直线方程的知识点与经典题型汇总讲义-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019） 选择性必修第一册

黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟 ( 直线方程知识点以及经典题型 ) 2.1直线的倾斜角和斜率 2.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线与轴相交时, 取轴作为基准,轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。特别地,当直线与轴平行或重合时, 规定。 2、 倾斜角的取值范围： ，当直线与轴垂直时, . 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角()的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母表示,也就是 ⑴当直线与轴平行或重合时, , ； ⑵当直线与轴垂直时, , 不存在。 由此可知, 一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率不一定存在。 4、 直线的斜率公式: 给定两点用两点的坐标来表示直线的斜率： 斜率公式: 2.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即。 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果, 那么一定有。 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即。 2.2.1 直线的点斜式方程 1、已知直线经过点，且斜率为，直线的点斜式方程： 2、已知直线的斜率为，且与轴的交点为，直线的斜截式方程： 2.2.2 直线的两点式方程 1、已知两点其中 直线的两点式方程： 2 已知直线与轴的交点为A，与轴的交点为B，其中直线的截距式方程： 2.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A>0，B不同时为0） 可转化斜截式方程为： 2、各种直线方程之间的互化。 2.3直线的交点坐标与距离公式 2.3.1两直线的交点坐标 给出例题：两直线交点坐标 L1: ： L2： 解：解方程组 得 x=-2，y=2,所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2） 2.3.2两点间距离 给定两点 两点间的距离公式: 中点坐标公式：M是PQ的中点， 2.3.3点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：点到直线的距离为： 2、两平行线间的距离公式： 已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ，则与的距离为 。 知识点与经典例题分析 1、 直线的倾斜角与斜率 思路：直接套公式 1 直线的倾斜角为（　　） A．30° B．135° C．60° D．150° 解：因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为30°。 2 已知直线l与x轴所成角为30°，直线l的斜率为（　　） A． B． C．± D． 解：∵直线l与x轴所成角为30°，∴直线l的倾斜角为30°或150°， ∴直线l的斜率为或﹣，故选：C。 3 已知直线经过两点，直线l的斜率为 解：根据题意，设直线的倾斜角为，，，所以。 4 （多选题）在下列四个选项说法中，错误的有： A 在平面直角坐标系中，任何一条直线均有倾斜角和斜率； B 直线的倾斜角的取值范围为； C 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为； D 若一条直线的倾斜角为为，则此直线的斜率为。 解：当直线与垂直时，直线的倾斜角为直角，斜率不存在，所以A是错误的；选项B正确；一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角不一定为，如，就不成立，选项C是错误的；时，选项D是错误的，所以本题选ACD。 2、 三点共线问题 思路：三点共线，斜率相等。 1已知A（1，2），B（2，4），C（m，6）三点共线，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3 解：因为A（1，2），B（2，4），C（m，6）三点共线，又kAB＝＝2，即直线AB所在的方程为y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x，所以2m＝6，即m＝3．故选：D。 2已知点A（1，4），B（2，3），C（x，1），若A，B，C三点共线，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解：若A，B，C三点共线，则，则，故选：C。 3、 两条直线的平行问题 思路：两条直线平行，斜率相等（斜率存在） 1已知直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，若l1∥l2，则a＝（　　） A．﹣1或2 B．1 C．1或﹣2 D．﹣2 解：直线l1：ax+y﹣2＝0，l2：2x+（a+1）y+2＝0，若l1∥l2，则，整理得a2+a﹣2＝0，解得a＝1或﹣2；当a＝1时两直线平行，当a＝﹣2时，两直线重合；故a＝1．故选：B。 2 已知两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y﹣6＝0互相平行，则a等于（　　） A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1 D．﹣3 解：直线y＝ax﹣2整理可得ax﹣y﹣2＝0，因为两条直线y＝ax﹣2和3x﹣（a+2）y﹣6＝0互相平行，所以a（a+2）＝3且﹣6a≠﹣2×3，解得a＝﹣3．故选：D。 4、 两条直线的垂直问题 思路：两条直线垂直斜率相乘为-1。 1已知直线l1过A（2，3），B（0，4），且l1⊥l2，则直线l2的斜率为（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 解：由题设，又l1⊥l2，则直线l2的斜率为2．故选：A． 2．已知直线，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 解：因为直线的斜率，且l2⊥l1，可知直线l2的斜率， 所以l2的倾斜角为．故选：D． 3．直线l1：（3a+1）x+2ay﹣1＝0和直线l2：ax﹣3y+3＝0，则“a＝”是“l1⊥l2”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：由题设l1⊥l2，可得a×（3a+1）+2a×（﹣3）＝0，解得a＝0或a＝．所以″a＝”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选：B。 5、 平面中直线的方向向量问题 思路：与直线垂直方向上的一个向量 1．直线l：2x+3y﹣1＝0的一个方向向量为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣3，2） C．（2，3） D．（3，2） 解：由2x+3y﹣1＝0得，，所以直线的一个方向向量为， 而，所以（﹣3，2）也是直线的一个方向向量．故选：B． 2．与直线3x+2y﹣1＝0垂直的一个向量是（　　） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2） D．（3，2） 解：∵直线3x+2y﹣1＝0的斜率，∴与直线3x+2y﹣1＝0垂直的直线斜率为， 则与直线3x+2y﹣1＝0垂直的一个向量是（3，2）．故选：D。 6、 直线方程（五种形式） 思路：上述都可以转为点斜式方程 1（点斜式方程）公式： 例1：过点A（3，2）且斜率为1的直线方程是（　　） A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0 解：因为直线过点A（3，2）且斜率为1，所以直线的方程为：y﹣2＝x﹣3，即x﹣y﹣1＝0． 故选：D。 例2：已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（　　） A． B． C． D． 解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为．故选：C。 2 （斜截式方程） 公式： 例1：已知直线l的倾斜角为，且在y轴上的截距为﹣2，则l的方程为（　　） 解：由于直线l的倾斜角为，则l的斜率，所以l的方程为。 例2：已知直线l的斜率是2，且在y轴上的截距是﹣3，则直线l的方程是（　　） A．y＝2x﹣3 B．y＝2x+3 C．y＝﹣2x﹣3 D．y＝﹣2x+3 解：直线l的斜率是2，且在y轴上的截距是﹣3，则直线l的方程为y＝2x﹣3。 3 （两点式方程）公式: 例1：若直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），则以下是直线l的方程的为（　　） A． B．y﹣1＝4（x﹣3） C．4x﹣y+11＝0 D．（x﹣2）+4（y+3）＝0 解：因为直线l经过点A（2，﹣3）、B（3，1），所以直线的斜率k＝＝4， 所以直线的两点式方程为：＝，所以A不正确． 直线的点斜式方程为y﹣1＝4（x﹣3），整理可得4x﹣y﹣11＝0，所以B正确，CD不正确．故选：B． 例2：过点A（3，2），B（4，3）的直线方程是（　　） A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0 解：由题意可得直线的两点式方程为：＝，化为一般式可得：x﹣y﹣1＝0，故选：D。 4 （截距式方程）公式： 例1：已知m≠n，经过两点（0，n），（m，0）的直线方程都可以表示为（　　） A． B． C．nx+my＝mn D． 解：当m，n都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用表示，即nx+my＝mn， 当m，n中有一个为0时，只有选项C符合题意，故选：C。 例2：过点A（3，0），B（0，3）的直线方程是（　　） 解：根据公式，，转化为一般式为：。 5 （一般式方程）公式： 例：（多选题）将直线的一般式方程转化为其他形式，下列正确的是 A 点斜式方程为：，是斜率为2，过点的直线； B 斜截式方程：，是斜率为2，截距为4的直线； C 两点式方程：，表示直线恒过两点和； D 截距式方程：，表示直线恒过两点和。 解：对于C，表示直线过两点，而不是恒过这两点；正确答案是ABD。 7、 直线恒过定点 思路：利用点斜式方程 例1：不论m取何值，直线（m﹣1）x﹣y+2m﹣1＝0都过定点（　　） A． B．（﹣2，1） C．（2，3） D．（﹣2，3） 解：因为（m﹣1）x﹣y+2m﹣1＝0，整理得m（x+2）﹣（x+y+1）＝0，令，解得， 所以直线过定点（﹣2，1）．故选：B。 例2：经过直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0过的定点，倾斜角为的直线方程为（　　） A．x＝﹣1 B．y＝﹣3 C．x＝2 D．y＝3 解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0可化为：（2x﹣y﹣1）k+（﹣x﹣3y+11）＝0， 由，解得，所以所求直线过点（2，3），因为所求直线的倾斜角为，所以所求直线的方程：x＝2．故选：C。 8、 两条直线的交点 思路：联立方程组求交点 1．直线x﹣2y+3＝0与直线2x﹣y+3＝0的交点坐标为（　　） A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（1，1） D．（﹣1，﹣1） 解：，解得，故两直线的交点坐标为（﹣1，1）．故选：A。 2．直线2x﹣y+6＝0与直线x+y＝3的交点坐标是（　　） A．（3，0） B．（﹣1，4） C．（﹣3，6） D．（4，﹣1） 解：联立，解得．故选：B。 9、 中点坐标问题 思路：利用公式 例：已知两点，求的中点的坐标； 解：利用公式，的坐标。 10、 两点间的距离问题 思路：利用两点间的距离公式 例：已知两点，求的长度； 解：根据公式。 11、 点到直线的距离 思路：利用点到直线的距离公式 例：已知点，直线，求点到直线的距离； 解：根据题意，点到直线的距离：。 12、 两平行线的距离 思路：利用两直线之间的距离公式 例：直线，直线，求两条直线之间的距离； 解：根据题意，两条直线之间的距离：。 13、 对称性问题 1 点关于点的对称：利用中点坐标公式 例：已知求点关于坐标原点的对称点B为________; 解：由题意，可得点B的坐标为。 2 点关于直线的对称性问题：利用中点坐标公式和两直线相互垂直 例1：点P（2，3）关于直线l：x+y＝0的对称点的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（3，2） 解：设点P（2，3）关于直线x+y＝0的对称点A的坐标为（m，n）， 则由求得，故A（﹣3，﹣2），即答案为：（﹣3，﹣2）． 故选：B。 例2：点（3，0）关于直线x﹣y+3＝0对称的点的坐标为（　　） A．（3，6） B．（6，﹣3） C．（﹣6，3） D．（﹣3，6） 解：设所求对称点的坐标为（a，b），则，解得．故选：D。 3 直线关于点的对称性问题 思路：在直线上任找两个点，作关于已知点的对称点，然后求直线方程。 例：已知直线方程，求关于点的对称直线方程 解：根据题意在直线上任找两个点，和，求关于的对称点为和，则过CD两点的直线方程为：。 4 直线关于直线的对称直线问题 思路：先求两条直线的交点，然后利用点关于直线对称求另一个对称点，然后求直线方程 例1：直线y＝2x+1关于x轴对称的直线方程为（　　） A． B． C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x﹣1 解：∵关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴直线y＝2x+1关于x轴对称的直线的函数表达式是﹣y＝2x+1，即y＝﹣2x﹣1．故选：D。 例2：已知直线关于直线的对称直线方程 解：根据题意，两条直线交于点，然后从直线上任取一个点关于直线的对称点为，则AC的直线方程为：。 十四、最值性问题 例1：已知点A（﹣3，5），B（2，15），在直线l：3x﹣4y+4＝0上存在一点P，使|PA|+|PB|最小，则P点坐标为（　　） A．（0.1） B． C． D．（8，7） 解：设B′（m，n）为点B关于直线l的对称点，则BB′的中点为（，）， 由轴对称的性质，可得，解得，即B′（14，﹣1）． 直线AB′的方程为，即y＝， 由，解得，即直线AB′与l交于点Q（，3）． 当直线l上的点P与Q（，3）重合时，|PA|+|PB|达到最小值，故满足条件的P点坐标为（，3）．故选：C。 例2：已知两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（　　） A．5 B． C．5 D． 解：∵两定点A（﹣3，5），B（2，8），动点P在直线x﹣y+1＝0上， ∴点A（﹣3，5），B（2，8）P在直线x﹣y+1＝0同侧，设点A关于直线x﹣y+1＝0的对称点为C（a，b），则，解得a＝4，b＝﹣2，∴C（4，﹣2）， ∴|PA|+|PB|的最小值为：|BC|＝＝2．故选：D。 例3：已知直线mx+y﹣1＝0与直线x﹣my+2＝0相交于点A，B为直线y＝2x+6上一动点，则线段AB长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 解：直线mx+y﹣1＝0可化为y﹣1＝﹣mx，所以直线恒过定点P（0，1）， 直线x﹣my+2＝0可化为my＝x+2所以直线恒过定点Q（﹣2，0）， 由两直线的方程可知：两直线相互垂直， 所以点A的轨迹方程为且y≠0），圆心为， 圆心到直线y＝2x+6的距离， 所以且y≠0）与直线y＝2x+6相离， 所以线段AB长度的最小值为，故选：A． 例4：已知直线l：3x+y+2＝0与x，y轴的交点分别为A，B，且直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，则△PAB面积的最大值是 　　． 解：根据题意，已知直线l1：mx﹣y﹣3m+1＝0与直线l2：x+my﹣3m﹣1＝0相交于点P，m∈R， 直线l1的方程可化为m（x﹣3）+（1﹣y）＝0，由，解可得，所以，直线l1过定点E（3，1），直线l2的方程可化为（x﹣1）+m（y﹣3）＝0，由，解可得，所以，直线l2过定点F（1，3），又由m×1﹣1×m＝0，则l1⊥l2，即PE⊥PF，则P的轨迹是以EF为直径的圆，又由E（3，1），F（1，3），则EF的中点为（2，2），|EF|＝＝2， 则点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2，直线l：3x+y+2＝0与x，y轴的交点分别为A，B，易得A（﹣，0），B（0，﹣2），则|AB|＝＝， 点（2，2）到直线AB的距离d＝＝，点P到直线AB的距离的最大值d+r＝+，则△PAB面积的最大值S＝×|AB|×（d+r）＝×（+）×＝； 故答案为：． 十五、轨迹类问题 例1：已知动点M与两个定点O（0，0），P（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C． 求曲线C的轨迹方程； 解：（Ⅰ）设点M的坐标为M（x，y），根据题意知，所以； 化简得x2+y2+2x﹣3＝0，化为（x+1）2+y2＝4，所以曲线C的轨迹方程为（x+1）2+y2＝4。 例2：已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，求曲线C的方程 解：（1）设p（x，y）是曲线C上任意一点，因为C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，所以点p（x，y）满足．化简得：y2＝4x（x＞0）。 16、 过定点的截距性问题 思路：先用点斜式设出直线方程，然后根据具体情况求具体方程 例1:若直线经过点，则直线在轴和轴上的截距之和取得最小值时，求= 解：因为直线过定点，所以，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以直线在轴和轴上的截距之和取得最小值为，则。 例2：已知直线过点，则直线及轴围成等腰三角形，则的方程为 解：设，直线过和，显然，当时，直线，直线与轴围成的三角形不是等腰三角形；所以直线的斜率存在，设点B关于y轴的对称点为，当直线过点A，C两点时，，三角形ABC是等腰三角形，同时由于直线AB的斜率为，倾斜角为。所以三角形ABC是等边三角形，所以，此时直线方程为。设直线与轴相交于点D，如图所示 若，则，所以直线AD的斜率为，对应的直线方程为。 十七、综合性问题的多选题 1．（多选题）关于直线l：x+3y﹣1＝0，则（　　） A．倾斜角为﹣30° B．斜率为 C．在y轴上的截距为 D．与直线m：2x+6y+3＝0的距离为 解：直线，即 ， 所以直线的斜率为，倾斜角为 150°，在y 轴上的截距为 ，故A错误，B正确，C正确，又 +6y﹣2＝0，直线m：2x+6y+3＝0 所以两直线间的距离为＝，故D正确．故选：BCD。 2 （多选题）下列命题中错误的是（　　） A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B．任何直线都存在斜率和倾斜角 C．直线的一般式方程为Ax+By+C＝0 D．任何一条直线至少要经过两个象限 解：对于A，直线的倾斜角，则其斜率k＝tanα＜0，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为Ax+By+C＝0，A2+B2≠0，C错误； 对于D，当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误．故选：BCD． 3（多选题）下列说法正确的有（　　） A．直线的斜率越大，则倾斜角越大 B．两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线 C．若直线l的一个方向向量为（cos45°，﹣sin45°），则直线l的倾斜角为135° D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 解：对A，当直线的斜率由负数变为正数时，倾斜角反而减小，∴A错误； 对B，∵两点式中要求分母不为零，∴适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线，∴B正确；对C，∵直线l的一个方向向量为（cos45°，﹣sin45°）， ∴直线l的斜率k＝＝﹣1，∴直线l的倾斜角为135°，∴C正确； 对D，任何一条直线都有一般式，但不一定都有其余的四种形式，∴D错误；故选：BC。 4（多选题）直线l1：ax﹣y﹣b＝0，l2：bx﹣y+a＝0（ab≠0，a≠b），下列图象中正确的是（　　） A． B． C． D． 解：直线l1：y＝ax﹣b，l2：y＝bx+a（ab≠0，a≠b）， A选项，，错误． B选项，，正确． C选项，，正确． D选项，，错误．故选：BC． 5（多选题）若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则实数a的值可以为（　　） A．3 B．2 C．﹣2 D．1 解：若两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣2＝0与l2：x﹣（a+1）y+2＝0平行，则﹣（a+1）（a﹣1）﹣（﹣3）×1＝0，解得4﹣a2＝0，∴a＝±2，经检验符合题意．故选：BC． 6（多选题）下列结论正确的是（　　） A．若A（﹣2，3）、B（3，﹣2）、C（1，m）三点共线，则m的值为0 B．已知两点M（﹣3，4）、N（3，2），过点P（1，0）的直线l1与线段MN有公共点，则l1的斜率k的取值范围为[﹣1，1] C．直线l2：（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）＝0恒过定点（2，3） D．经过直线l3：x+3y﹣10＝0和直线l4：3x﹣y＝0的交点，且和原点相距为1的直线一共有三条 解：对于A选项，、，∵A、B、C三点共线，∴、共线， ∴5（m﹣3）＝﹣5×3，解得m＝0，故A正确，对于B选项，由于kPM＝﹣1，， 结合图像可知，直线l1的斜率k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故B错误， 对于C选项，直线l2可化为k•（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）＝0，令，解得， ∴不论k取什么值，直线l2恒过定点（2，3），故C正确， 对于D选项，直线l3和直线l4的交点为（1，3），问题转化为求过点（1，3）且和原点距离为1的直线，①当斜率不存在时，直线方程为x＝1，符合题意， ②当斜率存在时，设方程为y﹣3＝k（x﹣1），则有，解得， ∴符合条件的直线有两条，故D错误．故选：AC。 7（多选题）已知直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0，则（　　） A．若l1⊥l2，则 B．若l1∥l2，则ab＝3 C．若l1与坐标轴围成的三角形面积为1，则 D．当b＜0时，l2不经过第一象限 解：由题知，直线l1：ax﹣3y+1＝0，l2：x﹣by+2＝0， 对于A，当l1⊥l2时，a+3b＝0，解得或a＝b＝0，故A错误； 对于B，当l1∥l2时，﹣ab+3＝0，解得ab＝3，故B正确； 对于C，在直线l1：ax﹣3y+1＝0中，当x＝0时，，当y＝0时，， 所以l1与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确； 对于D，由题知当b＜0时，的图象为 故D正确．故选：BCD。 8 （多选题）△ABC的三个顶点坐标为A（4，0），B（0，3），C（6，7），下列说法中正确的是（　　） A．边BC与直线3x﹣2y+1＝0平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y﹣12＝0 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y﹣13＝0 D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D（3，5） 解：直线BC的斜率为k＝＝，而直线3x﹣2y+1＝0的斜率为，两直线不平行，故A错；BC边上高所在直线斜率为﹣，直线方程为y＝﹣（x﹣4），即3x+2y﹣12＝0，故B正确；过C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y﹣13＝0，过原点时方程为y＝x，故C错；过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为（3，5），故D正确．故选：BD． 9（多选题）若直线l经过点（4，﹣2），且l与坐标轴围成的三角形面积为2，则l的方程可能是（　　） A．x﹣y﹣2＝0 B．2x+y﹣6＝0 C．x+y﹣2＝0 D．x+4y+4＝0 解：易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程y＝k（x﹣4）﹣2，令x＝0，得y＝﹣4k﹣2；令y＝0，得．故围成的三角形面积为， 化简可得4k2+3k+1＝0或4k2+5k+1＝0．对于方程4k2+3k+1＝0，Δ＝32﹣4×4×1＜0，故方程4k2+3k+1＝0无解．对于方程4k2+5k+1＝0，可得k＝﹣1或． 故直线l的方程y＝﹣（x﹣4）﹣2或，即x+y﹣2＝0或x+4y+4＝0．故选：CD。 10（多选题）已知点M（1，0）关于直线mx﹣y+1＝0（m∈R）的对称点N在直线x+y＝0上，则实数m的值为（　　） A． B．2 C． D．﹣2 解：根据点N在直线x+y＝0上，设点N（a，﹣a），结合M（1，0），可知MN的中点坐标为，由题意可知点在直线mx﹣y+1＝0（m∈R）上， 可得，化简得m（a+1）+a+2＝0，① 又因为MN垂直于直线mx﹣y+1＝0（m∈R）， 所以当a≠1时，可得，化简得am＝a﹣1，② 联立①②，解得，或， 又当a＝1时，根据MN垂直于直线mx﹣y+1＝0（m∈R），可知m＝0，此时直线为y＝1，而MN的中点坐标为，不在直线y＝1上，不满足题意．综上所述，．故选：AC。 11（多选题）△ABC的三个顶点坐标为A（4，0），B（0，3），C（6，7），下列说法中正确的是（　　） A．边BC与直线3x﹣2y+1＝0平行 B．边BC上的高所在的直线的方程为3x+2y﹣12＝0 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y﹣13＝0 D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D（3，5） 解：直线BC的斜率为k＝＝，而直线3x﹣2y+1＝0的斜率为，两直线不平行，故A错；BC边上高所在直线斜率为﹣，直线方程为y＝﹣（x﹣4），即3x+2y﹣12＝0，故B正确；过C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y﹣13＝0，过原点时方程为y＝x，故C错；过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为（3，5），故D正确．故选：BD。 十八、直线方程中的解答题 1．根据要求完成下列问题： （1）求经过点B（3，0）且与直线l1：2x+y﹣5＝0垂直的直线l2的一般方程； （2）已知正方形的中心为点M（﹣1，0），一条边所在的直线的方程是x+3y﹣5＝0．求正方形其他三边所在直线的方程． 解：（1）设与直线l1：2x+y﹣5＝0垂直的直线系方程为x﹣2y+n＝0，∵经过点B（3，0），∴n＝﹣3，∴所求直线方程为x﹣2y﹣3＝0； （2）设边AB的方程为x+3y﹣5＝0，∵AB∥CD，AD∥BC，且AD⊥AB， ∴可设边CD的方程为x+3y+m＝0，边AD、BC的方程为3x﹣y+n＝0； 又中心M（﹣1，0）到CD、AD、BC的距离都是d，且， ∴，， 化简得|m﹣1|＝6，m＝7或m＝﹣5（舍去），|n﹣3|＝6，n＝9或n＝﹣3， 于是其他三边所在直线的方程x+3y+7＝0，3x﹣y+9＝0，3x﹣y﹣3＝0． 2．根据要求完成下列问题： （1）求过P（3，2）且在两坐标轴上截距之和为12的直线m的截距式方程； （2）求过直线l1：x+2y+1＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0的交点且在两坐标轴上截距相等的直线n的一般式方程； （3）过点Q（0，1）作直线s使它被直线l3：2x+y﹣8＝0和l4：x﹣3y+10＝0截得的线段被点P平分，求直线s的一般式方程． 解：（1）设直线m：y﹣2＝k（x﹣3），令x＝0得y＝2﹣3k，令y＝0得， ∴，解得k＝﹣2或， ∴m的方程为2x+y﹣8＝0或x+3y﹣9＝0，即或； （2）因为直线n过直线l1：x+2y+1＝0与直线l2：2x﹣y+1＝0的交点， 故可设直线n：x+2y+1+λ（2x﹣y+1）＝0， 当n过原点时，代入（0，0）得1+λ＝0，则λ＝﹣1，∴直线n：x﹣3y＝0， 当n不过原点时，令x＝0，解得，令y＝0，解得， 由题意得，解得，∴直线n：5x+5y+4＝0， ∴n的方程为x﹣3y＝0或5x+5y+4＝0； （3）设s与l3的交点为A（a，8﹣2a），则点A关于点Q（0，1）的对称点B（﹣a，2a﹣6）在l4上，代入l4的方程得﹣a﹣3（2a﹣6）+10＝0，解得a＝4，即点A（4，0）在直线s上， ∴s的方程为，即x+4y﹣4＝0． 3．已知菱形ABCD中，A（﹣4，7），C（2，﹣3），BC边所在直线过点P（5，9）．求： （1）AD边所在直线的方程；（2）对角线BD所在直线的方程． 解：（1）因为BC边所在直线过点P（5，9），所以直线BC的方程为：y+3＝（x﹣2），即4x﹣y﹣11＝0，在菱形ABCD中可知AD∥BC， 所以设直线AD的方程为4x﹣y+m＝0，将点A（﹣4，7）代入4•（﹣4）﹣7+m＝0， 所以m＝23，所以直线AD的方程为：4x﹣y+23＝0； （2）由题意可得线段AC的中点M（，），即M（﹣1，2）， kAC＝＝﹣，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线BD的斜率为， 所以BD所在的直线方程为y﹣2＝（x+1），即3x﹣5y+13＝0． （2）由l1⊥l2，则（a+1）（2a﹣1）+2（a﹣2）＝0，解得或a＝1． 4．如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点． （1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程． 解：（1）∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为：KAB＝KOC＝3． ∴AB所在直线方程是y﹣0＝3（x﹣3），即3x﹣y﹣9＝0． （2）：设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0）， 由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，3），∵M是线段CD的中点， ∴x＝，y＝，于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，∵点D在线段AB上运动， ∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0，即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤）。 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$