2.2基本不等式教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

包头市景泰高级中学 数学 教案本 2024 包头市景泰高级中学教务处 包头市景泰高级中学 高一数学 教案 课题 基本不等式 授课教师 张海军 授课班级 1,3 授课时间 10月份 课时安排 2课时 教学背景分析 （一）课题及教学内容分析 学生在上一节学习了不等关系及不等式，而基本不等式也是由不等关系提炼出来的，初中也学过圆的基础知识，对于基本不等式的几何解释页比较好理解，利用不等式的性质和比较大小的方法，可以对基本不等式进行证明，有了这些基础，学生学习本节内容还是比较有兴趣的，本节知识渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。 （2） 总体学生情况分析 学生在初中阶段的完全平方和公式，有了这些基础，高中学习基本不等式就有了一定的基础，学生学习起来还是比较轻松的，能记住公式，但是需要弄明白其中的逻辑关系。 景泰的学生整体上数学成绩不高，基础比较弱，计算能力比较差，对抽象的数学知识理解困难，记忆不足，学习起来比较吃力，应用方面易失误，缺少综合的分析能力。 （三）本班学生情况分析 教学目标 1.掌握基本不等式及其结构特点； 2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题； 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题。 核心素养 数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程； 逻辑推理：基本不等式的证明； 数学运算：利用基本不等式求最值．数据分析：利用基本不等式解決实际问题； 数学建模：利用函数与方程的思想和基本不等式解決实际问题。 教学重难点 重点：基本不等式的定义以及推导过程；利用基本不等式解决简单的最值问题。 难点：基本不等式的证明过程；利用基本不等式解决简单的最值问题。 教学资源和教学方法 根据2019年人教A版教材来学习基本不等式的内容，基本不等式是数学的一种解决最值的方法，在高中的学习过程中，始终理解和一定既有最大值，积一定，和有最小值的情况，需要学生们大量的看书来获得必备的知识和方法。 利用基本不等式解决一些最值问题，学会构造模型。 教学中以引导学生思考为主，提高学生们对课本的研究，加强学生们自主学习的积极性和能力，提高学生们对内容的理解和分析，从而得到掌握本节课的内容。 教 学 设 计 一、创设情景，提出问题 如图，2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 思考1：这图案中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？ （1） （2） 二、分析问题；引入新课 师生活动，探究新知： （1）图（2）中，大正方形边长为____________；面积为_________； （2）图（2）中，四个直角三角形的关系是________，面积和为_____________； （3）图（2）中，与的大小关系是_______，故有_______； （4）与可能相等吗？满足什么条件时相等？ 上述结论可描述为：当时， （5） 当为任意实数时，上式还成立吗？如何证明？ 板书1： 证明:（当且仅当时取等号）。 上述应用完全平方差公式证明了它的正确性，人们习惯叫这个公式为重要不等式。 【设计意图】：依据情境认知理论，通过图案中的正方形面积问题实例设置悬念来引入，增加学生学习的兴趣，挖掘学生的好奇心和求知欲，从而顺利引入本节课。 三、探究模型，形成概念 知识点一、.基本不等式 板书2： 由上述的重要不等式可知，如果，我们用分别代替，可得到什么结论？ 替换后得到：，即，即（，当且仅当时取等号）。 通常称不等式为基本不等式，其中为算术平均数，叫做正数的几何平均数。 代数证明：证明：要证，只要证，只要证， 只要证，显然上式是成立的当且仅当时取等号。 注意：（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 重要不等式和基本不等式的比较 适用范围 文字叙述 两数的平方和不小于它们积的2倍 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 “=”成立条件 师生活动：学生思考、讨论后给出答案，师引导学生圆中的确定的量，来建立与的不等关系。 几何证明： 如图，AB为圆的直径，AB上取一点C，过C点作垂直与AB的弦DE，，，则，请用表示，回答：，由得 ，所以， 与的关系为，几何意义：半径不小于弦长的一半。 【设计意图】：激发学生的思维，渗透分析法证明问题的思路（执果索因），另外从代数角度证明不等式，培养学生严谨的学习态度，使学生从多角度发现重要不等式与基本不等式的内在联系。借助学生熟悉的平面几何图形，引导学生从几何图形中抽象出基本不等式，使学生体会从形到数的转化，逐步领悟数形结合思想的内涵；设置探究问题，可以促使学生从运动、变化的角度思考问题和解决问题。 师生活动：先学生来完成，看看学生的理解。 知识点二、证明下面几个重要的不等式 （1） ； （2） ； （3） ; （4） 四、巩固练习，加强理解 板书3： 例1：已知求的最小值； 例2：已知，求求的最小值； 例3：已知两个正数，若，求的最小值 五、课堂小结，复习回顾 1重要不等式： 2 基本不等式； 3 其他的重要不等式： 六、达标检测，巩固新知 1 已知，求的最小值； 2已知，求的最大值； 3.若则,的最小值是(　　) B. 4 已知,求的最小值； 5 已知,求的最小值； 6 已知，且，则的最大值是(　　) A. B. C．4 D．.8 7.下列不等式中，正确的是(　　) A. B. C. D. 7 已知，求的最大值； 8.若都是正数，则的最小值为(　　) B. 10 9. 已知都是正数,且,求证≥9； 10.已知正数满足，则的最小值是 (　　) A．10　　　　　　　B．25 C．5 D． 11：已知，都是正数，求证： （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值； 12.已知且则的最小值为________; 13已知，且求 的最小值； 14已知,求函数的最大值; 15.已知且，则的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　　B．3 C．4 D．6 16若且,求的最小值. 17用篱笆围一个面积为１００的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？ 18用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ 19如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知. （1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？ （2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值. 20某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为,深为.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? ___________________ 21.某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为3 000 ，其中场地四周(阴影部分)为通道，通道宽度均为2，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为平方米． (1)分别写出用表示和的函数关系式(写出函数定义域)； (2)怎样设计能使取得最大值，最大值为多少？ 板书设计 1.创设情境； 2.基本不等式以及证明； 3.知识点二 4 课堂小结 例1、 例2 课后作业 课本第48页，习题2.2 1-6题。 教学反馈 （1） 总体教学反馈 （二）本班教学反馈 学科网（北京）股份有限公司 $$