5.6函数y=Asin(wx+φ)-重点强化提升讲义——2025届高三数学一轮复习

5.6函数y=Asin(wx+φ) ( 知识 归纳 ) 函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。 （1）定义域：R （2）值域：[-A, A] （3）周期性： ①和的最小正周期都是。 ②的最小正周期都是。 （4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的 单调增区间可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得； 单调减区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。 函数的图像和三角函数模型的简单应用 1、 几个物理量： ①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：． 2、 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定. 函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，． 3、函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4. 函数的变换： （1）函数的平移变换 ① 将图像沿轴向左（右）平移个单位 （左加右减） ② 将图像沿轴向上（下）平移个单位 （上加下减） （2）函数的伸缩变换： ① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长） ② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短） 5、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象 ( y =sin x y=sinxXXXxxx 横坐标 伸（缩） 倍 左（右）平移 纵坐标 伸（缩）A倍 y=sinx 左（右） 平移 纵坐标 伸（缩）A倍 横坐标 伸（缩） 倍 左（右） 平移 横坐标 伸（缩） 倍 横坐标 伸（缩） 倍 纵坐标 伸（缩）A倍 横坐标 伸(缩) 倍 纵坐标 伸（缩）A倍 左（右） 平移 左（右） 平移 纵坐标 伸（缩）A倍 ) 6、函数的图象与图象间的关系：①函数的图象向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象向上（）或向下（）平移个单位，得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位， 如要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　 ) 　　(A)向左平移 个单位　　 (B)向右平移个单位 (C)向左平移个单位　　 (D)向右平移个单位 7、函数y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性质和图象的变换与y＝Asin（x＋）类似。 ( 考点讲解 ) 题型一：相位变换及解析式特征 1．函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 3．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 题型二：上下平移变换及解析式特征 1．设函数的图象为下面两个图中的一个，则函数的图象的对称轴方程为（    ）       A． B． C． D． 2．要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 3．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是 A． B． C． D． 4．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为 A． B． C． D． 题型三：周期变换及解析式特征 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 2．（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 3．（多选）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（    ） A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 4．将函数,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动个单位长度，则得到的图像的解析式为 . 题型四：振幅变换及解析式特征 1．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与构成“互为生成”函数的为（    ） A． B． C． D． 2．函数的振幅是 ，初相是 ． 3．将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到 的图像. 4．函数最大值为5，最小值为－1，则振幅为 . 题型五：描述正(余)弦型函数图象的变换过程 1．已知函数，，则的图象（    ） A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称 C．向左平移个单位长度，得的图象 D．向右平移个单位长度，得的图象 2．巳知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 4．已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 题型六：求图象变化前(后)的解析式 1．将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（    ） A． B．1 C． D．－1 2．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．与有相同的最小值 C．直线为图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像 3．（多选）已知函数，给出下列四个选项，正确的有（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 4．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 题型七：三角函数综合 1．已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的值域为 3．（多选）函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数. (1)若的最小正周期为，求的值； (2)将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上没有最值，求的取值范围. 题型八：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 2．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．的一条对称轴为 3．已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象，并写出图象的对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，若函数经过点，求的值. 4．已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求的取值范围． 题型九：函数y=Acos(wx+φ)图像变换 1．设函数(其中的大致图象如图所示， 则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ． 3．设，函数的表达式，已知的最小正周期为，且． (1)求和的值； (2)求的单调递增区间． 4．已知函数的最小正周期为，将的图像向右平移个单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，且. （1）求函数的解析式； （2）设函数，若函数的图像在上恰有2个最高点，求实数的取值范围. 题型十：函数y=Atan(wx+φ)图像变换 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．，函数的最小正周期为 B． C．方程的解为、 D． 3．函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .    4．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求： （1）函数的解析式； （2）满足的x的取值范围. ( 巩固提升 ) 1．（2024·广西·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（    ） A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且为偶函数，则的一个递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·河南·模拟预测）若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·北京海淀·三模）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 9．（多选）（2023·广东深圳·一模）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为π B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．（多选）（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D．在上仅有1个零点 11．（多选）（2024·湖北黄冈·一模）已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点 12．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则 ． 13．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 ，若对任意 ，都有，则的最大值为 . 14．（2023·河南周口·模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增．在区间上单调递减，则的最大值为 ． 15．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． ( 走进高考 ) 1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 7．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.6函数y=Asin(wx+φ) ( 知识 归纳 ) 函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的性质。 （1）定义域：R （2）值域：[-A, A] （3）周期性： ①和的最小正周期都是。 ②的最小正周期都是。 （4）单调性：函数y＝Asin（x＋）（A＞0，＞0）的 单调增区间可由2k－≤x＋≤2k＋，k∈z解得； 单调减区间可由2k＋≤x＋≤2k＋，k∈z解得。 函数的图像和三角函数模型的简单应用 1、 几个物理量： ①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：． 2、 函数表达式的确定：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定. 函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，． 3、函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4. 函数的变换： （1）函数的平移变换 ① 将图像沿轴向左（右）平移个单位 （左加右减） ② 将图像沿轴向上（下）平移个单位 （上加下减） （2）函数的伸缩变换： ① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长） ② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短） 5、函数y＝sinx的图象经变换可得到的图象 ( y =sin x y=sinxXXXxxx 横坐标 伸（缩） 倍 左（右）平移 纵坐标 伸（缩）A倍 y=sinx 左（右） 平移 纵坐标 伸（缩）A倍 横坐标 伸（缩） 倍 左（右） 平移 横坐标 伸（缩） 倍 横坐标 伸（缩） 倍 纵坐标 伸（缩）A倍 横坐标 伸(缩) 倍 纵坐标 伸（缩）A倍 左（右） 平移 左（右） 平移 纵坐标 伸（缩）A倍 ) 6、函数的图象与图象间的关系：①函数的图象向左（>0）或向右（<0）平移个单位得的图象；②函数图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；③函数图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图象；④函数图象向上（）或向下（）平移个单位，得到的图象。 要特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移个单位， 如要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　 ) 　　(A)向左平移 个单位　　 (B)向右平移个单位 (C)向左平移个单位　　 (D)向右平移个单位 7、函数y＝Acos（x＋）和y=Atan（x＋）的性质和图象的变换与y＝Asin（x＋）类似。 ( 考点讲解 ) 题型一：相位变换及解析式特征 1．函数的振幅、周期、初相为（    ） A．、、 B．2、、0 C．2、、 D．2、、0 【答案】B 【分析】求出振幅，周期，初相. 【详解】根据函数解析式知，振幅为，周期为，初相为. 故选：B. 2．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 【答案】C 【分析】根据图象平移的规则判断． 【详解】由， 因此向左平行个单位得到图象， 故选：C． 3．将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将化为正弦型，然后由平移规律可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：A 4．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【答案】AC 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期是，A对； 对于B选项，当时，， 所以，函数在上不单调，B错； 对于C选项，因为， 所以，直线是函数图象的一条对称轴，C对； 对于D选项，因为， 所以，函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到，D错. 故选：AC. 题型二：上下平移变换及解析式特征 1．设函数的图象为下面两个图中的一个，则函数的图象的对称轴方程为（    ）       A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图象变换，分，，结合图象讨论求解. 【详解】若的图象是图2．由平移变换知：，则， 令，得．这与图象不符． 若的图象是图1．由平移变换知：，则， 令，得．符合题意. 故选：A． 2．要得到函数的图象只需将函数的图象（    ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度 【答案】B 【解析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可 【详解】解：由函数，， 所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像， 故选：B 3．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的新函数的一个对称中心是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的对称中心，确定选项． 【详解】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为 再向右平移个单位得到图象的解析式为 再向上平移个单位得到图象的解析式为，令解得，故函数的对称中心为 当时对称中心为，所以是函数的一个对称中心． 故选：． 【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高． 4．将函数的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得函数的解析式 【详解】试题分析：解：将函数的图象向右平移个单位，得到函数 再向下平移一个单位得函数的解析式为 故选A. 考点：1、三角函数的图象;2、诱导公式. 题型三：周期变换及解析式特征 1．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【答案】A 【分析】利用两角和的余弦公式化简为，再由函数的图象变换规律得出结论． 【详解】， 将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到， 故选：. 2．（多选）要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ） A．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 【答案】BC 【分析】根据三角函数图象平移规律可得答案. 【详解】将图象上所有点向右平移个单位得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到的图象，故B正确，A错误； 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向右平移个单位得到的图象，故C正确，D错误； 故选：BC. 3．（多选）下列四种变换方式中能将函数的图象变为函数的图象的是（    ） A．向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B．向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍 C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 D．每个点的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度 【答案】AC 【分析】根据三角函数图象平移规律和周期变换逐项判断可得答案. 【详解】， 对于A，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，故A正确； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，得到的图象，再向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位长度，得到的图象，故D错误． 故选：AC． 4．将函数,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动个单位长度，则得到的图像的解析式为 . 【答案】 【分析】首先化简函数，再根据图像变化规律求函数的解析式. 【详解】，图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数，再将图像上的点向左平移个单位，得函数. 故答案为： 题型四：振幅变换及解析式特征 1．如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数，其中与构成“互为生成”函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简,分别对4个选项进行化简,并根据题中定义来判断符合条件的选项 【详解】由题, 对选项A,振幅不一致,故不满足； 对选项C, ,振幅不一致,故不满足； 对选项D, ,振幅不一致,故不满足； 故选项A、C、D均要进行伸缩变换 故选B 【点睛】本题考查三角函数恒等变换,考查图象变换 2．函数的振幅是 ，初相是 ． 【答案】 3 【分析】根据振幅和初相的定义可得答案. 【详解】振幅， 令则初相. 故答案为:3, 3．将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到 的图像. 【答案】 【分析】根据正弦型函数的图像变换的性质进行求解即可. 【详解】将y＝sin2x的图像上的所有点的纵坐标都变为原来的倍，得到的图像， 故答案为： 【点睛】本题考查了正弦型函数图像的变换性质的应用，属于基础题. 4．函数最大值为5，最小值为－1，则振幅为 . 【答案】3 【分析】根据正弦函数的图象和性质，建立方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，函数取得最大值， 当时，函数取得最小值， 即； 解得，， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查余弦函数的性质，利用余弦函数的单调性和最值是解决本题的关键，属于基础题． 题型五：描述正(余)弦型函数图象的变换过程 1．已知函数，，则的图象（    ） A．与的图象相同 B．与的图象关于y轴对称 C．向左平移个单位长度，得的图象 D．向右平移个单位长度，得的图象 【答案】D 【分析】先应用诱导公式化简，再应用平移可得选项. 【详解】因为, , 所以向右平移个单位长度，得的图象. 故选：D. 2．巳知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（    ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据图象求出，然后结合正弦函数性质判断各命题． 【详解】， 由图象知函数的最小正周期为，因此，即， ，因此函数的图象关于点中心对称，①正确； 由得，，②正确； ，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确； 由题意，时， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 因此的范围是或，④错． 故选：B． 3．已知，是函数的两个不同零点，且的最小值是，有以下四个命题： ①函数周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的图象关于点中心对称； ④函数的图象可由图象向右平移个单位得到. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①② 【分析】首先根据周期求得，然后由三角函数的单调性、对称性、值域等知识确定正确答案. 【详解】根据题意，的最小值是，所以， 所以，函数的最小正周期是，①正确； 由上可知，， 所以函数的图象关于直线对称，所以②正确； ， 所以不是的对称中心，所以③错误； ， 所以函数的图象可由图象向右平移个单位得到，④错误. 故答案为：①②. 4．已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式，化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，整体代入法求函数的单调增区间； （2）根据图象的平移，伸缩变换规律，即可求解. 【详解】（1） ，   由，得 的递增区间为； （2）的图象向右平移个单位长度，得到函数， 图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到函数， 图象上的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数. 题型六：求图象变化前(后)的解析式 1．将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（    ） A． B．1 C． D．－1 【答案】A 【分析】根据题意，先求出的表达式，再求的值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位得到， 将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数， 所以， 故选：A. 2．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．与有相同的最小值 C．直线为图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图像 【答案】ABD 【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据解析式可得与的最小值；对于C：代入求，结合最值与对称性分析判断；对于D：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：的最小正周期，故A正确； 对于选项B：与的最小值均为，故B正确； 对于选项C：因为， 可知直线不为图象的对称轴，故C错误； 对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后， 得到，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）已知函数，给出下列四个选项，正确的有（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是减函数 C．函数的图象关于点对称 D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位得到 【答案】AB 【分析】A选项，利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期；B选项，求出，从而得到在区间上是减函数；C选项，代入，得到，得到对称中心；D选项，利用左加右减，上加下减得到平移后的解析式，得到D错误. 【详解】A选项，， 故的最小正周期为，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递减， 故在区间上为减函数，B正确； C选项，当时，，故， 所以关于中心对称，C错误； D选项，的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到，D错误. 故选：AB 4．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解. （2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解. 【详解】（1）由函数的部分图象可知，， 所以，所以，所以函数， 又，所以， 解得，由可得， 所以. （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以在上的最大值为，最小值为. 题型七：三角函数综合 1．已知函数（）在上有三个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合零点的定义可得在上有三个根，结合正弦函数性质列不等式可求的取值范围. 【详解】令， 则， 当时，则， 因为函数在上有三个零点， 所以， ∴， 故选：A. 2．（多选）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，故的一个周期为，即A正确； 对于B，根据诱导公式可知： ，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知 ，即为偶函数， 当时，，显然此时函数单调递减， 由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误； 由B结论可知为的一个周期， 此区间上，故D正确. 故选：ABD 3．（多选）函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题利用函数的奇偶性，先判断函数的对称性，再利用函数的单调性去解决问题. 【详解】由为奇函数得关于对称，为偶函数得关于对称，所以函数为周期为4的周期函数，且函数为偶函数 因为时，函数，可知函数在上单调递减； 对于A：，故A错； 对于B：由上可知，因为，所以，因函数在上单调递减，所以故B对； 对于CD选项我们需要先证明. 证明如下：，所以， ，所以， 故知. 由在上单调递增，可得，即证. 对于C： 函数在上单调递减，由函数为偶函数，可知函数在上单调递增，所以函数在不单调，因恒成立，可知C错. 对于D：由恒成立，可知，可知D正确. 故选：BD. 4．已知函数. (1)若的最小正周期为，求的值； (2)将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上没有最值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简函数，结合的最小正周期为，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，令，则转化为函数在区间上无最值，结合余弦函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 因为的最小正周期为，所以，所以. （2）解：由（1）知， 将的图象向下平移1个单位长度，可得， 因为，可得， 令，则转化为函数在区间上无最值， 因为函数的单调区间为， 则满足，解得， 上述不等式组有正数解，则应满足，所以， 所以或， 当时，得；当时，得， 综上，实数的取值范围是. 题型八：结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1．函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象最大值得到，由向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得过，结合图象过得到，故，，从而，由得到的值. 【详解】由图象得，从而， 的图象上的所有点向左平移个单位长度后图象关于原点对称，得函数的图象过点， 所以结合图象知，所以，故， 又，则，结合，得， 所以，， 故选：A． 2．（多选）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的一个对称中心坐标为 C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到 D．的一条对称轴为 【答案】ABD 【分析】首先化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，运用对称轴经过最高最低点即可判断D. 【详解】对A，， 由周期公式可得，A正确； 对B，因为，故为对称中心，B正确； 对C，的图象向左平移个单位得到，C错误； 对D，当，，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 3．已知函数. (1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象，并写出图象的对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位，向下平移1个单位，然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，若函数经过点，求的值. 【答案】(1)，图象见详解 (2) 【分析】（1）先将函数用辅助角公式进行化简，然后根据“五点作图法”作图即可；令整体即可求出对称中心的横坐标，纵坐标为1； （2）先根据题意求出的图象，再依题意计算即可. 【详解】（1） 因为，所以 0 1 1 3 函数的图象如图所示 令,则, 所以的对称中心为 （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数 再向下平移1个单位，得到函数 然后再将各点的横坐标伸长到原来的2倍得到函数 因为函数经过点所以即 因为，所以因为所以 所以 所以 . 4．已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦函数的性质求出结果. 【详解】（1）, 令， 解得：， 所以的单调递减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位后得到， 则， 因为，所以， 所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点， 结合正弦函数的图象：      可得当或，即或， 即或，或时，与只有一个交点， 所以实数的取值范围为 题型九：函数y=Acos(wx+φ)图像变换 1．设函数(其中的大致图象如图所示， 则的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象求得，，，从而即可求的最小正周期. 【详解】解：根据函数(其中的大致图象， 可得，， 因为， 所以，所以， 结合五点法作图，可得，解得， 所以， 所以函数的最小正周期为， 故选：C. 2．设函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为 ． 【答案】/ 【分析】根据单调性、对称性来求得的最小正周期. 【详解】在区间上具有单调性，区间的长度为， 区间的长度为， 由于， 所以的一条对称轴为，其相邻一个对称中心为，即， 所以. 故答案为： 3．设，函数的表达式，已知的最小正周期为，且． (1)求和的值； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由余弦函数的倍角公式化简，再由周期公式求得，从而利用求得，由此得解. （2）结合（1）中结论得到，再利用余弦函数的单调性即可求得的单调增区间． 【详解】（1）因为， 又的最小正周期为，，所以，则，故， 因为，所以，即， 因为，所以，故，即. （2）由（1）得， 因为的单调递增区间为， 令，得， 所以的单调递增区间为. 4．已知函数的最小正周期为，将的图像向右平移个单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，且. （1）求函数的解析式； （2）设函数，若函数的图像在上恰有2个最高点，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据给出的周期，可求出ω的值；由f（x）的图象向右平移个单位长度，函数的图象关于y轴对称，求出φ的值；由，得A的值即可； （2）由（1）可得F（x）的解析式，由辅助角公式进行化简，利用函数图象分析即可得出结果． 【详解】（1）∵函数的最小正周期为π， ∴π，解得ω＝2， ∵g（x）＝f（x）＝Acos[2（x）+φ]＝Acos（2xφ），且g（x）的图象关于y轴对称， ∴φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z， ∴由|φ|，可得φ，可得f（x）＝Acos（2x）， ∵，即f（）＝Acos[2×（）]＝Acos0＝A＝2， ∴函数f（x）的解析式为． （2）由（1）知g（x）＝2cos2x； F（x）＝2cos（2x）+2cos2x＝2（cos2xcossin2xsin）+2cos2x＝3cos2xsin2x， ＝2cos（2x）； ∵x∈[0，aπ]（a＞0）； ∴2x∈[，2aπ]； ∵函数F（x）的图象在x∈[0，aπ]（a＞0）上恰有2个最高点； ∴结合余弦函数的图象（如图示）知，4π≤2πa6π； 故解得a∈ 故实数a的取值范围为． 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，利用整体法思想，数形结合的思想方法解决问题，属于中档题． 题型十：函数y=Atan(wx+φ)图像变换 1．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切型函数的周期公式计算可得. 【详解】解：对于函数，显然， 所以函数的最小正周期. 故选：B 2．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．，函数的最小正周期为 B． C．方程的解为、 D． 【答案】BCD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断AB选项；解方程，可判断C选项；利用正切函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为， 则，所以，， 因为，则，则， 因为，则，，故A不正确； 对于B选项，，则， 所以，，故B正确； 由，得， 即，即， 所以，或， 因为，， 所以，或，解得或，故C正确； 对于D选项，因为，则， ，， 因为，且函数在上单调递增， 所以，， 又因为，则，所以，，故D正确. 故选：BCD. 3．函数的部分图象如图所示，T为的最小正周期，若，写出一个满足条件的正整数 .    【答案】3（答案不唯一，符合的正整数均可） 【分析】根据函数的图象特征可利用周期以及平移求解解析式为，进而根据正切型函数的单调性即可求解不等式. 【详解】由图可知：， 由于可由的图象向左平移个单位得到，根据的一个对称中心为 ，而的一个对称中心为，故，此时，又,故， 由得， 即， 因此 ,解得， 不妨取，则，由于为正整数，故可取 ， 故答案为：3（答案不唯一，符合的正整数均可） 4．已知函数的图像与x轴相交的两相邻点的坐标分别为和，且过点.求： （1）函数的解析式； （2）满足的x的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，根据它的图像过点求出，根据它的图像过点，求出的值即得解； （2）利用正切函数的图象得到，化简即得解. 【详解】（1）由题意可得的周期为，所以，所以， 因为它的图像过点，所以，即， 所以，即.又，所以，于是. 又它的图像过点，所以，得. 所以. （2）由（1）得，所以，即. 解得. 所以满足的x的取值范围是 ( 巩固提升 ) 1．（2024·广西·模拟预测）为了得到函数的图象，只需将正弦函数图象上各点（    ） A．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 【答案】B 【分析】直接由函数平移变换法则即可求解. 【详解】把上的所有点向左平移个单位长度， 得到函数的图象． 故选：B． 2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数的最小正周期为，且为偶函数，则的一个递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的最小正周期为π，可求，利用偶函数可求得，进而可求得的单调区间，可得答案. 【详解】由的最小正周期为π，可得，解得， 所以， 又因为为偶函数， 所以又，所以， 所以， 由，可得， 所以的单调递减区间为， 当时，可得. 故选：D. 3．（2023·河南·模拟预测）若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有函数在区间上有两个零点可知，由在上单调递增可求出的取值范围，然后联立即可求出答案. 【详解】解：由题意得： 函数在上恰有两个零点， ， 解得：①， 又在上单调递增， ，解得：②， 由①②式联立可知的取值范围是. 故选：B 4．（2024·北京海淀·三模）函数的部分图象如图所示，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把函数解析式化成的形式，再结合函数的周期和值域求值. 【详解】因为. 由函数图象可知：； 又，所以，又. 故选：B 5．（2024·江苏无锡·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于轴对称则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的图像变换规律得到，由正弦函数的对称性可得，从而求得的最小值. 【详解】关于轴对称， 则，又因为，则当时，. 故选：C 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数（）向左正移个单位后在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案. 【详解】函数向左平移个单位后为， 当时，， ∵单调递增， 所以，即， 可得， 又，∴. 故选：B. 7．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数，，若P，Q分别为函数和的图象上的两个最高点，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式可得，，进而可得取最大值的的值，进而可求的最小值. 【详解】因为，， 所以当时，所以； 当时，， 可得的最小值为． 故选：D． 8．（2024·广东珠海·一模）函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（    ） A． B．函数图象关于点对称 C．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若，则函数的最大值为 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断A，验证是否为函数的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D. 【详解】由已知， 所以， 又，所以函数的最小正周期为， 由已知，所以，A正确； 所以， 因为，所以函数图象关于点对称，B正确， 将函数图象向右移个单位后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称， 所以，又， 所以的最小值为，C正确， 若，则， 所以，故， 所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误. 故选：D. 9．（多选）（2023·广东深圳·一模）已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（    ） A．的最小正周期为π B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可. 【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确； 令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误； 令解得，故C选项错误； 令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确. 故选：AD 10．（多选）（2024·安徽合肥·三模）已知是函数的两个零点，且的最小值是，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于直线对称 C．的图象可由的图象向右平移个单位长度得到 D．在上仅有1个零点 【答案】ABD 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出，从而得到解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期，，． 对于，当时，， 因为在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将的图象向右平移个单位长度得到： ，故C错误； 对于D，当时，，仅当，即时，， 即在上仅有1个零点，故D正确． 故选：ABD． 11．（多选）（2024·湖北黄冈·一模）已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点 【答案】AD 【分析】A选项，把代入解析式，得到；B选项，根据为函数的最低点及，由勾股定理得到方程，求出，从而得到，把代入解析式，得到；C选项，整体法求出函数值域；D选项，画出与的函数图象，根据交点个数得到零点个数. 【详解】A选项，把代入得，， 因为，所以，A正确； B选项，为函数的最低点， ，故，解得，负值舍去， 则，其中，故， 故，， 由于，所以， 故，解得，B错误； C选项，，时，， 故，，C错误； D选项，画出与的函数图象，如下： 两函数有3个交点， 故有三个零点，D正确. 故选：AD 12．（2024·湖南邵阳·三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则 ． 【答案】 【分析】利用图象可以观察出振幅和周期，也就是能求出，最后通过代入最高点坐标去求即可. 【详解】 由题知：，，，即， 又，，故，即． 故答案为：. 13．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）已知 ，若对任意 ，都有，则的最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】运用整体法，根据正弦型函数的图像求解. 【详解】由题意， ， ，又 ， ， 由正弦函数 的单调性和周期性可知： ； 故答案为： . 14．（2023·河南周口·模拟预测）将函数的图象向右平移a个单位长度（a为常数，且），得到函数的图象，若在区间上单调递增．在区间上单调递减，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据左加右减得到，进而根据两函数的单调性，得到不等式，求出，化简得到，从而当时，取得最大值，得到答案. 【详解】， 故向右平移a个单位长度后得到， 所以，解得， ，，，， ，其中，， 要想在上单调递增，在上单调递减， 则，，，， 解得， 故，要想求出的最大值，只需， 此时，即的最大值为. 故答案为： 15．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位，得到函数的图象.若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变形，转化为正弦型函数，然后利用相位整体思想，结合正弦曲线，求出最值，即可得到答案； （2）根据伸缩和平移变换，得到新的函数解析式，再同样把相位看成一个整体，利用正弦曲线，数形结合，就可以判定端点值的取值范围，从而得到解答. 【详解】（1）因为， 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为时，恒成立，所以， 即实数的取值范围为. （2）由图象的横坐标缩小为原来的，可得：， 再将其向右平移，可得：， 即函数， 因为，所以，在给定区间的正弦函数的零点是， 再由函数有且仅有4个零点，则满足， 解得，所以实数的取值范围. 16．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值； (3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值； （3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求. 【详解】（1）由函数的部分图象可知， ，，，又， ，解得，由可得， ； （2）将向右平移个单位，得到， 再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到， 令，由，可得， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 可得，； （3）因为关于的方程在上有两个不等实根， 即与的图象在有两个交点.    由图象可知符合题意的的取值范围为. ( 走进高考 ) 1．（2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 2．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 3．（2022·天津·高考真题）关于函数，给出下列结论： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 其中正确结论的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为，所以的最小正周期为，①不正确； 令，而在上递增，所以在上单调递增，②正确；因为，，所以，③不正确； 由于，所以的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 4．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象． 故选：D.   5．（2022·全国·高考真题）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 6．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 7．（2021·全国·高考真题）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 8．（2023·全国·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$