2.2有理数的乘除法讲义2024-2025学年人教版数学七年级上册

7 有理数的乘除法 课时1 有理数的乘法 知识点1 有理数乘法法则 1.两数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积就是原来的积的 . 2.正数乘正数，积为 ；正数乘负数，积为 ；负数乘正数，积为 ；负数乘负数，积为 .积的绝对值等于各乘数 的积. 3.两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘；任何数与0相乘，都得 . 知识点2 倒数的概念与求法 1.倒数的概念：乘积是 的两个数互为倒数.即若a与b互为倒数，则 . 2.倒数的求法：如果，那么a的倒数是 . 知识点3 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负因数的个数是 时，积是正数；负因数的个数是 时，积是负数. 2.几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积等于 . 知识点4 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的 ， 相等.即ab= . 2.乘法结合律：有理数乘法中，三个数相乘，先把 相乘，或者先把 相乘， 相等.即 . 3.分配律：有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数 ，再把积相 .即 . 知识点5 有理数除法法则 1.有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 .即 . （2）两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除.0除以任何一个不等于0的数，都得 .若ab>0，则 0；若ab<0，则 0. 2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便. （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1）进行计算. 知识点6 有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将 转化成 ，然后按照乘法法则，确定积的 ，最后求出结果. 知识点7 有理数的四则运算 1.有理数的四则运算：先算 ，后算 ，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照 进行计算. 2.计算器的使用：不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应参见计算器的使用说明. 重点 注意1 （1）当乘数中有负号时，必须用括号括起来. （2）两数相乘，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘 （3）遇到含带分数的乘法运算时，要先把带分数化成假分数，再计算. （4）乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数. 注意2 （1）零没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. （2）倒数是相互的，即若ab=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，a与b互为倒数. （3）倒数等于它本身的数是. （4）互为倒数的两个数一定同号. 注意3 （1）几个不为0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把绝对值相乘 （2）如果几个数相乘积为0，那么至少有一个因数为0. 注意4 运用分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和例如： ； . 注意5 （1）分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号. （2）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （3）在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为0. （4）有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律. 注意6 （1）乘除混合运算中，积的符号由负因数的个数确定. （2）结果能化简的要化简. 注意7 在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式：一是把乘积形式化成和的形式；二是把和的形式化成乘积的形式，注意灵活应用. 基础巩固 题型1 有理数的乘法法则 1.计算的结果是（ ） A.-1 B.1 C.5 D.-5 2.计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 3.若ab=0，则（ ） A.a=0 B.b=0 C.a=0且b=0 D.a，b中至少有一个是0 4.若，，则a与b的乘积不可能是（ ） A.-5 B. C.0 D.2 5.21吨的是________吨. 6计算： （1）； （2）； （3）. 题型2 倒数 7.如果a与-3互为倒数，那么a是（ ） A.-3 B. C.3 D. 8.下列说法： ①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数； ②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0； ③绝对值是其本身的有理数只有0； ④倒数是其本身的数是-1，0，1； ⑤一个数乘-1就是它的相反数； ⑥任何一个有理数a的倒数是. 其中错误的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 9.的倒数是________，的倒数是________. 10.按要求填空. （1）-3.5的相反数为________； （2）0的相反数为________； （3）的倒数为________； （4）的相反数的倒数为________； （5）的相反数为________； （6）画出数轴并标出数-3.5，0，，，的位置. 易错点 两负数相乘时符号的确定与加法法则中符号的确定相混淆致错 11.计算：. 嘉佳的计算过程如下： 解：原式 . 请问嘉佳的计算过程正确吗？如果不正确，请给出正确的计算过程. 课时2 有理数的乘法运算律 基础巩固 题型1 多个有理数相乘 1下列算式中，积为负数的是（ ） A. B. C. D. 2.若2020个有理数的积是0，则（ ） A.每个因数都不为0 B.每个因数都为0 C.最多有一个因数为0 D.至少有一个因数为0 3.式子 的结果的符号为________. 4.计算：. （1）； （2）. 题型2 有理数的乘法运算律 5.在中运用了（ ） A.乘法交换律，乘法结合律 B.乘法结合律，乘法分配律 C.乘法交换律，乘法分配律 D.三种乘法运算律都有 6.用乘法分配律计算，过程正确的是（ ） A. B. C. D. 答案 7 有理数的乘除法 知识点1 有理数乘法法则 1.两数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积就是原来的积的 .注意1 2.正数乘正数，积为 ；正数乘负数，积为 ；负数乘正数，积为 ；负数乘负数，积为 .积的绝对值等于各乘数 的积. 3.两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘；任何数与0相乘，都得 . 知识点2 倒数的概念与求法 1.倒数的概念：乘积是 的两个数互为倒数.即若a与b互为倒数，则 .注意2 2.倒数的求法：如果，那么a的倒数是 . 知识点3 多个有理数相乘的符号法则 1.几个不为0的数相乘，负因数的个数是 时，积是正数；负因数的个数是 时，积是负数. 2.几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积等于 .注意3 知识点4 有理数的乘法运算律 1.乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的 ， 相等.即ab= . 2.乘法结合律：有理数乘法中，三个数相乘，先把 相乘，或者先把 相乘， 相等.即 . 3.分配律：有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数 ，再把积相 .即 .注意4 知识点5 有理数除法法则 1.有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 .即 . （2）两数相除，同号得 ，异号得 ，并把 相除.0除以任何一个不等于0的数，都得 .若ab>0，则 0；若ab<0，则 0.注意5 2.有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便. （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1）进行计算. 知识点6 有理数的乘除混合运算 有理数的乘除混合运算通常是先将 转化成 ，然后按照乘法法则，确定积的 ，最后求出结果.注意6 知识点7 有理数的四则运算 1.有理数的四则运算：先算 ，后算 ，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照 进行计算.注意7 2.计算器的使用：不同品牌的计算器操作方法可能有所不同，具体操作方法应参见计算器的使用说明. 答案 相反数 正数 负数 负数 正数 绝对值 正 负 绝对值 0 1 偶数 奇数 0 位置 积 ba 前两个数 后两个数 积 相乘 加 ab+ac 倒数 正 负 绝对值 0 > < 除法 乘法 符号 乘除 加减 从左往右的顺序 敲黑板 划重点 注意1 （1）当乘数中有负号时，必须用括号括起来. （2）两数相乘，根据有理数乘法法则，先确定积的符号，再把绝对值相乘 （3）遇到含带分数的乘法运算时，要先把带分数化成假分数，再计算. （4）乘法运算的最后结果一定是最简分数或整数. 注意2 （1）零没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. （2）倒数是相互的，即若ab=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，a与b互为倒数. （3）倒数等于它本身的数是. （4）互为倒数的两个数一定同号. 注意3 （1）几个不为0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把绝对值相乘 （2）如果几个数相乘积为0，那么至少有一个因数为0. 注意4 运用分配律时，要注意括号前面的符号，当括号前面有负号时，应该把负号带上一起与括号内每一项相乘再求和例如： ； . 注意5 （1）分数可以理解为分子除以分母，分数线代表除号. （2）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （3）在有理数的除法运算中应特别注意：除数不能为0. （4）有理数除法没有交换律、结合律，更没有分配律. 注意6 （1）乘除混合运算中，积的符号由负因数的个数确定. （2）结果能化简的要化简. 注意7 在混合运算中，分配律的应用一般有两种形式：一是把乘积形式化成和的形式；二是把和的形式化成乘积的形式，注意灵活应用. 1.4 有理数的乘除法 1.4.1 有理数的乘法 课时1 有理数的乘法 基础巩固 题型1 有理数的乘法法则 1.[2020广东广州增城区期中]计算的结果是（ ） A.-1 B.1 C.5 D.-5 1.D 【解析】.故选D. 2.计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 2.B 【解析】.故选B. 3.[2020安徽合肥肥西校级期中]若ab=0，则（ ） A.a=0 B.b=0 C.a=0且b=0 D.a，b中至少有一个是0 3.D 【解析】当ab=0时，a，b中至少有一个是0.故选D. 4.[2020四川遂宁期末，中]若，，则a与b的乘积不可能是（ ） A.-5 B. C.0 D.2 4.A 【解析】因为，，所以a≥0，b≥0.则a与b的乘积不可能是负数，故不可能是-5.故选A. 5.[2020山东东营期中]21吨的是________吨. 5.14 【解析】根据题意，得21x-=14（吨）. 6计算： （1）； （2）； （3）. 6.【解】（1）. （2）. （3）. 题型2 倒数 7.如果a与-3互为倒数，那么a是（ ） A.-3 B. C.3 D. 7.B 【解析】因为，所以a是.故选B. 8.[2020四川遂宁射洪中学月考，中]下列说法： ①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数； ②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0； ③绝对值是其本身的有理数只有0； ④倒数是其本身的数是-1，0，1； ⑤一个数乘-1就是它的相反数； ⑥任何一个有理数a的倒数是. 其中错误的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.D 【解析】如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数，①错误；如果两个数积为0，那么至少有一个数为0，②正确；绝对值等于其本身的有理数是0和正有理数，③错误；倒数等于其本身的有理数只有1和-1，④错误；因为一个数乘-1后就得到与其本身只有符号不同的另一个数，所以一个数乘-1就是它的相反数，⑤正确：0没有倒数，⑥错误.错误的有①③④⑥，共4个.故选D. 9.[2020山东临沂期末]的倒数是________，的倒数是________. 9. 【解析】因为，所以的倒数是.因为，所以的倒数是. 10.[2019吉林长春南关区校级月考]按要求填空. （1）-3.5的相反数为________； （2）0的相反数为________； （3）的倒数为________； （4）的相反数的倒数为________； （5）的相反数为________； （6）画出数轴并标出数-3.5，0，，，的位置. 10.（1）3.5 （2）0 （3） （4） （5）4 【解析】（1）-3.5的相反数为3.5. （2）0的相反数为0， （3）因为， 的倒数为，所以的倒数为. （4）因为，-2的相反数是2，2的倒数为，所以的相反数的倒数为. （5）因为，-4的相反数为4，所以的相反数为4. （6）【解】所画数轴如图所示： 刷易错 易错点 两负数相乘时符号的确定与加法法则中符号的确定相混淆致错 11.计算：. 嘉佳的计算过程如下： 解：原式 . 请问嘉佳的计算过程正确吗？如果不正确，请给出正确的计算过程. 11.【解】嘉佳的计算过程不正确.正确计算过程如下：. 易错警示 几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数.本题易错记为“同号两数运算；结果取相同符号”，计算成原式而出错. 课时2 有理数的乘法运算律 基础巩固 题型1 多个有理数相乘 1下列算式中，积为负数的是（ ） A. B. C. D. 1.D 【解析】A选项中，原式=0，不合题意；B选项中，原式=20，不合题意；C选项中，原式=3，不合题意；D选项中，原式，符合题意.故选D. 2.若2020个有理数的积是0，则（ ） A.每个因数都不为0 B.每个因数都为0 C.最多有一个因数为0 D.至少有一个因数为0 2.D 【解析】因为2020个有理数的积是0，所以至少有一个因数为0.故选D. 3.[2020广东惠州惠东校级月考]式子 的结果的符号为________. 3.负号 【解析】因为几个不是0的数相乘，当负因数的个数是奇数时，积是负数，原式中有3个负因数，所以结果的符号为负号.故答案为负号. 4.计算：. （1）； （2）. 4.【解】（1）. （2）. 题型2 有理数的乘法运算律 5.[2020甘肃武威凉州区校级月考]在中运用了（ ） A.乘法交换律，乘法结合律 B.乘法结合律，乘法分配律 C.乘法交换律，乘法分配律 D.三种乘法运算律都有 5.A 【解析】在中运用了乘法交换律，乘法结合律.故选A. 6.[2020山东临沂校级月考]用乘法分配律计算，过程正确的是（ ） A. B. C. D. 6.A 【解析】原式 .故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $$