22.1.3二次函数y＝a(x-h)²+k的图象和性质分层练习题-2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.3. 二次函数的图象和性质 练习目标 1．会画二次函数的顶点式的图象； 2．掌握二次函数的性质； 1、 基础巩固（一层） 抛物线的特点： 1. 当时，开口向 ；当时，开口 ； 2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。 3. 抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。 二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。 4. 平移前后的两条抛物线值 。 5.二次函数的图象可由的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到 6.抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值为 。 7..函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。 8.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。 9. 顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ） A． B． C． D． 2、 能力提升（二层） 1．在下列二次函数中，图象以直线x＝﹣2为对称轴，且经过点（0，﹣1）的是（　　） A．y＝（x+2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x+2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 2．k为任意实数，则抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点在（　　） A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝﹣x上 3．若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0 4．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1；当x＝x2时，函数值为y2，若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 5．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）y＝2（x+3）2+5； （2）y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 3、 拓展延伸（三层） 6．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 　 　． 扩展：已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y得最小值为5，则h的值为 　 　． 7．若抛物线y＝x2保持不动，而把平面直角坐标系先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，则抛物线对应的函数解析式变为 　 　． 8．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x＝3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C． （1）求平移后的抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求△ABC面积． 9．（1）已知二次函数y1＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y1＝﹣（x﹣2）2+1的图象． （2）平行于x轴的直线y＝k在抛物线y2＝﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB＝4，求抛物线y2＝﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离． （3）当﹣1＜x＜2时，利用函数图象比较y1与y2的大小． 参考答案 1．解：函数y＝（x+2）2﹣1的对称轴为直线x＝﹣2，过点（0，3），故选项A不符合题意； 函数y＝（x﹣2）2﹣1的对称轴为直线x＝2，过点（0，3），故选项B不符合题意； 函数y＝（x+2）2﹣5的对称轴为直线x＝﹣2，过点（0，﹣1），故选项C符合题意； 函数y＝（x﹣2）2﹣5的对称轴为直线x＝2，过点（0，﹣1），故选项D不符合题意； 故选：C． 2． 解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）， ∴抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点坐标为（k，k）， ∴抛物线y＝a（x﹣k）2+k的顶点在直线y＝x上． 故选：C． 3．解：∵y＝（x﹣m）2+（m+1）， ∴抛物线顶点坐标为（m，m+1）， ∵顶点坐标在第一象限， ∴，解得m＞0， 故选：B． 4． 解：∵y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2． 故选：A． 5．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）y＝2（x+3）2+5； （2）y＝﹣3（x﹣1）2﹣2． 解：（1）∵a＝2＞0， ∴抛物线的开口向上，对称轴为：直线x＝﹣3；顶点坐标是：（﹣3，5）； （2）∵a＝﹣3＜0， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线x＝1；顶点坐标是：（1，﹣2）． 6．二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为 　． 扩展：已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y得最小值为5，则h的值为 　　． 解：分三种情况： 当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数， 所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5； 当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数， 所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a2，舍去； 当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点， 所以顶点的纵坐标为4，解得：a或a1，舍去． 综上，a的值为5或． 故答案为：5或． 拓展：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小， ∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1＝5， 解得：h＝﹣1或h＝3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1＝5， 解得：h＝5或h＝1（舍）． 综上，h的值为﹣1或5． 故答案为：﹣1或5． 7．若抛物线y＝x2保持不动，而把平面直角坐标系先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，则抛物线对应的函数解析式变为 　　． 解：把平面直角坐标系先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，相当于把抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴若抛物线y＝x2保持不动，而把平面直角坐标系先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，则抛物线对应的函数解析式变为y＝（x﹣2）2﹣3． 故答案为：y＝（x﹣2）2﹣3． 8．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝2x2沿y轴向上平移1个单位，再沿x轴向右平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x＝3与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C． （1）求平移后的抛物线的解析式及点C的坐标； （2）求△ABC面积． 解：（1）将抛物线y＝2x2沿y轴向上平移1个单位，则y＝2x2+1， 再沿x轴向右平移两个单位后y＝2（x﹣2）2+1， 所以平移后抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+1； ∴A点坐标为（2，1）， 设直线OA解析式为y＝kx，将A（2，1）代入 得k， ∴直线OA解析式为yx， 将x＝3代入yx得；y， ∴C点坐标为（3，）， （2）∵平移后抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+1． 将x＝3代入y＝2（x﹣2）2+1得y＝3， ∴B点坐标为（3，3）． ∴S△ABC． 9．（1）已知二次函数y1＝﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y1＝﹣（x﹣2）2+1的图象． （2）平行于x轴的直线y＝k在抛物线y2＝﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB＝4，求抛物线y2＝﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离． （3）当﹣1＜x＜2时，利用函数图象比较y1与y2的大小． 解 （1）如图所示， （2）解得，或， ∴A（2，k），B（2，k）， ∵AB＝4， ∴24， ∴k＝﹣3， ∵抛物线y2＝﹣（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1）， ∴抛物线y2＝﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离＝4； （3）当﹣1＜x＜1时，y1＞y2．当x＝1时，y1＝y2．当1＜x＜2时，y1＜y2． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$