清单03 概率投影和视图（8个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

清单03 概率投影和视图（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【清单02】 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【清单03】 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【清单04】 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【清单05】 正投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【清单06】 三视图 （1） 视图的定义 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. （4）画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 【考点题型一】概率有关运算 【典例1-1】某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； (2)若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； (3)九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【典例1-2】一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作，则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】同学们，你们知道“石头、剪子、布”的游戏吧！甲、乙两人做这种游戏，随机出手一次，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】某同学手中有6张扑克牌，6张扑克牌上的数字依次为1，2，3，4，5，6．若从中同时取出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是 ． 【变式1-4】南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【变式1-5】我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． (1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； (2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【考点题型二 】利用频率估计概率 【典例2-1】某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 【典例2-2】某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示的折线统计图，该事件最有可能是（   ） A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数 C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率 【变式2-1】为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 成活数 成活的频率 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）． 【变式2-2】一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有 个白球． 【变式2-3】在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在左右，则a的值约为 ． 【变式2-3】老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为的正方形（如图所示），为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约是 ． 【考点题型三】正投影 【典例3-1】某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【典例3-2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【变式3-1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式3-3】把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（　　） A． B． C． D． 【考点题型四】平行投影 【典例4-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A．B．C． D． 【典例4-2】小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且OA⊥OD，EF⊥FG． (1)①图中阳光下的影子属于 （填“中心投影”或“平行投影”）②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为 ． (2)已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB． 【变式4-1】小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 【变式4-2】在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为3米，则旗杆的高度为 米． 【变式4-3】古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是 米． 【变式4-4】某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度 是 米． 【变式4-5】【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．    【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．    【考点题型五】中心投影 【典例5-1】如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【典例5-2】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）      A．3 B．5 C．6 D．7 【变式5-2】手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【变式5-3】下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 【变式5-4】综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 【考点题型六】几何体的视图 【典例6】如图几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】从各个不同的方向观察如图所示的实物几何体，看到的主视图是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【考点题型七】由三视图判断几何体 【典例7】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．圆柱 【变式7-1】某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为（    ） A．B．C． D． 【变式7-2】某几何体的三视图如图所示，该几何体是（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】作图-三视图 【典例8】如图，以下是由大小形状相同的正方体组成的立体图形． (1)请在网格中画出该立体图形的三视图； (2)现量得小正方体的棱长为，现在要给该立体图形表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． 【变式8-1】一个几何体的三种视图如图所示， （1）这个几何体的名称是______，其侧面积为______； （2）在右面方格图中画出它的一种表面展开图； （3）求出左视图中AB的长． 【变式8-2】如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是 （包含底部）； (3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 概率投影和视图（8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】 概率 1.定义：一般地，对于一个随机事件 A ，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A) ． （1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。 （2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。 2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m种结果，那么事件A 发生的概率为P(A) = ． （1）一般地，所有情况的总概率之和为1。 （2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个. （3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等. （4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。 （5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1 当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1 不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0 随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1 （6）可能性与概率的关系 事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 2. 求概率方法： （1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。 （2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 （3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。 【清单02】 频率与概率 1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数 2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率 3、一般地，在大量重复试验中，如果事件 A发生的频率 会稳定在某个常数p附近 ，那么，这个常数p就叫作事件A的概率 ，记为P（A）=P 。 【清单03】 平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【清单04】 中心投影 　若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 注意： 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 【清单05】 正投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【清单06】 三视图 （1） 视图的定义 　　从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图. （2）正面、水平面和侧面 　用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水 平面，右边的面叫做侧面. （3）三视图 　一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图. （4）画图方法： 　画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： 　(1)确定主视图的位置，画出主视图； 　(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 　(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”. 　几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线. 注意： 　画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图. 【考点题型一】概率有关运算 【典例1-1】某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； (2)若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； (3)九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【答案】(1)100； (2)估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人 (3)列表见解析，刚好抽中两名同学为一男一女的概率为 【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可； （2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案； （3）根据题意列表，结合表格即可获得答案． 【详解】（1）解：此次被调查的学生共有（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：100；； （2）解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人． （3）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， 刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）． 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 【典例1-2】一个不透明的盒子里装有除颜色外其它都相同的四个球，其中1个白球、1个黑球、2个红球，搅匀后随机从盒子中摸出两个球，则摸出两个红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两个红球的情况，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图得： 因为共有12种等可能的结果，其中摸出两个红球的有2种情况， 所以摸出1个白球的概率是． 故选：C． 【变式1-1】某科室有3名医生，其中2名男医生和1名女医生，现随机选派两名医生前往某地震灾区参与救援工作，则选派的两名医生恰好是一男一女的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．先列表，表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：将两名男医生分别记为男1，男2，列表如下： 男1 男2 女 男1 男1，男2 男1，女 男2 男2，男1 男2，女 女 女，男1 女，男2 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中选派的两名医生恰好是一男一女的结果有4种， 所以选派的两名医生恰好是一男一女的概率为=． 故选C 【变式1-2】同学们，你们知道“石头、剪子、布”的游戏吧！甲、乙两人做这种游戏，随机出手一次，则甲获胜的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，甲获胜的情况数是3种， ∴一次游戏中甲获胜的概率是：． 故选：B． 【变式1-3】某同学手中有6张扑克牌，6张扑克牌上的数字依次为1，2，3，4，5，6．若从中同时取出两张牌，则牌面数字均为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率，列出表格，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种，利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 由表格可知，共有30种等可能的情况，其中牌面数字均为偶数的情况有6种， ∴牌面数字均为偶数的概率是． 故答案为： 【变式1-4】南通地铁1号线“世纪大道站”有标识为1、2、3、4的四个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为______； (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵有标识为1、2、3、4的四个出入口， ∴甲在2号出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 共有16种等可能结果，其中甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有4种结果， ∴甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为． 【变式1-5】我校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容．为学生开设五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）音乐社团、体育社团、美术社团、文学社团、电脑编程社团． (1)小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是 ； (2)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接利用概率公式计算； （2）先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲和乙两名同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：根据题意：小明从中任选一类社团活动，选到“体育社团”的概率是； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果数为2种， 所以恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【考点题型二 】利用频率估计概率 【典例2-1】某同学现有一装有若干个黄球的袋子．为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了30个绿球(所有球除颜色外其余均相同)，摇匀后随机抓取60个，其中绿球共计10个，则袋子中黄球的数量约为（   ） A．200个 B．180个 C．240个 D．150个 【答案】D 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，设黄球的数量为x，根据题意可得，求出解即可． 【详解】设黄球的数量为x，根据题意得 解得． 经检验是方程的解且符合题意 ， 所以袋子中黄球有150． 故选：D． 【典例2-2】某数学小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率并绘制了如图所示的折线统计图，该事件最有可能是（   ） A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3 B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有1~10这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数 C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率 【答案】C 【分析】本题主要考查概率公式的应用，用频率估计概率，解答本题的关键是求出各事件发生的概率．根据统计图可知发生的频率接近，得出该事件发生的概率为，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知：发生的频率接近，即该事件发生的概率为； A．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数大于3的概率为，故A不符合题意； B．一个均匀的转盘被等分成10份，分别标有这10个数字，任意转动转盘，转盘停止后，指针指向的数字是3的倍数的概率为，故B不符合题意； C．暗箱中有1张红桃K，1张黑桃K，1张梅花K，3张牌除花色外一模一样，从中任取1张牌是红桃 K的概率为，故C符合题意； D．一个路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，随机经 过该路口时，遇到红灯的概率，故D不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数 成活数 成活的频率 估计这种幼苗移植成活的概率是 （结果精确到0.1）． 【答案】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，正确理解概率是解题的关键，根据概率定义求解即可． 【详解】解：由表可得成活的频率在的附近波动， ∴这种幼树移植成活率的概率为 故答案是： 【变式2-2】一个袋子中有黑球、白球共10个，这些球除颜色外其余都相同，规定：每次只能从袋子里摸一个球出来，看过颜色后必须放回去．小明同学按规定摸出一个球．记录颜色，放回去，重复该步骤2000次．最终记录结果为黑球620次，白球1380次．由此可以估计．袋子里有 个白球． 【答案】7 【分析】本题考查了可能性的大小：利用实验的方法进行概率估算．当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率．先计算出到白球的频率为，利用频率估计概率，则摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出口袋中白球的个数即可． 【详解】解：根据题意，摸到白球的频率为， 估计摸到白球的概率约为， 所以口袋中白球的个数为（个）， 即袋子里有7个白球的可能性最大． 故答案为：7 【变式2-3】在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在左右，则a的值约为 ． 【答案】8 【分析】此题是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得： 解得，， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则a的值约为8． 故答案为8． 【变式2-3】老师将本题答案制作了一个二维码，并打印成面积为的正方形（如图所示），为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入白色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为， 故答案为：． 【考点题型三】正投影 【典例3-1】某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 【典例3-2】物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个三角板的正投影不可能是（     ） A．一条线段 B．一个与原三角板全等的三角形 C．一个等腰三角形 D．一个小圆点 【答案】D 【分析】由三角板所在的平面与投影光线的关系逐一分析可得答案． 【详解】解：当三角板所在的平面与投影光线平行时，可得投影是一条线段，故A不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线垂直时，可得投影是一个与原三角板全等的三角板，故B不符合题意； 当三角板所在的平面与投影光线成一定的角度时，可得投影是一个变形的三角板，可能为等腰三角形，不可能是一个点，故C不符合题意；D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是投影的含义，理解物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关是解本题的关键． 【变式3-1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 【变式3-2】一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据投影的特点进行判断即可． 【详解】解：一个矩形木框在地面上形成的投影可能是一条线段、一个矩形、一个平行四边形，而不可能是一个梯形，故A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了投影与视图，解题的关键是熟练掌握投影的特点． 【变式3-3】把一个正六棱柱如图水平放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正投影的特点及图中正六棱柱的摆放位置即可直接得出答案． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是矩形． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正投影的性质，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形． 【变式3-4】如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正投影的定义，得出圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，即可求解． 【详解】解：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正投影，掌握正投影的定义是解题的关键．正投影是指平行投射线垂直于投影面． 【考点题型四】平行投影 【典例4-1】下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据平行投影的定义判断即可．本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义． 【详解】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是： 故选：A． 【典例4-2】小军和小文利用阳光下的影于来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为20米，0A的影长OD为24米，小军的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且OA⊥OD，EF⊥FG． (1)①图中阳光下的影子属于 （填“中心投影”或“平行投影”）②线段AD、线段BC与线段EG之间的位置关系为 ． (2)已知小军的身高E为1.8米，求旗杆的高AB． 【答案】(1)①平行投影；②（或答“平行”） (2)旗杆AB的长为3米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定． （1）根据平行投影和中心投影的定义即可做出判断． （2）证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 【详解】（1）①根据题意可知是平行投影； ②（或答“平行”）； 故答案为：①平行投影；②（或答“平行”）． （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴ ， ∵ ∴， ∴， ∴（米）， 所以，旗杆的长为3米， 【变式4-1】小红同学在校运会的第一天下午先参加了200米的比赛，一小时后再参加了400米的比赛，摄影老师在同一个位置拍摄了她参加这两场比赛的照片（如图），其中她参加400米比赛的照片是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长．在不同时刻，同一物体在太阳光下形成的影子的大小和方向不同，依此进行分析． 【详解】解：∵太阳光线是平行光线， ∴下午的影子随时间的变化，由短变长， ∴她参加400米比赛的照片是甲． 故答案为：甲． 【变式4-2】在阳光下，身高1.6米的小明在地面上的影长为0.4米，同一时刻旗杆的影长为3米，则旗杆的高度为 米． 【答案】12 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，由题意，得：， 解得：； 故答案为：12． 【变式4-3】古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； 故答案为：137． 【变式4-4】某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米． 【答案】// 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 【详解】如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，米， 根据实际高度和影长成正比例，得出， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故答案为：． 【变式4-5】【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．    【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．    【答案】立柱，古树． 【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质， 基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得，据此判定，问题随之得解； 拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：，，问题随之得解． 【详解】基础解答 如图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ 解得：； 拓展拔高 如图，    根据题意有：，，，， 根据【基础解答】，同理可得：，， ∴，， 即有：，， 解得：， 即有（）， 即古树． 【考点题型五】中心投影 【典例5-1】如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 【典例5-2】如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 【变式5-1】如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）      A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图    ∵ ． ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，即 ∴， 故选：C． 【变式5-2】手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， ， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 【变式5-3】下列各种现象属于中心投影现象的是（    ） A．中午烈日下用来乘凉的树影 B．上午阳光下人走在路上的影子 C．晚上人走在路灯下的影子 D．早上太阳下升旗时地面上旗杆的影子 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的性质，根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可，解题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有C选项得到的投影为中心投影， 故选：C． 【变式5-4】综合与实践． 现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．首先根据光源确定人在地面上的影子；再测量出相关数据，如高度，影长等；最后利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．已知灯柱，在灯柱上有一盏路灯 P，在路灯下，人站在点 D和点 G的位置都有影子，B、D、G三点在同一水平线上．根据上述内容，解答下列问题： (1)已知人站在点D时路灯下的影子为DE，请画出路灯P及人站在点 G时路灯下的影子； (2)如图， 若身高为1.7米的小明站在点D影长为， 沿方向走到点 G， ， 此时影长为， 求路灯 P到地面的高度； 【答案】(1)见解析 (2)路灯P离地面的高度为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及中心投影的性质： （1）利用中心投影的性质进而得出P点和H点位置； （2）利用相似三角形的判定与性质得出，同理可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点P、线段即为所求， 延长于点P，找到路灯 P 的位置，连接并延长，交射线于点H，即为人在路灯下的影子． （2）解：∵， ∴， 即 ① ∵， ∴， 即 ② 由①②得 解得 解得． 答：路灯P离地面的高度为． 【考点题型六】几何体的视图 【典例6】如图几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个组合体的俯视图是两个同心圆． 故选：B． 【变式6-1】从各个不同的方向观察如图所示的实物几何体，看到的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图， 根据正视图是从前面向后看求解即可． 【详解】解：从前向后看，左边一列有上下两块小正方形，右边一列只有下面一个小正方形． 故选：C． 【变式6-2】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 【变式6-3】如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【详解】该几何体的左视图如图所示： 故选：D． 【点睛】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．注意：被遮挡的线条需要用虚线表示． 【变式6-4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体．根据三视图的定义即可判断． 【详解】解：根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形状特征可得该几何体为D选项． 故选：D． 【考点题型七】由三视图判断几何体 【典例7】如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．四棱锥 D．圆柱 【答案】A 【分析】本题考查了根据几何体的三视图还原几何体．熟练掌握根据几何体的三视图还原几何体是解题的关键． 由三视图可知，这个几何体是长方体，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，这个几何体是长方体， 故选：A． 【变式7-1】某几何体的主视图和俯视图如图所示，则该几何体为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握各种几何体的特征是解题的关键．根据该几何体的主视图和俯视图，结合四个选项的几何体判断即可． 【详解】解：A．该几何体的主视图的上层是三角形，选项A的几何体的上层是矩形，故本选项不符合题意； B．该几何体的俯视图是同心圆，选项B的俯视图不是同心圆，故本选项不符合题意； C．该几何体的俯视图是一个圆（带圆心），故本选项不符合题意； D．该几何体的主视图和俯视图符合题意，故本选项符合题意． 故选：D 【变式7-2】某几何体的三视图如图所示，该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可． 【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项A，B，D均不符合题意，则该几何体如下； 故选：C． 【考点题型八】作图-三视图 【典例8】如图，以下是由大小形状相同的正方体组成的立体图形． (1)请在网格中画出该立体图形的三视图； (2)现量得小正方体的棱长为，现在要给该立体图形表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三视图，视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． 分别画出从正面看、左面看、上面看的图形，注意所看到的棱都要表示到三视图中； 从三个方向考虑求面积即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）涂上颜色部分的总面积为：， 答：涂上颜色部分的总面积为． 【变式8-1】一个几何体的三种视图如图所示， （1）这个几何体的名称是______，其侧面积为______； （2）在右面方格图中画出它的一种表面展开图； （3）求出左视图中AB的长． 【答案】（1）正三棱柱，72；（2）画图见解析；（3） 【分析】（1）由三视图所表现特征可知几何体为正三棱柱，正三棱柱侧面积为三个矩形，则侧面积为． （2）如图所示，答案不唯一． （3）中过E点作FG垂线，垂足为H，可求得FH=2，再由勾股定理即可求得FH=． 【详解】（1）该几何体由主视图和左视图可判断为棱柱，由俯视图可判断为正三棱柱 （2）如图所示 （3）如图所示，中过E点作FG垂线，垂足为H ∵为等边三角形 ∴FH=2，∠EHF=∠EHG=90° ∴ 【点睛】本题考查了三视图以及勾股定理，三视图是从正面、左面、上面以平行视线观察物体所得的图形，判断三视图时应结合实物，变换角度去观察，结合空间想象能力，由三视图求几何体的侧面积或表面积时，首先要根据三视图描述几何体，再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系和轮廓线的位置确定各个面的尺寸，然后求表面积或侧面积． 【变式8-2】如图是用10个棱长是，大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你画出该几何体的三种视图（不要涂成阴影）． (2)这个几何体的表面积是 （包含底部）； (3)如果要保证俯视图和左视图不变，最多可以增加 个小正方体； (4)如果要保证三个视图都不变，最多可以增加 个小正方体． 【答案】(1)画图见解析 (2)36 (3)4 (4)1 【分析】本题主要考查简单几何题的三视图的画法，熟练掌握主视图、左视图、俯视图的画法是解题的关键． （1）根据三视图的概念求解即可； （2）直接利用三视图分别乘以2求解即可； （3）根据俯视图和左视图求解即可； （4）根据主视图，俯视图和左视图求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵小正方体的棱长是， ∴ 这个几何体的表面积是； （3）解：要使俯视图和左视图不变， 即在主视图的的上面加放小立方体， 故最多可加4个； （4）解：要使主视图，俯视图和左视图不变， 只能最下面一层的中间小正方体上增加1个小正方体 故最多可加1个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$