2.1 等式性质与不等式性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

包头市景泰高级中学 数学 教案本 2024 包头市景泰高级中学教务处 包头市景泰高级中学 高一数学 教案 课题 等式性质与不等式性质 授课教师 张海军 授课班级 1,3 授课时间 10月份 课时安排 1课时 教学背景分析 （一）课题及教学内容分析 本节内容是高一的开始，整本书的开始，是必修第一册的第二章第一节内容，学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4，而性质1和性质2学生认为是显然成立的，学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时，还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据。 （2） 总体学生情况分析 学生在小学、初中阶段的学习中已经接触过很多不等式和不等式关系，有了这些基础，高中学习就有了一定的基础，学生学习起来还是比较轻松的，这一节计算量不大，但是需要弄明白其中的逻辑关系。 景泰的学生整体上数学成绩不高，基础比较弱，计算能力比较差，对抽象的数学知识理解困难，记忆不足，学习起来比较吃力，应用方面易失误，缺少综合的分析能力。 （三）本班学生情况分析 教学目标 1 梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法； 2 运用等式基本性质中蕴含的思想方法，类比等式的基本性质，猜想、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的基本性质；体会在研究不等式的基本性质中的“运算中的不变性”，发展学生逻辑推理素养； 3 运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质；运用不等式的性质证明一些简单的命题，发展学生逻辑推理素养； 4.学生能够分析简单不等式的证明思路，利用不等式的性质证明简单的不等关系。 核心素养 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，培养学生数学抽象的核心素养； 2. 进一步掌握作差比较法比较实数的大小，提升数学运算的核心素养； 3. 能利用不等式的性质证明简单的不等式、求代数式的取值范围，强化逻辑推理的核心素养。 教学重难点 教学重点：用不等式表示不等关系，用作差法比较两个式子大小； 教学难点：在实际情景中建立不等式(组)，灵活应用作差法比较大小。 教学资源和教学方法 根据2019年人教A版教材来学习不等式的内容，不等式是数学的基础，在高中的学习过程中，不等式处处都有，本节课以性质为主，需要学生们大量的看书来获得必备的知识和方法。 利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质，即以基本性质为理论依据，以运算中的不变性和规律性为研究方向，通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质。 教学中以引导学生和学生活动为主，提高学生们自主学习的积极性和能力，加强学生们对内容的理解和分析，从而得到掌握本节课的内容。 教 学 设 计 一、创设情景，提出问题 在日常生活中，购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票. 每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。 【想一想】 设儿童的身高为米，如何利用不等式或不等式组来表示“身高超过1.2 m(含1.2 m)而不超过1.5 m”、“身高超1.5 m”和“身高不足1.2米”呢？ 【提示】 问题1：你能用不等式和不等式组表示下面的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h; （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5％,蛋白质的含量p应不少于2.3％； （3）三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 师生活动：学生思考、讨论后给出答案，师引导学生确定问题中的量，并用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式。 【设计意图】创设实际问题及数学问题情境，引导学生用不等式表示这些不等关系。理解不等式的概念。提高学生用数学眼光观察世界，用数学语言表达世界的能力。 板书1： 不等式:用不等号表示不等关系的式子称为不等式。 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 师生活动：审题找出题中数量关系；根据数量关系构建不等式 【设计意图】此问题需要用不等式表示不等关系，还需解不等式，从而引向讨论不等式性质。 师：初中我们已经研究了一些不等式的性质，这些性质为什么正确？还有没有其他性质？这些问题的解决需要用到两个实数大小关系的基本事实，如何比较两个实数的大小关系呢？ 板书2： 关于两个实数大小关系的基本事实： ①如果，那么；； ②如果，那么；； ③如果，那么；。 常用方法：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小. 方法应用： 1 比较与的大小； 2 比较与大小。 3 比较与的大小关系 【设计意图】 此题是两个实数大小关系的基本事实的简单应用，借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）。这是解决不等式问题的常用方法，让学生再次体会此方法在比较大小中的应用。 进行整式的比较大小，总结比较大小的常用方法“作差法”的一般步骤。 板书3： 作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．总结变形的一般方法：因式分解或配方。 我们学习了比较两个数的大小，为学习不等式的性质奠定了基础。让我们先回顾等式的有关性质： 性质1 如果，那么。（对称性） 性质2 如果，那么。（传递性） 性质3 如果，那么。 性质4 如果，那么。 性质5 如果，，那么。 通过等式性质可以发现，等式在运算中的不变性。类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？ 性质1 如果如果，那么. 性质2 如果，那么(传递性） 性质3 如果，那么 性质4 如果那么； 如果那么 性质5 如果，那么 性质6 如果，那么 性质7 如果那么。 重要结论：如果,那么；如果那么。 师生活动：学生独立思考、讨论交流并给出答案。教师进行总结、归纳、补充并板书出等式的性质。等式两边加、减，乘，除同一个数，等式仍然成立．教师指出，这三条性质反映了相等关系在运算中保持不変性的特点。 板书4： 证明：性质2和性质3。 设计意图：通过以上问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向。 二、知识应用，理解巩固 板书5： 例1：已知，求证：。 例2：已知， 求证：。 三、课堂小结，复习回顾 1 两个实数大小的基本事实： 2 等式的有关性质： 3 不等式的基本性质： 四、达标检测，巩固新知 1.用不等号“”或“”填空： （1）如果，，那么 ； （2）如果，，那么 ； （3）如果，那么； （4）如果，那么； 2.下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. 其中正确结论的序号是 . 3.已知，，那么a，b，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 4 若,,则下列不等关系中不一定成立的是( ) A. B. C. D. 5.如果，那么下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 6 如果a，b，c满足，且，那么下列不等式中不一定成立的是(　　) A B C 7 (多选题)若,则下列命题: （1）. (2). (3). (4) 中能成立的是(　　) A. (1) B.(2) C.(3) D.(4) 8 设，比较下列字母的大小 （1）；（2）；（3）；（4）。 9. 完成一项装修工程,请木工共需付工资每人500元,请瓦工共需付工资每人400元,现有工人工资预算20000元,设木工x人,瓦工y人,则工人满足的关系式是(　　) A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 10．若，则下列关系正确的是(　　) A．　　 　B． C． D． 11.下列命题中正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12.已知，求下列各式的取值范围． (1)；(2)；（3). 13已知实数满足，，求的取值范围 14已知且，则的取值范围是________. 15.已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围． 板书设计 1.导入情境； 2.不等式的定义； 3.两个实数大小关系的基本事实 4.等式的性质； 5.不等式的性质。 例1、 例2 课后作业 课本第43页，习题2.1 3-6题。 教学反馈 （1） 总体教学反馈 （二）本班教学反馈 学科网（北京）股份有限公司 $$