 新知探究 解下列三元一次方程组： （1） x + 3y + 2z = 2， ① 3x + 2y - 4z = 3，② 2x–y = 7. ③ 解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④ ③×8 + ④，得 21x = 63， 两边都除以 21，得 x = 3. 把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1. 把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①， 得 z = 1. 因此， 是原三元一次方程组 的解. x = 3. y = -1， z = 1 知识点 三元一次方程组 练一练 新知探究 （2） x + y - z = 2， ① 2x - y + 3z = 2， ② x–4y - 2z = -6. ③ 解：① + ②，得 3x + 2z = 4. ④ ①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤ ④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1. 把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5. 把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①， 得 y = 1.5. 因此， 是原三元一次方程组 的解. x = 1， y = 1.5， z = 0.5 知识点 三元一次方程组 解下列三元一次方程组： 新知探究 解三元一次方程组的思路： 三元一次 方程组 二元一次 方程组 二元一次 方程组 消元 消元 知识点 三元一次方程组 新知探究 解三元一次方程组的一般步骤： （1）消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另两个未知数的二元一次方程组. （2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值. （3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程. （4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值. （5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起，即是三元一次方程组的解. 知识点 三元一次方程组 新知探究 例2 某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 知识点 三元一次方程组 新知探究 （1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份， 请根据题意列出方程组； （2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数. 食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位 A 5 20 5 B 5 10 15 C 10 10 5 知识点 三元一次方程组 新知探究 解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得 5x + 5y + 10z = 35， ① 20x + 10y + 10z = 70， ② 5x + 15y + 5z = 35. ③ 知识点 三元一次方程组 新知探究 （2）由①得 x = 7-y-2z. ④ 将④代入②③，得 y + 3z = 7， ⑤ 2y – z = 0. ⑥ 解这个方程组，得 y = 1， z = 2. 将 代入④，得 x = 2. y = 1， z = 2 所以 x = 2， y = 1， z = 2. 答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份. 知识点 三元一次方程组 新知探究 例3 已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数. 解：设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得 x + y = 3， ① y + z = 6， ② x + z = 7. ③ ①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④ ④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1. 答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5. 知识点 三元一次方程组 随堂练习 【教材P127 练习 第1题】 1. 解下列方程组： （1） 3x + y - 4z = 13， 5x - y + 3z = 5， x + y–z = 3； （2） 3x - y + z = 4， 2x + 3y - z = 12， x + y + z = 6. x = 2， y = -1， z = -2. x = 2， y = 3， z = 1. 随堂练习 2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部. 【教材P127 练习 第2题】 随堂练习 解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部. x + y + z = 40， 3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000， x - z = 24. 根据题意，得 x = 28， y = 8， z = 4. 解方程组，得 答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部. 【教材P128 习题3.6 第1题】 1. 解下列方程组： x + y + z = 3， x + 2y + 3z = 6，2x + y + 2z = 5； （1） x + 2y = 9， y - 3z = -5， -x + 5z = 14. （2） x = 1， y = 1， z = 1. x = 1， y = 4， z = 3. 课后练习 课后练习 2x - 2y + z = 0， 2x + y - z = 1， x + 3y - 2z = 1. （3） 2x + 3y + z = 11， x + y + z = 6， 3x - y - z = -2. （4） x = 0， y = -1， z = -2. x = 1， y = 2， z = 3. 课后练习 2. 甲、乙、丙三个数的和为 44，甲的两倍比乙大 10，乙的 等于丙的 ，求这三个数. 【教材P128 习题3.6 第2题】 解: 设甲、乙、丙三个数分别为 x，y，z. 根据题意，得 解方程组，得 x = 14， y = 18， z = 12. x + y + z = 44， 2x - y = 10， y = z. 答: 甲、乙、丙三个数分别为 14，18，12. 【教材P128 习题3.6 第3题】 3. 在等式 y = ax2 + bx + c 中，当 x = -1 时 y = 0，当 x = 2 时 y = 3，当 x = 5 时 y = 60. 求 a，b，c 的值. 解：根据题意，得 解方程组，得 a = 3， b = -2， c = -5. a - b + c = 0， 4a + 2b + c = 3， 25a + 5b + c = 60. 故 a = 3，b = -2，c = -5. 课后练习 课后练习 4. 某饮食方案要求每天食谱中包含 100 单位的脂肪、200 单位的蛋白质、400 单位的淀粉. 现有三种食品 A，B，C，每份(50 g)含脂肪、蛋白质和淀粉量如下表. 试用 A，B，C 三种食品配餐以满足方案要求. 食品 脂肪/单位 蛋白质/单位 淀粉/单位 A 2 7 17 B 2 4 7 C 10 16 30 【教材P128 习题3.6 第4题】 课后练习 解: 设每天食谱中 A，B，C 三种食品的份数分别为 x，y，z. 根据题意，得 解方程组，得 x = 8， y = 12， z = 6. 2x + 2y + 10z = 100， 7x + 4y + 16z = 200， 17x + 7y + 30z = 400. 答:每天食谱中 A 种食品 8 份，B 种食品 12 份，C 种食品 6 份. 课堂小结 解三元一次方程组的思路： 三元一次 方程组 二元一次 方程组 二元一次 方程组 消元 消元 谢谢观看 $$