专题01 集合重难点题型突破（六大题型）高频考点题型归纳与方法总结-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01 集合重难点题型突破（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 元素与集合的关系】 【题型2已知集合关系求参】 【题型3 集合综合计算】 【题型4 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【题型5韦恩图的实际应用】 【题型6 充分必要条件及求参】 【题型1 元素与集合的关系】 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】多选题已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】，若，则，那么可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．0 【变式1-5】设集合，则集合 ． 【题型2已知集合关系求参】 【典例2】已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【变式2-1】已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 【变式2-2】设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【变式2-4】已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【变式2-5】多选题已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【变式2-6】设集合，若，则 . 【变式2-7】设集合，若，则的值的集合为 . 【变式2-8】已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【变式2-9】已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【题型3 集合综合计算】 【典例3】设集合，，求，， . 【变式3-1】设全集为，集合，集合. (1)求； (2)求. 【变式3-2】已知集合，或，当时.求： (1)； (2). 【变式3-3】设集合.求： (1)； (2). 【变式3-4】已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【变式3-5】设，，，求： (1)； (2)． 【题型4根据交并补混合运算确定集合或参数】 【典例4】已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式4-1】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【变式4-2】设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【变式4-3】已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【变式4-4】已知全集，，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【题型5韦恩图的实际应用】 【典例5】已知全集为实数集，集合，. (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式5-1】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人，求对都不赞成的学生有多少人？ 【变式5-2】设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【变式5-3】设全集为，集合，或. (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【题型6 充分必要条件及求参】 【典例6】已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-1】已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式6-2】已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式6-4】设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式6-5】已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【变式6-6】已知集合，或． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合重难点题型突破（六大题型） 高频考点题型归纳 【题型1 元素与集合的关系】 【题型2已知集合关系求参】 【题型3 集合综合计算】 【题型4 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【题型5韦恩图的实际应用】 【题型6 充分必要条件及求参】 【题型1 元素与集合的关系】 【典例1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】因为，所以，而是集合，与的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系. 故选:A 【变式1-1】若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 【变式1-2】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合，逐个元素判定，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以． 故选：B． 【变式1-3】多选题已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】直接根据元素与集合的关系求解. 【详解】， 正确，错误． 故选：BD． 【变式1-4】，若，则，那么可以是（　　） A．2 B．4 C．6 D．0 【答案】AB 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】若，则，符合要求； 若，则，符合要求； 若，则，不符合要求； 若，则，不符合要求. 故选：AB. 【变式1-5】设集合，则集合 ． 【答案】 【分析】由得的取值，求出所有满足题意的即可. 【详解】因为，所以， 解得，又， 则.即 故答案为：. 【题型2已知集合关系求参】 【典例2】已知集合，且，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】分别令，，解出的值，并根据集合中元素的互异性排除不合题意的值. 【详解】若，则，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，解得或， 若，则根据集合中元素的互异性知不符合题意，舍去； 若，则，符合题意. 故选：B. 【变式2-1】已知集合，且是中的一个元素，则（    ） A． B．或3 C． D．或 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于实数的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】集合，且. ①当时，，此时，，集合中的元素不满足互异性，故不符合题意，舍去； ②当时，（舍）或. 若，则，此时集合，符合题意， 综上所述，. 故选：A. 【变式2-2】设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 【变式2-3】已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0或2或3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中的元素满足互异性，即可分类讨论求解. 【详解】当时，则，此时集合，符合要求， 当时，得或，而当时，不符合要求， 而当时，，符合题意， 综上可知：或， 故选：C 【变式2-4】已知集合，若，则实数的值为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】，且，或 ⑴、当即或， ①、当时，，，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； ②、当时，，，此时，符合题意； ⑵、当即时，此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 综上所述：实数的值为1. 故选：B 【变式2-5】多选题已知集合，若，则的取值为（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】CD 【分析】根据题意由或，解得，然后检验元素的互异性即可. 【详解】由于，则或，解得或或， 当时，，满足条件; 当时，，满足条件; 当时，，不满足互异性，舍去. 所以的取值为1或3. 故选：CD. 【变式2-6】设集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据元素和集合的关系求解即可. 【详解】集合，若， 则. 故答案为： 【变式2-7】设集合，若，则的值的集合为 . 【答案】 【分析】运用元素与集合之间的关系，分类讨论计算即可 【详解】若，即时，，不满足互异性， 若，即或时，同理可验证时不满足互异性，成立， 若，即或，验证都不满足互异性. 综上，. 故答案为： 【变式2-8】已知集合． (1)若A是空集，求的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，集合，当时，集合； (3) 【分析】（1）利用是空集，则即可求出的取值范围； （2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可； （3）分中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解． 【详解】（1）解： 是空集， 且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）：①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【变式2-9】已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 【题型3 集合综合计算】 【典例3】设集合，，求，， . 【答案】，，或 【分析】分别利用交集，并集，补集的运算进行求解即可. 【详解】由集合，， 则  ，或 因此可得或 又或， 因此或或或. 【变式3-1】设全集为，集合，集合. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集的运算，求得，结合集合交集的运算，即可求解； （2）根据集合并集的运算，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，集合，可得， 因为集合，所以. （2）解：因为集合，集合， 根据集合并集的运算，可得. 【变式3-2】已知集合，或，当时.求： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出集合A，再根据交集运算即可； （2）先求实数上B的补集，再求并集运算即可. 【详解】（1）当时，， 或， 或； （2）或， ， . 【变式3-3】设集合.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据交集运算求解； （2）先求，再结合补集运算求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，则， 所以或. 【变式3-4】已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解； （2）首先计算补集，再求交集. 【详解】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 【变式3-5】设，，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由集合运算的定义计算； （2）由集合运算的定义计算． 【详解】（1）由已知， ，∴； （2），， ． 【题型4根据交并补混合运算确定集合或参数】 【典例4】已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以 ， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 【变式4-1】已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【变式4-2】设全集 ，，． (1)若 ，求 ． (2)若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用集合的补集和交集的运算知识即可求解. （2）求出，，分，两种情况讨论，根据集合的运算求解即可. 【详解】（1）当时，，， 所以或，； （2）全集 ，， 或， ， 分，两种情况讨论. （1）当时，如图可得，或， 或； （2）当时，应有：，解得； 综上可知，或， 故得实数 的取值范围. 【变式4-3】已知集合，或． (1)若，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意，先求出集合的补集，再利用集合的并集运算求解即可； (2)根据集合的包含关系分和两种情况进行讨论即可求解. 【详解】（1）若，则集合， 所以， 所以； （2）因为集合，或， 因为，所以分以下两种情况： 若，即，解得，满足题意， 若，则 解得， 综上所述a的取值范围为 【变式4-4】已知全集，，，． （1）求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）,或;（2）. 【分析】（1）根据交集得概念和补集的概念即可求出结果； （2）分和时进行讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为，，所以， 又，则或， （2）因为， 当时，，即，满足条件， 当时，则满足，解得， 综上：的取值范围为. 【题型5韦恩图的实际应用】 【典例5】已知全集为实数集，集合，. (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图可知阴影部分表示的是，从而可求得结果， （2）分和两种情况求解即可 【详解】（1）当时，， 因为全集为实数集，集合， 所以或， 由图可知阴影部分表示的是， 所以， （2）当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以，解得， 综上，，即实数的取值范围为 【变式5-1】向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人，求对都不赞成的学生有多少人？ 【答案】8 【分析】借助Venn图计算即可. 【详解】 由题意：赞成的人数30，赞成的人数为33，设对都赞成的学生数为，则对都不赞成的学生数，如图可得：，所以，. 故答案为：8. 【变式5-2】设全集，集合，或．    (1)求图中阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】由韦恩图图及含参数的集合交并补的混合运算即可求解. 【详解】（1）因为，或， 所以， 则图中阴影部分表示． （2）因为，或，且， 所以，， 所以当时，，解得，符合题意； 当时，或者， 此时不等式组无解， 不等式组的解集为， 综上，a的取值范围为． 【变式5-3】设全集为，集合，或. (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，解得即可. 【详解】（1）解：因为，或， 所以， 所以图中阴影部分表示； （2）解：因为，或且， 所以，解得； 【题型6 充分必要条件及求参】 【典例6】已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式6-1】已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 【变式6-2】已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可； （2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可. 【详解】（1）因为p：，所以p：，即， 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是或； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以， 解得，即实数m的取值范围是． 【变式6-3】已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2） 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【变式6-4】设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) ，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以 ，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 【变式6-5】已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 【变式6-6】已知集合，或． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合的并运算法则进行运算即可； （2）依题得，分和两种情况谈论，根据条件列出不等式，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以 因为或 所以 或 或. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以, 所以①若，则，即,满足题意； ②若， 则或， 即或 所以或 综合①②知，实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$