2.3 直线的交点坐标与距离公式（八个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

2.3直线的交点坐标与距离公式 一、直线的交点坐标问题 五、直线围成的图形问题 二、经过两直线交点的直线方程 六、两条平行直线的距离 三、两点间距离公式的应用 七、对称问题 四、点到直线的距离公式应用 八、距离的最值问题 知识点1两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 重难点一 直线的交点坐标问题 【例1】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【例2】两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．(,) B．(,0) C．(0,) D．() 【变式1-1】已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式1-2】若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 【变式1-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点二 经过两直线交点的直线方程 【例3】经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【例4】已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【变式2-1】经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【变式2-2】已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直于直线的直线方程为 ． 【变式2-3】已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且与x轴、轴的正半轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程． 知识点2两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 重难点三 两点间距离公式的应用 【例5】直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【例6】已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【变式3-1】已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 【变式3-2】设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【变式3-3】在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为 . 知识点3点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 重难点四 点到直线的距离公式应用 【例7】已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【例8】已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式4-1】（多选）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（    ） A． B．2 C．0 D． 【变式4-2】已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是 . 【变式4-3】已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 重难点五 直线围成的图形问题 【例9】已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知三点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求的面积. 【变式5-1】已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式5-2】（多选）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 【变式5-3】已知，三条直线两两相交，交点分别为． (1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求面积的最大值． 知识点4两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 重难点六 两条平行直线的距离 【例11】已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【例12】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 【变式6-1】两直线与平行，则它们之间的距离为 . 【变式6-2】（多选）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线一定相交 【变式6-3】（多选）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 重难点七 对称问题 【例13】直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【例14】某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【变式7-1】在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 【变式7-2】直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】点关于直线对称的点的坐标为 ． 重难点八 距离的最值问题 【例15】点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【例16】已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【变式8-1】已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 【变式8-3】已知直线（为任意实数），直线. (1)当时，求的值； (2)过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值. 一、单选题 1．点到直线的距离等于（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 2．直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 3．点到直线的距离的最大值（    ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 5．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 8．已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A．存在使最小 B．存在使最小 C．存在使最小 D．存在使最小 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 10．在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线的距离相等，则此点的坐标是 . 11．设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 四、解答题 12．回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 13．三边所在直线方程①，②，③，请问是否存在，使得面积最大？面积最小？若存在，求出最大、最小值；若不存在，请说明理由． 14．已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3直线的交点坐标与距离公式 一、直线的交点坐标问题 五、直线围成的图形问题 二、经过两直线交点的直线方程 六、两条平行直线的距离 三、两点间距离公式的应用 七、对称问题 四、点到直线的距离公式应用 八、距离的最值问题 知识点1两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 重难点一 直线的交点坐标问题 【例1】判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1) (2)相交，交点为 (3) (4)重合 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，，所以与相交． ，解得，所以交点为. （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，，所以与重合． 【例2】两条直线和的交点在第二象限，则m的取值范围是（　　） A．(,) B．(,0) C．(0,) D．() 【答案】C 【详解】由解得即两条直线的交点为， 由交点在第二象限，得,解得. 故选：C. 【变式1-1】已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 【变式1-2】若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 【变式1-3】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：联立两直线方程，得，解得， 所以两直线的交点坐标为. 因为两直线的交点在第一象限，所以，解得， 设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以. 法二：由题意，直线l过定点， 设直线与x轴、y轴的交点分别为. 如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，    ∴的倾斜角为，的倾斜角为. ∴直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D 重难点二 经过两直线交点的直线方程 【例3】经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】联立方程，解得， 所以直线和的交点为， 由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为， 可知所求直线方程为， 令，可得；令，可得； 可知直线在x，y轴上的截距分别为，， 由题意可得，整理得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：C. 【例4】已知直线l经过直线与的交点P． (1)若直线l与直线垂直，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）联立可得，，所以点. 由已知可设直线l的方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. （2）当直线过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以直线l的方程为，整理可得； 当直线不过原点时，设方程为， 代入点坐标有，解得， 所以，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 【变式2-1】经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【答案】或 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式2-2】已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为 ，过交点并且垂直于直线的直线方程为 ． 【答案】 【详解】方法1：由方程组解得 即交点为．因为所求直线与直线垂直， 所以所求直线的斜率为． 由点斜式得所求直线方程为，即； 方法2：由垂直关系可设所求直线方程为． 由方程组可解得交点为， 代入得，故所求直线方程为； 方法3：由题意可设所求直线的方程为， 即①， 又因为所求直线与直线垂直， 所以，解得， 代入①式得所求直线方程为． 故答案为：；. 【变式2-3】已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且． (1)求直线和的交点坐标； (2)已知直线经过与的交点，且与x轴、轴的正半轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，直线的斜率为， 所以直线的斜率为1， 又直线在轴上的截距为， 所以：． 联立方程组，解得， 所以直线和的交点坐标为． （2）由题意知直线的斜率存在， 由（1）可知直线和的交点坐标为，又直线经过与的交点， 所以设：，． 令，得；令，得． 由题意，化简得， 解得，即直线的方程为，化简得． 知识点2两点间的距离公式 如图，由点，由此得到两点间的距离公式， 特别地，原点与任一点间的距离 重难点三 两点间距离公式的应用 【例5】直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 【例6】已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 【变式3-1】已知直线和． (1)求经过原点与垂直的直线方程； (2)若直线和与x轴分别交于A，B两点，求|AB|． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）因为直线，所以的斜率为， 设所求直线的斜率为，因为与垂直，所以，解的， 所以所求直线方程为，即； （2）对于直线，令，则，所以， 对于直线，令，则，所以， 所以， 所以. 【变式3-2】设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】设， 因为的中点坐标为，可得， 整理得，解得或， 不妨设，所以. 故选：B. 【变式3-3】在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为 . 【答案】 【详解】设，则AC边的中点为，BC边的中点为， 因为点M在y轴上，所以，解得. 因为点N在x轴上，所以，解得，即. 故答案为:. 知识点3点到直线的距离公式 点到直线的距离，可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立． 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 重难点四 点到直线的距离公式应用 【例7】已知到直线的距离等于3，则a的值为 . 【答案】或 【详解】由距离公式可得，， 即，解得或. 故答案为：或. 【例8】已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 【变式4-1】（多选）已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】AC 【详解】解法1：点到的距离相等，即， 解得或； 解法2：直线过定点，线段的斜率为， 直线与平行时，点到直线的距离相等，此时； 直线经过的中点时，点到直线的距离相等， 此时， 综上，或. 故选：AC. 【变式4-2】已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【详解】联立两条直线的方程， 解得交点的坐标为， ∴， 由，故得的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】已知直线，直线与直线的交点为，则点到直线的距离最大时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由解得，即. 由整理得， 由解得，所以直线过定点， ，， 则当点到直线的距离最大时，. 故选：A 重难点五 直线围成的图形问题 【例9】已知点，直线将分割成面积相等的两部分，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，由已知得，由得，， ，直线与轴交于， 当在点与点之间（包括点）时， ，， 则有，所以，， ，故，所以，，又，，故； 当在点的左侧时， 解得，， 由得，此时，， 点到直线的距离， ，得， 则有，所以，， 又，，故，，即. 综上所述：实数b的取值范围. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：这道题的关键点是考虑当在点与点之间（包括点）和当在点的左侧两种情况，然后通过计算各点的坐标计算面积 【例10】已知三点. (1)求边上中线所在直线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设边的中点为，则点，则边上中线过点与点，则，即. （2）直线，点到直线的距离为 . 【变式5-1】已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，，当的面积最大时，m的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，，，， 易知，故直线所在方程为，即， 点到该直线的距离为， 故 ， ， 当时，有最大值，此时． 故选：B． 【变式5-2】（多选）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 【答案】ABC 【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，B对； 对于C选项，，，则， 所以，又，， 所以，所以为等腰直角三角形，C对； 对于D选项，的面积为，D错误. 故选：ABC. 【变式5-3】已知，三条直线两两相交，交点分别为． (1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）记的交点为A，记的交点为B，记的交点为C， 的斜率为，的斜率为， ，                         ，即是直角三角形，其中， 又，所以过定点， ，所以过定点， 有一个顶点B为定点； （2）的面积为， 其中AB为B到直线的距离，即， 又得交点为到直线的距离，即， ， 当且仅当时取等号， 时，面积取得最大值． 知识点4两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线间的距离 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 重难点六 两条平行直线的距离 【例11】已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【答案】D 【详解】将改写为， 因为两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48． 故选：D. 【例12】已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 【答案】 【详解】由题意，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，直线的斜率为，则， 直线的斜率为，解得， 故． 故答案为：5 【变式6-1】两直线与平行，则它们之间的距离为 . 【答案】 【详解】依题意可得，，解得， 所以直线方程为，又，即， 则两平行直线的距离为. 故答案为：. 【变式6-2】（多选）已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则两条平行直线之间的距离为 C．若，则 D．若，则直线一定相交 【答案】ACD 【详解】对于，两条直线的方程分别为与， 当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确； 对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误； 对于，当，则，解得，故正确； 对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确. 故选：ACD. 【变式6-3】（多选）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】直线被截得的线段长为， 两平行直线的距离直线和的夹角为， 又直线的倾斜角为，直线的倾斜角可能是或. 故选:AC. 重难点七 对称问题 【例13】直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 【例14】某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（    ） A． B．32 C． D．48 【答案】A 【详解】 如图，设关于直线对称的点为， 则得即， 易知， 当三点共线时， 取得最小值， 最小值为. 故选：A 【变式7-1】在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 . 【答案】 【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则直线方程为， 设关于和直线的对称点分别为，则， 记，则，解得， 因为为的重心，，所以， 由光的反射原理可知，三点共线，所以， 即，解得（舍去）或. 故答案为： 【变式7-2】直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 【变式7-3】点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【详解】由直线方程，则其斜率， 与直线垂直的直线斜率， 设直线过，可得其直线方程，整理可得， 联立可得，解得，交点坐标， 设关于直线对称点坐标，则，解得， 所以关于直线对称点坐标. 故答案为：. 重难点八 距离的最值问题 【例15】点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 【例16】已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线. (1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程; (2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由; 【答案】(1)； (2)存在最大值； 【详解】（1）因为，所以， 所以直线的倾斜角为， 因为，所以， 所以直线的方程为：，化简得：. （2）将直线变形可得：， 对于取任何实数时，此方程恒成立，则 得， 即直线恒过两直线及的交点， 由图象可知，对于任何一条过点的直线，点到它的距离不超过，即．      又因为过点且垂直于的直线方程是， 但无论时，直线表示为， 此时距离最大．所以，存在最大值． 【点睛】本题考查了定点到动直线的距离的最大值问题，求出直线恒过的定点是解决问题的关键，还考查了数形形合思想，还要注意检验取得最值的条件. 【变式8-1】已知方程在实数范围内有解，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，将方程中的看成主元，看成系数， 则变成二元一次方程， 该方程可以表示直角坐标系中的一条直线，直线上的点为， 的几何意义是点与的距离， 所以直线上的点到点的距离不小于到直线的距离， 到直线的距离为 ， 即，所以， 又，是开口向上的抛物线， 当时，，所以， 即的最小值为. 故选：A 【变式8-2】已知，为圆上的两个动点，，若点为直线上一动点，则的最小值为 . 【答案】6 【详解】如图：取中点，因为，圆的半径为2，所以，点的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，. ， 由点到直线距离公式，得：，所以， 所以. 故答案为：6 【变式8-3】已知直线（为任意实数），直线. (1)当时，求的值； (2)过点作直线的垂线，垂足为Q，求点Q到直线的距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，有，解得；经检验与不重合， 所以. （2），斜率为， 过点与直线的垂线的直线方程为：即， 联立方程，解得，即Q， 直线即， 联立，解得，所以直线恒过点， 使点Q到直线的距离的最大值，只需线段QR垂直于直线， 此时点Q到直线的距离的最大值为：. 一、单选题 1．点到直线的距离等于（    ） A．10 B．7 C．5 D．2 【答案】B 【详解】因为直线垂直于轴， 所以点到直线的距离为. 故选：B 2．直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 3．点到直线的距离的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 4．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点的坐标分别为（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设C关于直线的对称点为， 则，解得，即， C关于y轴的对称点为，    则的周长为， 当点在同一条直线上时，，即的周长最小； 此时的斜率为，故的方程为， 联立，解得，即， 对于，令，则，即， 故选：C 5．已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上中线所在的直线方程为，则高的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求得点的坐标，然后求得点的坐标，进而求得. 【详解】当时，，所以交点，所以； 当时，由解得，所以， 所以到的距离， 若，则，当且仅当时取等号， 若，则，当且仅当时取等号， 所以，所以， 所以，所以的最大值为， 综上可知，点P到直线的距离的最大值为， 故选：D. 二、多选题 7．若三条直线不能围成三角形，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】三条直线不能围成三角形，分为以下三种情况： ，则有，解得； ，则有，解得； 相交于同一个点， 由， 解得代入，可得，解得； 故选:ABC. 8．已知两点，点是直线：上的动点，则下列结论中正确的是（    ） A．存在使最小 B．存在使最小 C．存在使最小 D．存在使最小 【答案】ABD 【详解】对于A：设点关于直线的对称点为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当为与交点时满足题意， 又因为，即， 所以，所以，所以，故A正确； 对于B：设，所以， 所以，当且仅当时有最小值， 此时，所以，故B正确； 对于C：如下图，根据与的位置关系可判断出有最大值，无最小值，故C错误；    对于D：因为，取等号时，即为垂直平分线与的交点， 因为垂直平分线方程为，即， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 9．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 . 【答案】 【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值， 此时，所在直线方程为， 联立解得，即. 故答案为： 10．在直线上求一点，使它到原点的距离和到直线的距离相等，则此点的坐标是 . 【答案】或 【详解】由题意，点在直线上，设这点坐标， ，解得， 所以点的坐标为或. 故答案为：或. 11．设点，在轴上，在直线上，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】设关于的对称点为，关于轴的对称点为， 则，解得，故， 连接交轴于点，交直线于点，连接， 则， 此时的周长最小，最小值为.    故答案为： 四、解答题 12．回答下面两题 (1)求直线：，：的交点坐标； (2)求点到直线：的距离； 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）联立，得， 所以直线和的交点坐标为； （2）点到直线的距离， 所以点到直线的距离为. 13．三边所在直线方程①，②，③，请问是否存在，使得面积最大？面积最小？若存在，求出最大、最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，最大值为1，无最小值. 【详解】解方程组，得交点坐标为， 解方程组，得交点坐标为， 解方程组，得交点坐标为， 如图，， 得， 因为，所以当及，即，，时，最大，最大值为1，无最小值． 14．已知直线过点，直线：． (1)若直线，求直线的方程； (2)若直线为入射光线，经直线反射，其反射光线经过点，求的方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为直线, 所以，即, 因为，所以，即， 从而直线的方程为：即; （2）设点关于直线的对称点为， ，解得：， 入射光线的斜率为，从而入射光线的直线方程为， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$