专题01 倾斜角与斜率（知识梳理+分层练习）-2024-2025学年高二数学教学同步知识归纳与分层小练（人教A版2019选择性必修第一册）

01倾斜角与斜率 一、知识归纳： 1．直线的倾斜角 （1）定义：如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 2．直线的斜率 （1）当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即 ；当，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在．倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． （2）直线上任意两点、，当时， ；当时，斜率k ． （3）事实上，即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． （4）斜率k和倾斜角θ之间的关系 的大小 的范围 不存在 的增减性 随的增大而 随的增大而 3．直线的方向向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． 4.如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． 5.如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 自检自纠：1.（1）逆时针, 0 （2） 2. （1）（2），不存在（4），，增大，增大 3. 平行或重合， 4. ，共线 5. 二、分层小练： A.基础训练 1．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 2．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 3．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 4．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． B.提升强化 5．直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于零或小于零 D．以上结论都有可能 6．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01倾斜角与斜率 一、知识归纳： 1．直线的倾斜角 （1）定义：如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 2．直线的斜率 （1）当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即 ；当，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在．倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． （2）直线上任意两点、，当时， ；当时，斜率k ． （3）事实上，即正切函数在上的图像受正切函数定义域的限制，在上的图像不连续，从而在及上分两段递增，所以求解时，应当把倾斜角的范围分成两部分，分别求得斜率k的范围，再取并集即可． （4）斜率k和倾斜角θ之间的关系 的大小 的范围 不存在 的增减性 随的增大而 随的增大而 3．直线的方向向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． 4.如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． 5.如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 自检自纠：1.（1）逆时针, 0 （2） 2. （1）（2），不存在（4），，增大，增大 3. 平行或重合， 4. ，共线 5. 二、分层小练： A.基础训练 1．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ABC 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为， 当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误； 对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是， 即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确. 故选：ABC. 2．已知三点A，B，C在同一直线上，则实数的值是 . 【答案】3 【详解】三点A，B，C在同一直线上，，，解得. 3．若直线l的斜率，则直线l的倾斜角θ的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据的部分图象，结合倾斜角定义范围，可以得出倾斜角θ的取值范围为．故答案为：. 4．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为直线的斜率，又因为直线的倾斜角为锐角，所以，解得. 故答案为： B.提升强化 5．直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（    ） A．大于零 B．小于零 C．大于零或小于零 D．以上结论都有可能 【答案】A 【详解】由图像可知：  ,故选:A 6．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上的图象如图所示，由图可知，当时，倾斜角的取值范围为.故选：C. 7．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，而，故直线的取值范围为，故选：A. 8．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$