精品解析：北师大版2023-2024学年八年级数学下册期末模拟试题

八年级下期学期末检测 数 学 模 拟 试 题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图包括（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式在数轴上的正确表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ） A. B. C D. 5. 在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（ ） A B. C. D. 8. 如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（ ） A. 三条高所在直线的交点处 B. 三条边的垂直平分线的交点处 C. 三个角的角平分线的交点处 D. 三条中线的交点处 9. 如图把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰，，作于，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 15 C. D. 10. 对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（ ） ①点B是点A到点C倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 12. 老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为________．（只列式不计算） 13. 用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形． 14. 摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中 、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间 之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是________． 15. 如图，在中，，，D、E分别是，的中点，连接、，如果，那么的面积是________． 16. 如图，在中，，，，D为边上一点，若点D到和的距离相等，则的长为_______． 17. 若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为_______． 18. 在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为______ ． 二、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上﹒ 19. 因式分解： （1） （2） 20. （1）解不等式： （2）解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系内有一个． （1）将向上平移5个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）再将向左平移得到，此时，请平面直角坐标系中画出． （3）若将看成是由经过一次平移得到，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 22. 先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 23. 如图，在平行四边形中，与交于点O，于点E． （1）用直尺和圆规作过点D作的垂线，垂足为F．（只保留作图痕迹） （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵， ∴， ∴① ． ∵四边形是平行四边形， ∴② ． 又∵③ ， ． ∴④ ∴四边形平行四边形 24. 在“创建文明城市”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且两个工程队在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积； （2）若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲乙两队施工的天数（取整数），使刚好完成绿化任务的施工总费用最低？并求出最低费用． 25. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 26. 如图，在四边形中，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形 （2）如图2，点在，点在上，连接，若，，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作分别交于两点，过点作的延长线于点，交的延长线于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下期学期末检测 数 学 模 拟 试 题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图包括（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 不等式在数轴上的正确表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握数轴表示不等式的解集时的“两定”．根据数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于解集为实心点，不含等于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．即可解答． 【详解】解：，开口向数轴的正方向（向右），且x大于等于2，所以要实心． ∴应该表示为 故选：C． 3. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据分式的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、满足分式的定义，是分式，故符合题意； B、中分母不含有字母，不分式，故不符合题意； C、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； D、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； 故选：A． 4. 下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解的定义‌是将一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，故不符合题意； B、符合因式分解的定义，故不符合题意； C、符合因式分解的定义，故不符合题意； D、不符合因式分解的定义，故符合题意； 故选：D． 5. 在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图： A. 当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； B.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； C.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； D.当，时，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 故选：D． 6. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．根据约分的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选C． 7. 若一个正多边形的每一个外角为，则这个多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，求正多边形的边数通常用外角和除以每一个外角的度数．根据正多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数先求出边数，然后再根据多边形的内角和公式列式计算即可得解． 【详解】解：多边形的每一个外角等于，， 这个多边形是12边形； 其内角和． 故选：C． 8. 如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（ ） A. 三条高所在直线的交点处 B. 三条边的垂直平分线的交点处 C. 三个角的角平分线的交点处 D. 三条中线的交点处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可． 【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等， 要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处． 故选：C． 9. 如图把两个腰长相等的等腰三角形拼接在一起，腰，，作于，若，，则的长为（ ） A. 16 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，过作于，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到，设，则，，由等腰三角形的性质得到，因此，由勾股定理得到，求出，即可得到的长．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：过作于， ， ， 于， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（ ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题是新定义型题目，主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，解不等式组，理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度，然后逐个分析即可． 【详解】点，，分别表示，，2， ，， ， 点是点到点的倍分点，故①正确； ， 点是点到点的倍分点．故②错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点A到点D的4倍分点，对应的数字为，则， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴ ∴ 当时，， 解得， ∴，解得， 当时，， 解得， ∴，解得， 综上所述，或， ∴，故④正确； 正确的有2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若分式有意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为________．（只列式不计算） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：设老师买了x副圆规， 由题意得：， 故答案为：． 13. 用等边三角形和正方形作平面镶嵌，则在它的每个顶点周围有个等边三角形和______ 个正方形． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的组合能镶嵌成平面的条件可知，位于同一顶点处的几个角之和为如果设用个正三角形，个正四边形，则有，求出此方程的正整数解即可． 【详解】解：设用个正三角形，个正四边形能进行平面镶嵌． 由题意，有， 解得， 当时，． 故在它的每个顶点周围，有个正三角形和个正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镶嵌密铺几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 14. 摩托车甲、汽车乙从相距的A、B两地相向而行，图中 、分别表示甲、乙两车离A地的距离与行驶时间 之间的函数关系．当时，汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解答此题的关键．先利用待定系数法求出两直线解析式，最后根据汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离，列出一元一次不等式解不等式即可得到答案． 【详解】设的解析式为，将代入得：，解得， 解析式为， 同理可得的解析式为， 根据题意得：， 解得：， 又∵． ∴汽车乙离A地的距离不小于摩托车甲离A地的距离的时间范围是： 15. 如图，在中，，，D、E分别是，的中点，连接、，如果，那么的面积是________． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理的逆定理．根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理的逆定理得到，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：，分别是，的中点， ， ∴， ∵， ， ， ∴的面积， 故答案为：84． 16. 如图，在中，，，，D为边上一点，若点D到和的距离相等，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积，连接，作于，由含角的直角三角形的性质以及勾股定理可得，，由点D到和的距离相等得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于， 在中，，，， ∴， ∴， ∵点D到和的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若实数a使关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，满足条件的整数a的值的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组有且仅有4个整数解确定a的取值范围；解分式方程，根据方程的解是正数列不等式求出a的取值范围，进而求出a的值，然后求和即可． 【详解】解： 解①得 解②得 ∵不等式组有且仅有4个整数解 ∴ ∴ 两边都乘以，得 ∴ ∵分式方程的解为正数 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴且 ∴满足条件整数a的值有： ∴满足条件的整数a的值的和为 故答案为： 18. 在中，点为边上一点，将沿着翻折得到，点为中点，连接、，若，，，则的最小值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，利用翻折的性质证明全等，得到，判断出的最小值就是的长，再过点作于点，求出，，最后在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，过点作于点， 则， 由翻折得到， ， 又点为中点， ， ， 在和中， ， ， ， 要求的最小值，只要求的最小值即可， 当，，三点在一条直线上时，取最小值， 此时， 即的最小值为． 中， ，， 则 ∴,， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题是以翻折为背景两线段和最小值问题，考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角函数定义，勾股定理．利用翻折将不共端点的两线段的和转化为共端点的两线段的和是解题的关键． 二、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上﹒ 19. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）用提取公因式法分解即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 20. （1）解不等式： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程． （1）去括号，移项，合并同类项，即可求出不等式的解集； （2）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． （2）， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是分式方程的解． 21. 如图，在平面直角坐标系内有一个． （1）将向上平移5个单位得到，请平面直角坐标系中画出； （2）再将向左平移得到，此时，请在平面直角坐标系中画出． （3）若将看成是由经过一次平移得到，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）将沿方向平移个单位可得 【解析】 【分析】本题考查了作图——平移及勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先确定点位置，然后连线即可； （2）可知，将向左平移6个单位得到，然后根据平移的性质画图即可； （3）根据图形观察可得平移方向，利用勾股定理可求出平移的距离． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 【小问3详解】 解：∵， ∴将沿方向平移个单位可得． 22. 先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】﹣x+3，2 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解：原式＝× = = = =﹣（x－3） =﹣x+3 ∵x≠ ±2， ∴可取x＝1， 则原式＝﹣1+3＝2． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 23. 如图，在平行四边形中，与交于点O，于点E． （1）用直尺和圆规作过点D作的垂线，垂足为F．（只保留作图痕迹） （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 证明： ∵， ∴， ∴① ． ∵四边形是平行四边形， ∴② ． 又∵③ ， ． ∴④ ∴四边形为平行四边形 【答案】（1）见解析 （2）①；②，；③；④ 【解析】 【分析】此题考查垂线的作法及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得出，．再由垂直的定义及平行线的判定确定，根据全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 ， ， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． 又∵， ． ∴． ∴四边形是平行四边形． 故答案为：①；②，；③；④． 24. 在“创建文明城市”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且两个工程队在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积； （2）若甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元，且甲、乙两队施工的总天数不超过天，则如何安排甲乙两队施工的天数（取整数），使刚好完成绿化任务的施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）甲，乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；（2）甲队施工12天，乙队施工2天时，最低施工总费用为11.6万元 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是，然后根据两个工程队在独立完成面积为540m2区域的绿化时，甲队比乙队少用6天，列方程求解即可； （2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天，然后依据题意列式求解即可得到答案. 【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲，乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）设甲工程队施工天，乙工程队施工天，刚好完成绿化任务， 则：， 整理得：， 甲乙两队施工的总天数不超过天， ， ， 解得：， 取整数 、、、、、、． 设施工总费用为元，根据题意得： ， ， 随增大而椷小， 当时，有最小值，最小值为（万）， 此时． 答：安排甲队施工天，乙队施工天时，最低施工总费用为万元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确的列式求解. 25. 如图：是边长为6的等边三角形，P是边上一动点．由点A向点C运动（P与点不重合），点Q同时以点P相同的速度，由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． （1）若设的长为x，则_________，____________． （2）当时，求的长； （3）点在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质并结合题意即可得出答案； （2）求出是直角三角形，再由含角的直角三角形的性质得出，建立方程计算即可得出答案； （3）过点作的平行线交于，证明是等边三角形，得出，再证明，得出，即可得解． 【小问1详解】 解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， 设的长为x，则，， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：点在运动过程中，线段的长不发生变化，，理由如下： 如图，过点作的平行线交于， ∵是边长为6的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 26. 如图，在四边形中，． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形 （2）如图2，点在，点在上，连接，若，，求证： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作分别交于两点，过点作的延长线于点，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，得出，即可证明结论； （2）过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，得出，，，再结合平行四边形的性质，易证，得到，即可证明结论； （3）以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点，由平行四边形的性质，可证是等腰直角三角形，，由（2）可知，，进而得出，根据等腰三角形的性质和直角三角形的特征，设，则，可得，，由，得到，利用待定系数法求出直线和的解析式，从而得到，，然后根据坐标两点的距离公式，求出的值，得到、的坐标，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：如图，过点作交于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，，， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，设与轴交于点，与轴交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ，即， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， ， ， 解得：，（舍）， ，， ， 的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$