第十三章期末专题复习--将军饮马——两定一动型教案 2024-2025学年人教版数学八年级上册

期末专题复习 --将军饮马——两定一动型 课 题 将军饮马——“两定一动”型 第 1 课时 课型：新授 教 学 目 标 1、 利用轴对称原理，抽象出“将军饮马”模型，理解“将军饮马”的本质是求最短距离。 2、 知道“两定一动”型将军饮马模型的解法，会解决综合性最短距离问题。 3、 在探索最短距离的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。 重 点 难 点 抽象出“将军饮马”模型，掌握“两定一动”型将军饮马模型的具体解题步骤。 从综合性几何问题中抽象出“将军饮马”模型。 教学方法 讲授法、启发引导法。 教学准备 实物投影仪、多媒体课件、电子白板应用 板书设计： 将 军 饮 马 ( P )——“两定一动”型 1、 特征 二、解法 （1） 两个定点一个动点，即“两定一动” （1）关于动点轨迹l（即对称轴）作一个定 （2）定点在动点轨迹l（即对称轴）的同侧 点（如：B）的对称点 (B') （3）求动点到两个定点距离和的最小值（如：PA+PB） （2）连接对称点（B'）和另一个定点（A） （3）连线（即AB'）与动点轨迹m（即对称轴）交点Q即所求动点。 原理： 两点间线段最短 教 学 过 程 设计意图 一、情境创设，引入课题 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识:（1）将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线；（2）在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？ 二、自主探究，学习新知 自主探究一、解决数学问题 如图，点A，B 在直线l 的同侧，在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小？ 师生活动：学生独立思考，尝试画图，相互交流. 如果学生有困难，教师可作如下提示： （1）如果点B在点A的异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC 与BC的和最小 （2）现在点B与点A在同侧，能否将点B移到l 的另一侧点处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB’? （3）你能根据轴对称的知识，找到（2）中符合条件的点吗？ 师生共同完成作图，如下图： 作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求． 自主探究二、证明AC +BC “最短”  你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 师生活动：学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程. 追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C’（与点C但不重合）？ 师生活动：学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC +BC最小． 追问2：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 师生活动：学生回答，相互补充. 三、典例剖析 如图，在矩形中，，，动点满足，则点到点，两点距离之和为（ ） A. B. C. D. 师生活动:学生分析已知条件，找到最终目的，抽象出数学模型，教师适时点拨。 五、归纳小结 教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题. （1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）“将军饮马”模型的特征是什么？ ① 两个定点一个动点，即“两定一动” ② 定点在动点轨迹l（即对称轴）的同侧 ③ 求动点到两个定点距离和的最小值（如：PA+PB） （3）“两定一动型将军饮马”的解法是什么？ ① 关于动点轨迹l（即对称轴）作一个定点（如：B）的对称点 (B') ② 连接对称点（B'）和另一个定点（A） ③ 连线（即AB'）与动点轨迹m（即对称轴）交点Q即所求动点。 师生活动：教师引导，学生小结. 让学生感受生活与数学的密切联系。激发学习兴趣。 学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的概念． 教师一步一步引导学生，如何将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路，渗透转化思想. 让学生体会作法的正确性，提高逻辑思维能力． 学生在反思中，体会轴对称的桥梁作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验. 让学生学会分析综合问题，抽象数学模型，进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。 引导学生把握研究问题的基本策略和方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值。 学科网（北京）股份有限公司 $$