21.1 一元二次方程 （课件+教学案+作业设计） -2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 21.1 一元二次方程（2） 复习回顾 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 练习：请将方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. ∴其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项是-10. 新知探究 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? -3， -2，-1，0，1，2，3， 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 典例探究 例1.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2， 0． 解：将x=-4代入原方程， 不是 将x=-3代入原方程， 是 将x=-2代入原方程， 是 将x=0代入原方程， 不是 典例探究 例2. (1) 已知方程 5x² + mx − 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为__________； (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2－4 = 0 有一个根为 0，求 m 的值. 解：将 x = 0 代入方程得 m2 − 4 = 0， 解得 m = ±2. ∵ m + 2 ≠ 0， ∴ m ≠ −2. 综上可知 m = 2. 典例探究 练习. 已知关于x的一元二次方程 的一个根是x=0，求 a 的值. 解：把x=0代入原方程得， 典例探究 例3.已知 a 是方程 x2 + 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 典例探究 练习： 若a是方程的一个根,求代数式； 解：将x=a代入方程： ，即 典例探究 例4.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 典例探究 练习.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 整理，得 根据题意有， 课堂总结 一元二次方程 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 (一元)，并且未知数的最高次数是 2 (二次) 的方程 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根(解) 使方程左右两边相等的未知数的值 建立一元二次方程模型 审→设→找→列 谢谢观看 $$ 一元二次方程（2）导学案 学习目标 1.了解一元二次方程根的概念； 2.会判断一个数是否为一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题； 1、 复习回顾 练习：请将方程3x(x−1)=5(x+2)化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. 二、新知探究 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 试一试：下面哪些数是方程 x2–x–6=0 的根? -3， -2，-1，0，1，2，3， 三、典例精析 例1.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？ -4，-3，-2， 0． 例2. (1) 已知方程 5x²+mx− 6= 0 的一个根为4，则 m 的值为__________； (2) 若关于 x 的一元二次方程(m+2)x2 + 5x + m2－4 = 0，有一个根为 0，求 m 的值. 例3.已知 a 是方程 x2+ 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 例4.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 4、 课堂总结 本节课我的收获：______________________________________________________________； 我还未解决的问题：______________________________________________________________； 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程（2）教学设计 教学目标 1.了解一元二次方程根的概念； 2.会判断一个数是否为一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题； 教学重点 判定一个数是否是方程的根。 教学难点 由实际问题列出的一元二次方程并通过具体数据求一元二次方程的根。 教学过程 1、 复习回顾 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 练习：请将方程3x(x−1)=5(x+2)化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数以及常数项. 解：去括号，得3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0. ∴其中二次项系数是3；一次项系数是-8；常数项是-10. 二、新知探究 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）. 试一试：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的根? -3， -2，-1，0，1，2，3， 解：3和-2 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 三、典例精析 例1.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？ -4，-3，-2， 0． 例2. (1) 已知方程 5x²+mx− 6= 0 的一个根为4，则 m 的值为__________； (2) 若关于 x 的一元二次方程(m+2)x2 + 5x + m2－4 = 0，有一个根为 0，求 m 的值. 例3.已知 a 是方程 x2+ 2x - 2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值. 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入方程，然后注意观察，有时需用到整体思想——将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体的值代入求解. 例4.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 4、 课堂总结 5、 作业布置 见精品作业设计 6、 板书设计 ( 一元二次方程 复习回顾 三、典例精析 二、一元二次方程的根 ) 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课前诊测 1.把下列方程化成一般式，并写出二次项、一次项和常数项． (1)； (2)． 精准作业 必做题 1．已知是方程的一个根，则代数式的值等于（   ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 3．若是关于的方程的一个根，则的值是（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 4．若是方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．5 5．若a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 6．已知方程有一根为，则的值为 ． 7．如果是关于x的方程的一个根，则 ． 8．已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程是一元一次方程； (2)当a为何值时，方程是一元二次方程； (3)当该方程有两个实根，其中一根为0时，求a的值． 9． 先化简，再求值：，其中x是方程的根． 探究题 10．若a是方程的一个根，求代数式的值． 参考答案： 课前诊测 1．(1)，二次项为，一次项为，常数项 (2)，二次项为，一次项为，常数项 精准作业 1．C 2．B 3．D 4．D 5．7 6．2018 7． 8．(1)1 (2)且 (3) 9．， 10． 学科网（北京）股份有限公司 $$