3.5 二元一次方程组的应用 课件-2024-2025学年沪科版数学七年级上册

第一课时 二元一次方程组的应用（一） 第3章 一次方程与方程组 3.5 二元一次方程组的应用 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.掌握构建二元一次方程组解决生活中的实际问题的一般步骤. 2.在解决实际问题的过程中，体会数学与实际生活的联系，进一步提高分析问题与解决问题的能力. 课堂导入 同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？ 课堂导入 比赛积分问题的相等关系： （1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数； （2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分. 新知探究 例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分. 该队胜几场，平几场？ 知识点1 比赛积分问题 新知探究 解法一 如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11-x) 场. 根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平(11-x) 场，得(11-x)分，共得 27 分，得方程 3x +（11 – x）= 27. 解方程，得 x = 8. 此时 11 – x = 11 – 8 = 3. 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 知识点1 比赛积分问题 新知探究 如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用未知数 x，y 来表示，是否能列出方程组来求解呢？ 思 考 知识点1 比赛积分问题 新知探究 解法二 设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场. 由该队共比赛 11 场，得方程 x + y = 11. ① 又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程 3x + y = 27. ② 知识点1 比赛积分问题 新知探究 解方程①②组成的方程组 ，得 x + y = 11， 3x + y = 27 x = 8， y = 3. 答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场. 知识点1 比赛积分问题 课堂小结 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系 设未知数 根据等量关系列出两个方程，组成方程组 解方程组，求出未知数的值 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 写出答案（包括单位名称） 审 设 列 解 验 答 知识点1 比赛积分问题 新知探究 例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？ 甲追上乙 乙2 h行程 甲2 h行程 分析：甲、乙同时出发，同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 知识点2 行程问题 新知探究 甲出发点 乙出发点 4 km 行程 行程 相遇地 甲0.5h 乙0.5h 分析：甲、乙同时出发，相向而行 知识点2 行程问题 例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？ 新知探究 解 ：设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h. 根据题意得 2x – 2y = 4， x + y = 4. 1 2 1 2 解方程组，得 x = 5， x = 3. 答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h. ① ② 知识点2 行程问题 课堂小结 行程问题中的相等关系： （1）相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两出发地间的距离. （2）追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两出发地间的距离 = 追者走的路程. 知识点2 行程问题 随堂练习 1. 某班课外活动小组买了 9 副象棋和 7 副跳棋，共计 700 元. 已知 2 副象棋的价格比 1 副跳棋的价格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的价格各是多少元？ 【教材P120 练习 第1题】 解：设 1 副象棋和 1 副跳棋的价格分别为 x 元、y 元. 根据题意，得 解方程组，得 9x + 7y = 700， 2x - y = 15. x = 35， y = 55. 答： 1 副象棋的价格为 35 元，1 副跳棋的价格为 55元. 随堂练习 2. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间. 【教材P120 练习 第2题】 随堂练习 解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h. 6 min = h，20 min = h. 根据题意，得 解方程组，得 答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间为 h. 随堂练习 3. 一艘江轮航行在相距 72 km 的两个港口之间，顺流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江轮在静水中的速度. （顺流航行的速度 = 静水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 静水中速度 - 水流速度） 【教材P120 练习 第3题】 随堂练习 解：设江轮在静水中的速度是 x km/h，水流速度为 y km/h. 4 h 48 min = h. 根据题意，得 解方程组，得 4(x + y) = 72， 答：江轮在静水中的速度是 km/h. 课堂小结 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 实际问题 数学问题 二元一次方程组 实际问题的答案 数学问题的解 二元一次方程组的解 解方 程组 代入法加减法 （消元） 设未知数、列方程组 转化 检验 第二课时 二元一次方程组的应用（二） 第3章 一次方程与方程组 3.5 二元一次方程组的应用 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.掌握构建二元一次方程组解决增长率（降低率）问题. 2.在解决实际问题的过程中，体会数学与实际生活的联系，进一步提高分析问题与解决问题的能力. 课堂导入 百分率一般表示某部分占总体的多少，由此可以求出该部分的数量，再根据“总量 ＝ 各部分量的和”，可以列出方程组后求解. 新知探究 例 3 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 已知石英砂中含二氧化硅 99%，长石粉中含二氧化硅 67%. 在 3.2 t 原料中，石英砂和长石粉各多少？ 原料成分 石英砂 长石粉 总量 质量/t x y 含二氧化硅量/t 99%x 67%y 3.2 70%×3.2 知识点 二元一次方程组的应用（二） 新知探究 解：设原料中石英砂 x t，长石粉有 y t. 根据题意，得 x + y = 3.2， 99%x + 67%y = 70%×3.2. 解方程组，得 x = 0.3， y = 2.9. 答：在 3.2 t 原料中，石英砂有 0.3 t，长石粉有 2.9 t. 知识点 二元一次方程组的应用（二） 新知探究 百分比问题中常见的是增长（下降）率问题、与浓度有关的问题等，其中增长（下降）率问题中的等量关系如下： （1）增长率 = 增长后的量 – 增长前的量 增长前的量 （2）增长后的量 = 增长前的量×（1 + 增长率）； （3）下降率 = 下降前的量 – 下降后的量 下降前的量 （4）下降后的量 = 下降前的量×（1–下降率）. 知识点 二元一次方程组的应用（二） ×100%； ×100%； 新知探究 某皮鞋厂前年的利润为 100 万元，去年的总产值比前年增加了 20％ ，总支出比前年减少了 5％ ，去年的利润为 400 万元，那么该皮鞋厂前年的总产值和总支出各是多少万元？ 分析:设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元， 总产值/万元 总支出/万元 利润/万元 前年 x y 100 去年 (1+20%)x (1-5%)y 400 知识点 二元一次方程组的应用（二） 练一练 新知探究 解: 设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元. 根据题意，得 x - y = 100， (1+20%)x - (1-5%)y = 400. 解方程组，得 x = 1220， y = 1120. 答: 该皮鞋厂前年的总产值是 1220 万元，总支出是 1120 万元. 知识点 二元一次方程组的应用（二） 随堂练习 1. 某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多 630 hm2. 计划明年春播作物的面积增加 20%，秋播作物的面积减少 10%，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加 12%.这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？ 【教材P121 练习 第1题】 随堂练习 解: 设这个乡今年春播作物的面积为 x hm2，秋播作物的面积为 y hm2. 根据题意，得 x - y = 630， x(1+20%) + y(1-10%) = (x+y)(1+12%). 解方程组，得 x = 990， y = 360. 答: 这个乡今年春播作物的面积为 990 hm2，秋播作物的面积为 360 hm2. 随堂练习 2. 石岭村原有林地、旱地共 162 hm2. 村里把一部分旱地改造为林地，使旱地面积为林地面积的 20%. 求改造后的旱地面积和林地面积. 解: 设改造后的旱地面积为 x hm2，林地面积为 y hm2. 根据题意，得 解方程组，得 x + y = 162， x = 20%y. x = 27， y = 135. 答: 改造后的旱地面积为 27 hm2，林地面积为 135 hm2. 【教材P121 练习 第2题】 课堂小结 百分比问题中常见的是增长（下降）率问题、与浓度有关 的问题等，其中增长（下降）率问题中的等量关系如下： （1）增长率 = 增长后的量 – 增长前的量 增长前的量 （2）增长后的量 = 增长前的量×（1 + 增长率）； （3）下降率 = 下降前的量 – 下降后的量 下降前的量 （4）下降后的量 = 下降前的量×（1–下降率）. ×100%； ×100%； 第三课时 二元一次方程组的应用（三） 第3章 一次方程与方程组 3.5 二元一次方程组的应用 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.掌握用表格分析实际问题中的数量关系，构建二元一次方程组解决问题. 2.在解决实际问题的过程中，体会数学与实际生活的联系，进一步提高分析问题与解决问题的能力. 新知探究 例4 某村 18 位农民筹集 50 万元资金，承包了一些低产田地. 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦. 种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表. 作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元 蔬菜 5 15 荞麦 4 10 在现有的条件下，这 18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？ 知识点 二元一次方程组的应用（三） 新知探究 分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下. 作物品种 种植面积 S/hm2 需要人数 投入资金/万元 蔬菜 x 5x 15x 荞麦 y 4y 10y 合计 18 50 知识点 二元一次方程组的应用（三） 新知探究 解：设蔬菜的种植面积为 x hm2，荞麦的种植面积为 y hm2. 根据题意，得 5x + 4y = 18， 15x + 10y = 50. 解方程组，得 x = 2， y = 2. 答：这 18 位农民应承包 4 hm2 的田地，种植蔬菜和荞麦各 2 hm2，并安排 10 人种蔬菜，8 人种荞麦，这样能使所有的人都有工作，且资金正好够用. 则 x + y = 4. 此时 5x = 5×2 = 10，4y = 4×2 = 8. 知识点 二元一次方程组的应用（三） 表格能够将复杂的数量关系明朗化，而且更容易分析出等量关系. 新知探究 知识点 二元一次方程组的应用（三） 随堂练习 1. 星期天，七年级（1）（2）两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船. 已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每 4 人合租一条船，两班各花了115 元. 活动人数如下表: 碰碰车每辆车租金多少元？游船每条船租金多少元？ 班级 玩碰碰车的同学 划船的同学 （1）班 11 人 16 人 （2）班 8 人 20 人 随堂练习 分析： 班级 租碰碰车的数量 租船的数量 租金 （1）班 11 4 115 （2）班 8 5 115 随堂练习 解: 设碰碰车每辆车租金 x 元，游船每条船租金 y 元. 则 解得 x = 5， y = 15. 解: 碰碰车每辆车租金 5 元，游船每条船租金 15 元. 随堂练习 2. 如图，塑料凳子轻便实用，在日常生活中随处可见. 若 3 个塑料凳子叠放在一起的高度如图①所示，5 个塑料凳子叠放在一起的高度如图②所示，则当 10 个塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是多少厘米？ 随堂练习 图形 等量关系 图① 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 2 个塑料凳子增加的高度 = 55 cm 图② 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 4 个塑料凳子增加的高度 = 65 cm 分析： 随堂练习 解: 设 1 个塑料凳子的高度为 x cm，每叠放 1 个塑料凳子高度增加 y cm. 根据题意，得 x + 2y = 55， x + 4y = 65. 解方程组，得 x = 45， y = 5. 于是，x + 9y = 45 + 9×5 = 90. 答：10 个塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为 90 cm. 随堂练习 3. 某电视机厂生产甲、乙、丙三种不同型号的电视机，每台出厂价分别为 1 200 元、2 000 元、2 200元. 某商场同时从该厂购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，正好用去 80 000 元. （1）该商场有几种进货方案？（写出演算步骤） （2）若该商场销售甲、乙、丙三种电视机每台可分别获得 200 元、250 元、300 元，如何进货可使售完后获利最大？ 最大利润是多少？ 随堂练习 分析： 随堂练习 解:（1）设甲、乙、丙三种电视机分别购进 x 台、y 台、z 台. 根据题意，得 x + y = 50， 1200x + 2000y = 80000. 解方程组，得 x = 25， y = 25. ①若购进甲、乙两种型号的电视机， 随堂练习 根据题意，得 x + z = 50， 1200x + 2200z = 80000. 解方程组，得 x = 30， z = 20. ②若购进甲、丙两种型号的电视机， 随堂练习 根据题意，得 y + z = 50， 2000y + 2200z = 80000. 解方程组，得 y = 150， z = -100. ③若购进乙、丙两种型号的电视机， （不合题意，舍去） 故该商场有两种进货方案： ①购进 25 台甲种电视机和 25 台乙种电视机； ②购进 30 台甲种电视机和 20 台丙种电视机. 随堂练习 （2）方案①的利润为 200×25 + 250×25 ＝11 250（元）， 方案②的利润为 200×30＋300×20 ＝12 000（元）. 因为 12 000 > 11 250，所以购进 30 台甲种电视机和 20 台 丙种电视机可使售完后获利最大，最大利润为 12 000 元. 随堂练习 4. 某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品. 已知每克甲原料含 0.6 单位蛋白质和 0.08 单位铁质，每克乙原料含 0.5 单位蛋白质和 0.04 单位铁质，如果患者每餐需 34 单位蛋白质和 4 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？ 【教材P122 练习 第1题】 随堂练习 解: 设每餐需要甲种原料 x g，乙种原料 y g. 根据题意，得 0.6x + 0.5y = 34， 0.08x + 0.04y = 4. 解方程组，得 x = 40， y = 20. 答:每餐需要甲种原料 40 g，乙种原料 20 g 恰好满足患者的需要. 5. 向某地运送物资. 第一批 480 t，用 8 节火车车厢和20 辆卡车正好装完. 第二批 540 t，用 10 节火车车厢和 5 辆卡车正好装完，求每节火车车厢和每辆卡车分别能装多少吨. 【教材P122 练习 第2题】 解: 设每节火车车厢能装 x t，每辆卡车能装 y t. 根据题意，得 8x + 20y = 480， 10x + 5y = 540. 解方程组，得 x = 52.5， y = 3. 解: 每节火车车厢能装 52.5 t，每辆卡车能装 3 t. 谢谢观看 $$