专题01 集合与常用逻辑用语（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题01集合与常用逻辑用语 【考点01：集合的概念】 【考点02：元素与集合的关系】 【考点03：集合的表示方法】 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 【考点05：利用集合元素的互异求参数】 【考点06：两个集合相等求参数】 【考点07：根据集合元素求个数】 【考点08：集合的基本关系】 【考点09：根据集合间的关系求参数】 【考点10：集合的运算】 【考点11：集合运算中求参问题】 【考点12：韦恩图的运用】 【考点13：充要条件的判断及应用】 【考点14：充分、必要、充要和集合的关系】 【考点15：全称、存在量词命题的综合】 知识点1： 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性. 知识点2：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点3：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点4：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点5：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点6：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 知识点7：交集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 知识点8：并集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、符号语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 知识点9：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 知识点10：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 知识点11 ：充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点12：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点13：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点14：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点15：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【考点01 ：集合的概念】 1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 2．下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．我不喜欢的人 B．高大的山 C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区 3．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【考点02：元素与集合的关系】 4．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 6．若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 7．集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 8．已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【考点03：集合的表示方法】 9．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 10．已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 11．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 12．方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 13．集合用列举法表示为 . 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 15．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 16．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 17．已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 18．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 19．多选题已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 20．设集合，且，则实数m的值为 . 【考点05：利用集合元素的互异求参数】 21．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 22．已知集合，且，则（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【考点06：两个集合相等求参数】 23．已知，若，则实数的值为 ． 24．已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 25．已知，，若集合，则的值为 ． 26．已知集合，其中，则实数 . 【考点07：根据集合元素求个数】 27．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 28．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【考点08：集合的基本关系】 29．已知集合，，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．M，N互不包含 30．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 31．设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 32．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 33．多选题下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点09：根据集合间的关系求参数】 34．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 36．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 37．设集合，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【考点10：集合的运算】 40．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 41．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 42．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 43．已知集合 ，，，则=（　　） A． B． C． D． 44．设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点11：集合运算中求参问题】 45．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 46．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 47．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 48．已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【考点12：韦恩图的运用】 49．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 50．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ）    A．3 B．4 C．7 D．8 51．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 52．设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 53．如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 54．多选题已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【考点13： 充要条件的判断及应用】 55．设，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 56．“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 57．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 58．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 59．多选题下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【考点14： 充分、必要、充要和集合的关系】 60．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 61．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 62．已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 63．已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【考点15：全称、存在量词命题的综合】 64．命题“，有”的否定是（    ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 65．已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 66．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 67．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01集合 【考点01：集合的概念】 【考点02：元素与集合的关系】 【考点03：集合的表示方法】 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 【考点05：利用集合元素的互异求参数】 【考点06：两个集合相等求参数】 【考点07：根据集合元素求个数】 【考点08：集合的基本关系】 【考点09：根据集合间的关系求参数】 【考点10：集合的运算】 【考点11：集合运算中求参问题】 【考点12：韦恩图的运用】 【考点13：充要条件的判断及应用】 【考点14：充分、必要、充要和集合的关系】 【考点15：全称、存在量词命题的综合】 知识点1： 元素与集合的概念 1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互异性、无序性. 知识点2：元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点3：常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点4：集合的表示 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． （2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点5：子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 知识点6：空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 知识点7：交集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 3、图形语言：阴影部分为A∩B 4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A 知识点8：并集 1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 3、符号语言：阴影部分为A∪B 4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B. 知识点9：补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集， 那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. （2）符号语言： （3）符号语言： （4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A. 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 知识点10：充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 知识点11 ：充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 知识点12：全称量词与全称量词命题 1、全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】 （1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行” 知识点13：存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】 （1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点14：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 知识点15：命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 5、常见正面词语的否定： 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 【考点01 ：集合的概念】 1．下列各组对象能构成集合的是（    ） A．2023年参加“两会”的代表 B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目 C．的近似值 D．我校跑步速度快的学生 【答案】A 【分析】根据集合的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确； 对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B错误； 对于C：的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误； 对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误； 故选：A 2．下列研究的对象能构成集合的是（    ） A．我不喜欢的人 B．高大的山 C．好吃的西瓜 D．中国所有的级景区 【答案】D 【分析】由集合中元素的确定性判断即可. 【详解】由于我不喜欢的人，高大的山，好吃的西瓜，都不具有确定性， 故不能构成集合，只有中国所有的级景区能构成集合. 故选：D 3．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 故选：ACD 【考点02：元素与集合的关系】 4．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【详解】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 5．已知集合，则与集合的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为. 故选：B. 6．若集合，，则B中元素的最小值为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，， 所以B中元素的最小值为. 故选：A 7．集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【详解】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 故选：B 8．已知集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】变量分别从集合中取值即可，要做到不重不漏. 【详解】当时，； 当时，； 当或时，； 所以. 故选：B. 【考点03：集合的表示方法】 9．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式可得，再由即可求得结果. 【详解】易知. 故选：B 10．已知，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合所满足的条件即可直接得出答案。 【详解】因为，且，所以. 故选：C 11．若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 12．方程组的解构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解出方程组，再由列举法表示出解集. 【详解】由，解得， 所以方程组的解构成的集合是. 故选：D 13．集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】观察集合中的式子，给赋值，即可求解. 【详解】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 【考点04：根据元素与集合的关系求参数】 15．已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 16．设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解. 【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​. 当 ​时,​或​; 当​时,​. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求. 综上, ​或​. 故选: D. 17．已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【详解】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 故选：C. 18．已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【详解】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 故选：D. 19．多选题已知集合，，则a的值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】由题意可得或或，求出对应的a值，结合集合的特征依次验证即可. 【详解】，集合， 得或或， 解得或或， 当时，，，不符合集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，，，满足题意； 当时，，，，满足题意. 故选：BD. 20．设集合，且，则实数m的值为 . 【答案】5 【分析】根据元素与集合的关系，建立关于m的方程，解方程及验证得解. 【详解】集合，且， （i）当时，，，违反集合元素的互异性， （ii）当时，解得或， ① 当时，不满足集合元素的互异性，舍去， ② 当时，，满足题意，则实数m的值为 故答案为：. 【考点05：利用集合元素的互异求参数】 21．设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 22．已知集合，且，则（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】根据集合包含的知识以及元素的互异性可求解. 【详解】由题意：，得：或两种情况， 若，则，此时，不满足互异性； 若，则解得或，显然，符合题意， 而当时，，不满足互异性. 综上所述：. 故选：D. 【考点06：两个集合相等求参数】 23．已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意知集合，利用分类讨论及集合元素的互异性从而可求解. 【详解】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 故答案为：. 24．已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】让依次等于，得出相应的进行讨论即可求解. 【详解】若，则，此时，故满足题意； 若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意； 若，则，此时，故满足题意； 故所求集合为. 故答案为：. 25．已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以 ，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴ . ∴ 故答案为： 26．已知集合，其中，则实数 . 【答案】 【分析】由题意可得或，求出，进而求出，结合集合的互异性和，即可得出答案. 【详解】①当时，解得， 当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去； 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； ②当时，解得， 当时，， 得到与矛盾，所以舍去； 当时，， 得到，符合题意，所以. 故答案为：. 【考点07：根据集合元素求个数】 27．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 28．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 【考点08：集合的基本关系】 29．已知集合，，则两个集合间的关系是（    ） A． B． C． D．M，N互不包含 【答案】B 【分析】先求集合N，再根据集合间的关系分析判断. 【详解】由题意可得：， 可知，即. 故选：B 30．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 31．设集合是4与6的公倍数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知：，则是的真子集，对比选项分析即可. 【详解】由题意可知：， 显然24的倍数均为12的倍数，但12的倍数不一定是24的倍数，例如12， 所以是的真子集，对比选项可知B正确，ACD错误. 故选：B. 32．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合包含关系判断即可. 【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误. 故选：B 33．多选题下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合空集的定义及性质逐项判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，故，A错误； 因为空集为任何集合的子集，故，B正确； 因为方程，所以方程的解集为， 所以，C正确； 因为空集不含任何元素，是1个元素，故D错误； 故选：BC. 【考点09：根据集合间的关系求参数】 34．已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，根据求出实数的取值范围. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 35．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，利用可得答案. 【详解】因为，所以， ①时，，解得； ②时，则有，解得. 综上，m的取值范围是. 故选：D. 36．已知非空集合，集合，，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】由可知是的子集，解不等式可得的取值范围. 【详解】由可知是的子集， 结合数轴可知，， 即， 解得， 故选：A 37．设集合，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合包含关系即可得结果. 【详解】因为， 若，则，所以a的取值范围是. 故选：D. 38．设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 39．若集合，，则能使成立的所有a的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等价于，分类讨论是否等于，求出对应a的范围即可. 【详解】因为，所以， 若，则，得，满足； 若，即时，要使，则有， 所以，此时. 综上所述. 故选：C． 【考点10：集合的运算】 40．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的补集，并集运算求解即可. 【详解】由题意可知，所以， 所以， 故选：D 41．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集概念及其运算可得，再由交集运算可得答案. 【详解】由，可得, 又，可得. 故选：A 42．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用并集的运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 43．已知集合 ，，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的运算求解即可. 【详解】， 故. 故选：A 44．设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集定义，借助于数轴即可求得. 【详解】. 故选：B. 【考点11：集合运算中求参问题】 45．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）求出集合后根据集合的运算法则计算； （2）根据集合运算得出集合间包含关系，再由包含关系求参数范围． 【详解】（1）当时，， 因为， 所以；； （2）因为， 所以或， 因为，所以， 因为， 所以或， 得或， 所以m的取值范围为或. 46．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 47．已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据集合运算的定义计算； （2）由已知得，再由集合包含的关系得出不等式，从而得出结论． 【详解】（1）由已有，或， ∴； （2）∵，∴， 若，则，则，满足题意； 若，则，解得，∴， 综上，的取值范围是． 48．已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将集合 表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. 【详解】（1） ， （2）＝R，，解之：. 【考点12：韦恩图的运用】 49．已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解. 【详解】因为全集，集合或， 所以， 阴影部分表示的集合为， 故选：. 50．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ）    A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解. 【详解】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为， 所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个. 故选：D. 51．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为， 因为，，， 所以，则. 故选：A． 52．设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题意得， 阴影部分表示的集合为． 故选：C. 53．如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 54．多选题已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据图验证B,C,D再利用交集补集定义判断A. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为，C正确，B,D错误， 因为，， 所以，故A正确. 故选：AC 【考点13： 充要条件的判断及应用】 55．设，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 56．“或”的一个必要不充分条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据包含关系确定答案. 【详解】因为或是或的真子集， 所以“或”是“或”的必要不充分条件，其他选项均不合要求． 故选：A 57．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意可得（等号不同时成立），求出的范围，再检验端点值是否符合题意. 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 58．设p：，q：，若q是p的必要条件，则a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用必要条件的定义求解即得. 【详解】由q是p的必要条件，得， 所以. 故选：A 59．多选题下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解. 【详解】由可得， 设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集， 则BD选项符合． 故选：BD． 【考点14： 充分、必要、充要和集合的关系】 60．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 61．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得集合A，进而根据集合的补集和交集运算求解； （2）分析可知，根据包含关系分析求解. 【详解】（1）当时，集合，则或， 所以. （2）若“”是“”的必要条件，则， 因为，则，可知， 可得，解得， 所以实数的取值范围. 62．已知集合，. (1)若，求； (2)若存在正实数m，使得“”是“”成立的充分不必要条件，求正实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合，然后由交集定义计算； （2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解； 【详解】（1） 因，则. 当时，，所以. （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集. 所以，经检验“=”满足. 所以实数m的取值范围是. 63．已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2） 或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 【考点15：全称、存在量词命题的综合】 64．命题“，有”的否定是（    ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 65．已知命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】命题为全称量词命题， 其否定为：. 故选：A 66．已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 67．命题，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可. 【详解】因为命题，，所以：，. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$