3.3 一元一次方程的应用课件 2024-2025学年沪科版数学七年级上册

第一课时 一元一次方程的应用（一） 第3章 一次方程与方程组 3.3 一元一次方程的应用 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.能用一元一次方程解决形积问题. 2.通过列方程解决实际问题，发展模型观念、应用意识，渗透方程思想. 课堂导入 常见几何体的体积、面积公式： （1）长方体的体积=长×宽×高； （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长； （3）圆柱的体积=底面积×高； （4）长方形的面积=长×宽； （5）正方形的面积=边长×边长； （6）梯形的面积= (上底+下底)×高. 新知探究 例1 如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4 cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5 cm的长方形纸条．如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少? 4 5 （单位：cm） 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 思考：1.本题中有什么等量关系？ 4 5 （单位：cm） 宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积 2.设正方形的边长是 x cm，完成下表： 宽 长 面积 图形1 4 x 4x 图形2 5 x-4 5(x-4) 4x 5(x-4) 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 4 5 （单位：cm） 解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得 4x = 5(x-4). 解方程，得x=20. 答：原正方形的边长为20 cm. 4x 5(x-4) 宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积 知识点 一元一次方程的应用（一） 形积变化中的等量关系 ①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是： 变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积 ②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是： 变化前图形的周长=变化后图形的周长 ③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系． 新知探究 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 如图，长方形纸片的长是15cm，现从 长、宽上各剪去一个宽为3cm的长条，剩下的面积是原长方形面积的 .求原长方形纸片的宽. 练一练 解：设原长方形纸片的宽为x cm，则剩下的长方形的长为15-3=12(cm)，宽为(x-3)cm. 根据题意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12. 答：原长方形纸片的宽为12cm. 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 例2 某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1 8.2 10 3 已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离. 8.2km 起点 补给站 终点 跑步距离+登山距离=总距离 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 8.2km 起点 补给站 终点 x km 8.2-x km 跑步时间+登山时间=总用时-休息时间 解：设补给站离起点x km. 根据题意，得 注意单位换算! 解方程，得x=6. 答：补给站与起点的距离为6km. 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 交流：运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的？ 实际问题 找等量关系，列方程 数学问题 （一元一次方程） 解方程 数学问题的解 （一元一次方程的解） 检验 实际问题的答案 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 “读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇. 11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年谯城·浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅. 已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是80km/h，②号车的行驶速度是72km/h，①号车比②号车早到 h，求合肥与亳州相距多少千米? 练一练 解：设合肥与亳州相距x km. 根据题意，得 ，解得x=320. 答：合肥与亳州相距320 km. 知识点 一元一次方程的应用（一） 新知探究 列方程解应用题的一般步骤如下： ⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数； ⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）； ⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程； ⑷解这个方程，求出未知数的值； ⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）. 知识点 一元一次方程的应用（一） 随堂练习 1.列方程，解下列各题： （1）一种小麦磨成面粉，出粉率为80%（即20%成为子）．为了得到4 500 kg面粉，至少需要多少小麦? 【教材P104 练习】 解：设至少需要x kg小麦. 根据题意，得x·80％ = 4 500. 解方程，得x=5 625. 答：至少需要 5 625 kg小麦. 随堂练习 （2）甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96 t．如果每天从甲厂运出20t，乙厂运出4t，几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍? 解：设x天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍. 根据题意，得432-20x=2(96-4x). 解方程，得x=20. 答：20天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍. 随堂练习 （3）甲、乙两地相距180km．一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15km．另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？ 解：设x h后两人相遇. 根据题意，得x(15+15×3)=180. 解方程，得x=3. 答：3h后两人相遇. 课堂小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程 实际问题 找等量关系，列方程 数学问题 （一元一次方程） 解方程 数学问题的解 （一元一次方程的解） 检验 实际问题的答案 3.3.1 一元一次方程的应用（二） 第3章 一次方程与方程组 3.3 一元一次方程的应用 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.能用一元一次方程解决储蓄问题和销售问题. 2.通过列方程解决实际问题，发展模型观念、应用意识，渗透方程思想. 课堂导入 储户存入银行的钱叫作_____. 银行付给储户的酬金叫作_____. 本金和利息的和叫作_______. 每个时期利息与本金的比叫作 _______. 本金 利息 本息和 利率 新知探究 在银行存款问题中常涉及的基本量及数量关系有： 本金×利率×期数=利息 本金+利息=本息和 月（年）利息 本金 =月（年）利率 到期时，能得到多少利息呢？ 10000×1.5%×1＝150(元) 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 例3 王大伯两年前把一笔钱作为2年定期存款存入银行，年利率为2.25%. 到期后得到本息和104 500元（不计复利）. 王大伯当时存入银行多少钱？ 分析：本题中涉及的数量关系有 本金×利率×年数=利息； 本金+利息=本息和. 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 解：设王大伯当时存入银行x元，2年的利息为2×2.25%x元. 根据题意，得x+2×2.25%x=104 500. 解方程，得x=100 000. 答：王大伯当时存入银行100 000元. 例3 王大伯两年前把一笔钱作为2年定期存款存入银行，年利率为2.25%. 到期后得到本息和104 500元（不计复利）. 王大伯当时存入银行多少钱？ 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 李叔叔三年前把一些现金存入银行，存期为3年，年利率为2.75%，到期后得到本息和86 600元(不计复利). 李叔叔当初存入银行多少钱? 练一练 解：设李叔叔当初存入银行x元，3年的利息为3×2.75%x元. 由题意得x+3×2.75％x=86 600，解得x=80 000. 答：李叔叔当初存入银行80 000元. 注意：在储蓄问题中注意期数要和利率相一致，即期数是按月算的，利率就用月利率，期数是按年算的，利率就用年利率. 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 某商场将一件进价是100元的夹克，按进价提高50%后，标价150元，后按标价的8折出售给某顾客，结果仍获利20元。 在打折销售问题中经常会遇到一些特有的名词： 进价 标价 售价 利润 利润率 打折 你能说出上题中的各个量分别是多少吗? 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 销售问题中的等量关系： 售价=进价+利润=进价×（1+利润率） 利润=售价﹣进价=进价×利润率 利润率= ×100%= ×100% 利润 进价 售价﹣进价 进价 售价=商品的标价× 10 折扣数 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 例4 某商店将一种书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元. 这种书包每个进价是多少? 分析：本题中涉及的数量关系有 实际售价﹣进价（或成本）=利润 若设这种书包每个进价是x元， 标价 售价 利润 (1+30%)x (1+30%)x·0.9 (1+30%)x·0.9-x 知识点 一元一次方程的应用（二） 新知探究 解: 设每个书包进价为x元，那么这种书包的标价为(1+30%)x元，打9折后的售价为 ×(1+30%)x元. 根据题意，得 ×(1+30%)x-x=8.50. 解方程，得x=50. 答：这种书包每个进价为50元. 知识点 一元一次方程的应用（二） 例4 某商店将一种书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元. 这种书包每个进价是多少? 新知探究 某商品的进价为1600元，标价为2200元，商店要求以利润率不低于10%的售价打折出售，则最低可以打几折出售此商品? 练一练 解：设最低打x折出售. 根据题意，得2200× ﹣1600=1600×10%. 解得x=8. 答：最低可以打8折出售此商品. 知识点 一元一次方程的应用（二） 随堂练习 1.爸爸为小亮存了一笔钱，为期2年，年利率为2.75%. 2年后本息共54 860元. 小亮爸爸当时存入了多少元? 【教材P106 练习 第1题】 解：设小亮爸爸当时存入了x元. 根据题意，得x+2×2.75%x=54 860. 解方程，得x=52 000. 答：小亮爸爸当时存入了52 000元. 随堂练习 解：设一件夹克衫的进价是x元. 根据题意，得x(1+0.5)×0.8=60. 解方程，得x=50. 因为50<60，所以夹克衫卖出后商家赚了. 2.一件夹克衫按进价加价5成（即 ）作为定价. 后因季节关系，按定价的8折出售，打折后每件卖60元. 夹克衫卖出后商家是赔还是赚? 【教材P106 练习 第2题】 课堂小结 储蓄问题 销售问题 3.3.1 一元一次方程的应用（三） 第3章 一次方程与方程组 3.3 一元一次方程的应用 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.能用一元一次方程解决比例问题. 2.通过列方程解决实际问题，发展模型观念、应用意识，渗透方程思想. 课堂导入 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审题 找等量关系 设未知数 列方程 解方程 检验 作答 关键 解要符合实际意义. 新知探究 例5 三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷. 分析：小麦面积共有4+5+6=15份，总计300 hm2. 怎样设未知数，说说你的想法. 知识点 一元一次方程的应用（三） 新知探究 解：设收割小麦的面积每份为x hm2，三支服务队收割面积分别为4x hm2，5x hm2，6x hm2． 根据题意，得4x+5x+6x=300. 解方程，得x=20. 4x=80，5x=100，6x=120. 答：三支服务队分别收割小麦80 hm2，100 hm2，120 hm2. 间接设未知数法 知识点 一元一次方程的应用（三） 例5 三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷. 新知探究 某种中成药需要用到甘草、党参、 苏叶三种材料，其中甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比 为1∶2∶4. 求生产210kg这种中成药，需要用到甘草、党参、 苏叶的质量分别是多少千克? 练一练 知识点 一元一次方程的应用（三） 新知探究 解：设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是x kg，2x kg，4x kg. 根据题意，得x+2x+4x=210. 解得x=30. 所以2x=60，4x=120. 答：需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是30kg，60kg，120kg. 知识点 一元一次方程的应用（三） 随堂练习 1.长方形的长与宽之比为5∶2，周长为56 cm，求这个长方形的面积. 【教材P106 练习 第1题】 解：设长方形的长为5x cm，则宽为2x cm. 根据题意，得2(5x+2x)=56. 解方程，得x=4. 5x=20，2x=8. 故长方形的面积为20×8=160(cm2). 随堂练习 2.兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股250 000元，弟弟入股200 000元，一年后盈利83 520元. 按入股的资金比例分配盈利，兄弟两人各应分得多少元? 【教材P106 练习 第2题】 解：哥哥、弟弟入股的资金比例为250 000∶ 200 000= 5∶4. 设哥哥应分得盈利5x元，则弟弟应分得盈利4x元. 根据题意，得5x+4x=83 520. 解方程，得x=9 280. 5x=46400，4x=37 120. 答：兄弟两人各应分得46 400元和37 120元. 课堂小结 在比例问题中，合理设未知数是解题的关键，常利用参数法间接设未知数. 如：若甲、乙的配比为m∶n，常常设“每一份”为x，即设甲为mx，则乙可表示为nx，然后根据等量关系建立方程模型. 谢谢观看 $$