专题02 利用基本不等式的性质巧求最值（六大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题02 利用基本不等式的性质巧求最值（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 直接法求最值】 【题型2常规凑配法求最值】 【题型3 消参法求最值】 【题型4 “1”的代换求最值】 【题型5双换元求最值】 【题型6 齐次化求最值】 【题型1 直接法求最值】 【典例1】函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可． 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：B. 【变式1-1】如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 【变式1-2】已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 【题型2常规凑配法求最值】 【典例2】已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解. 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 【变式2-1】函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】将函数化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故选：C 【变式2-2】已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】由，则，故， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 【变式2-3】已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【答案】 2 1 【分析】现将函数进行配凑，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为,所以, 所以， 当且仅当, 即时等号成立， 所以. 故答案为：. 【题型3 消参法求最值】 【典例3】已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 【变式3-1】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则 ， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 【变式3-2】已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得出，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意得，则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 故答案为：. 【变式3-3】已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 【变式3-4】已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 【题型4 “1”的代换求最值】 【典例4-1】已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解. 【详解】由题意得， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：A 【典例4-2】若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值. 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 【变式4-1】设，，，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式，求解即可. 【详解】因为，，， 故， 当且仅当，也即时取得等号. 故答案为：. 【变式4-2】已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 【题型5双换元求最值】 【典例5】已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意首先得，且，进一步通过换元法以及判别式法即可求解，注意验证取等条件. 【详解】因为，所以，所以，等号成立当且仅当， 从而， 令，设，显然， 则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得，注意到，从而， 等号成立当且仅当，即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：关键是得，且，由此即可顺利得解. 【变式5-1】若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】令，可得，则，进而可得，然后求出最大值即可. 【详解】令，则，即， 所以， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查由基本不等式求最值，解题关键是代数式的变形，即设，将原式转化为，从而得出可用基本不等式的形式. 【变式5-2】若实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中. 则，从而， 记，则， 不妨设，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题. 【题型6 齐次化求最值】 【典例6】函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【答案】D 【分析】将函数化成的形式，然后用均值不等式即可求出答案. 【详解】函数， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时最小值为. 故选：D. 【变式6-1】若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由，而，利用基本不等式可求出最小值，结合等号取得的条件可求出的值. 【详解】由题意，，而 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 【变式6-2】已知，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 3 2 【分析】将式子拆开后用基本不等式即可求解最小值及取得最小值时自变量的值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当即时取等号. 所以函数的最小值为3，当且仅当时取等号， 故答案为：3；2 【变式6-3】当时，函数的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【变式6-4】当时，函数的最小值为__________________． 【答案】5 【分析】对函数形式进行化简，得到基本不等式形式，根据基本不等式，得到答案. 【详解】 当且仅当，即时，等号成立. 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于简单题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用基本不等式的性质巧求最值（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 直接法求最值】 【题型2常规凑配法求最值】 【题型3 消参法求最值】 【题型4 “1”的代换求最值】 【题型5双换元求最值】 【题型6 齐次化求最值】 【题型1 直接法求最值】 【典例1】函数的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-1】如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【题型2常规凑配法求最值】 【典例2】已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-1】函数的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2-2】已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式2-3】已知函数，当时，取得最小值，则 ； ． 【题型3 消参法求最值】 【典例3】已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-1】已知，且，则的最小值为 ． 【变式3-2】已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式3-3】已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【变式3-4】已知，且，则的最小值为 ． 【题型4 “1”的代换求最值】 【典例4-1】已知，且，则的最小值为（    ） A．45 B．42 C．40 D．38 【典例4-2】若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【变式4-1】设，，，则的最小值为 【变式4-2】已知，且，则的最小值是 . 【题型5双换元求最值】 【典例5】已知，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若实数满足，则的最大值为 . 【变式5-2】若实数满足，则的最大值为 . 【题型6 齐次化求最值】 【典例6】函数的最小值及取得最小值时的值为（    ） A．当时最小值为 B．当时最小值为 C．当时最小值为 D．当时最小值为 【变式6-1】若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【变式6-2】已知，则的最小值为 ，此时 . 【变式6-3】当时，函数的最小值为 . 【变式6-4】当时，函数的最小值为__________________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$