精品解析：江苏省淮安市马坝高级中学2025届高三上学期第一次质量测试数学试题

马坝高中2025届高三第一次质量测试 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 2. 已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（ ） A. a<1 B. a≤1 C. a>2 D. a≥2 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合B，由A∩B＝B可得B⊆A，结合数轴可得答案. 【详解】集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图,可知a≥2. 故选：D 【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题. 3. 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. -1，-7 B. 0，-8 C. 1，-1 D. 1，-7 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知，1是方程的根，代入可求，，然后结合二次函数的性质即可求解 【详解】的解集为， ，1是方程的根，且， ， ，， 则二次函数开口向下，对称轴， 在区间上，当时，函数取得最大值1，当时，函数取得最小值 故选：D． 4. 设△ABC的三边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，再利用余弦定理可得cosC的值，结合C的范围可求C的值，进而利用正弦定理即可求解． 【详解】解：∵a2+b2＝c2﹣ab，可得：a2+b2﹣c2＝﹣ab， ∴， ∵，∴， ∵c＝1，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可得， 解得， 故选：A． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正余弦定理的熟练运用，涉及求解三角形的外接圆半径的问题，首先应想到利用正弦定理去求解. 5. 设的内角所对的边分别是，其中，那么满足条件的（　　） A. 有一个解 B. 有两个解 C. 不能确定 D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理求得 ，再由确定解的个数. 【详解】在中，， 由正弦定理得：, 所以 ， 又因为 ， 所以 ， 所以满足条件的只有一个解， 故选：A 6. 已知，由此可以推断是位整数. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 令，两边取对数后求得，由此可得的整数位. 【详解】解：∵，令， ∴，则， ∴是位整数. 故选：C. 7. 已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用整体的思想，求出，使得，即可求解. 【详解】当时，.因为函数在上单调递减，所以解得，又，所以，故 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题. 8. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列各式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据对数的运算性质可一一判断各项. 【详解】对于A：当，时，等式右边无意义，A错； 对于B：当，时，等式右边无意义，B错； 对于C：，C正确； 对于D：，D正确. 故选：CD． 10. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得， 当时，，所以， 所以命题“任意，”为真命题的充要条件是， 所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是ACD， 故选：ACD 11. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）． A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的最小正周期为2 C. 函数的单调增区间为， D. 函数的图象没有对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象的平移变换可得，根据正切函数的对称中心可求A，根据周期公式可求B，利用正切函数的单调性可求C，根据正切函数不是轴对称图形可求D. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数， 然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数， 令解得，当时， 所以函数的图象关于点成中心对称，A正确； 函数的最小正周期为，B正确； 令解得， 所以函数的单调增区间为，，C错误； 正切函数不是轴对称图形，D正确， 故选:ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正数，满足，则的最小值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，则，又，是正数. 所以， 当取得等号，即且时取等号， 所以的最小值为8， 故答案为：8 13. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，c2﹣b2＝2ab，则cosA＝______. 【答案】 【解析】 【分析】由得c＝2b，由c2﹣b2＝2ab得ab，利用余弦定理得解. 【详解】由得，得c＝2b， ∵c2﹣b2＝2ab，∴4b2﹣b2＝2ab， 即3b2＝2ab，则ab， 则cosA， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解三角形主要考点有（1）正弦定理；（2）余弦定理；（3）三角形的面积公式；（4）三角恒等变换. 解三角形要灵活运用这些考点解三角形. 14. 已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数导数求解函数的切线方程，由切线过点可得.构造新函数，结合函数导数判断函数的单调性求得极值，根据数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）计算：； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算，对数运算化简求值； （2）利用指数运算化简求值； 【详解】原式      解：原式 =. 【点睛】本题考查了指数运算，对数运算，属于基础题. 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，sinA+asinB＝2． （1）求角A的大小； （2）求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将sinB转换成sinA，即可得到角A； （2）利用正弦定理将边a，c转换成与sinB有关系的量，然后根据角B的范围求三角形周长即可． 【详解】解：（1）∵， ∴asinB＝bsinA， ∴sinA+asinB＝sinA+bsinA＝4sinA＝2， ∴， △ABC为锐角三角形，于是． （2）由正弦定理：可得， ， ∴周长 ， 又∵△ABC为锐角三角形，， ，∴ ∴，∴， ∴周长的取值范围为． 【点睛】思路点睛：利用正弦定理求解三角形周长的一般步骤（已知一边及其对角）： （1）先根据正弦定理将另外两边表示为其对角的正弦值形式； （2）根据周长的计算公式将周长表示为角的正弦形式，根据角度关系将周长公式中的角转化为同一个角； （3）根据三角形的形状确定出（2）“同一个角”的范围，结合三角恒等变换的公式求解出周长的范围. 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若，求函数的极值. 【答案】（1）； （2）极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得. （2）把代入，利用导数求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，求导得，则， 依题意，，所以. 【小问2详解】 当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 18. 风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． （1）求函数的解析式； （2）当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 【答案】（1） （2）秒 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立关于的方程组，解出即可； （2），解出三角不等式即可. 【小问1详解】 由题意，得风机的角速度每秒，当时． 解得 ． 【小问2详解】 令，则，即， ，解得，． 当风机叶片端点P从离地面最低位置开始， 在转动一周的过程中，点P离地面的高度不低于80米的时长为秒． 19. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1） （2）①； ②方法一： ， 令， 于是， ， 令，则， ， 则在单调递减，所以， ， 则在单调递减， 又因为， . 方法二： ，令 ，令， 在单调递减，又因为，所以， 即，在单调递减， ， 又因为， 又因为在单调递增， 所以所以. 【解析】 【分析】（1）对函数先求导，结合是的极值点计算出结果，再进行验证； （2）①由题意得函数的零点即方程的实根，对进行分类讨论，利用导数判断函数单调性求得最值，进而计算出实数的取值范围；②构造函数利用函数导数判断函数单调性，根据函数单调性证明：. 【小问1详解】 ，当时即解得 检验：当在递减；在递增 则是极小值点成立，所以. 【小问2详解】 由题意得函数的零点即方程的实根， ①（i）当时不成立. （ii）当时，令， 的减区间增区间. 当时..当时， 若有两个零点.即有两个实根， 则的取值范围. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马坝高中2025届高三第一次质量测试 数学试题 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（ ） A. a<1 B. a≤1 C. a>2 D. a≥2 3. 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（ ） A. -1，-7 B. 0，-8 C. 1，-1 D. 1，-7 4. 设△ABC的三边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2﹣ab，c＝1，则△ABC的外接圆半径为（ ） A. B. C. D. 2 5. 设的内角所对的边分别是，其中，那么满足条件的（　　） A. 有一个解 B. 有两个解 C. 不能确定 D. 无解 6. 已知，由此可以推断是位整数. A. B. C. D. 7. 已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列各式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）． A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的最小正周期为2 C. 函数的单调增区间为， D. 函数的图象没有对称轴 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若正数，满足，则的最小值为______. 13. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，c2﹣b2＝2ab，则cosA＝______. 14. 已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）计算： （2）计算：； 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，sinA+asinB＝2． （1）求角A的大小； （2）求△ABC周长的取值范围． 17. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值； （2）若，求函数的极值. 18. 风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能转化成动能，进而来推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈．风机叶片端点P从离地面最低位置开始，转动t秒后离地面的距离为h米，在转动一周的过程中，h关于t的函数解析式为（，，）． （1）求函数的解析式； （2）当风机叶片端点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过程中，求点P离地面的高度不低于80米的时长． 19. 已知函数. （1）若是的极值点，求的值； （2）若函数有两个零点. ①求实数的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $