2.2 直线的方程（九个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

2.2直线的方程 一、点斜式方程及其辨析 六、一般式方程及其辨析 二、斜截式方程及其辨析 七、直线的定点问题 三、两点式方程及其辨析 八、已知直线的位置关系求参数 四、截距式方程及其辨析 九、已知直线的位置关系求直线方程 五、直线与坐标轴围成的面积问题 知识点1直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 重难点一 点斜式方程及其辨析 【例1】已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【例2】（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【变式1-2】已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为 ． 【变式1-3】写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 重难点二 斜截式方程及其辨析 【例3】（多选）关于一次函数，下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，函数图象经过第一、三、四象限 C．，函数图象必经过第一、三象限 D．，函数在R上恒为减函数 【例4】已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【变式2-1】若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 【变式2-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【变式2-3】已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 知识点3直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 重难点三 两点式方程及其辨析 【例5】过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【例6】（多选）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【变式3-2】如果直线l过，两点，点在l上，那么b的值为 . 【变式3-3】一束光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(-1，6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程. 重难点四 截距式方程及其辨析 【例7】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【例8】设，，，直线将△ABC面积两等分，则m的值是 . 【变式4-1】（多选）直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（    ） A． B．1 C．3 D．0 【变式4-2】若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-3】已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 重难点五 直线与坐标轴围成的面积问题 【例9】若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为 . 【例10】已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，此时的直线方程为 ． 【变式5-1】若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 【变式5-2】过点的直线分别交轴正半轴和轴正半轴于点、，则（为原点）面积的最小值为 . 【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（    ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 知识点5直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 重难点六 一般式方程及其辨析 【例11】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例12】（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【变式6-1】根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【变式6-2】在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 【变式6-3】直线，的斜率的取值范围为 . 重难点七 直线的定点问题 【例13】直线过定点 . 【例14】（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式7-1】已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【变式7-2】（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【变式7-3】已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 知识点6两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 垂直 平行 且 或 重合 且 重难点八 已知直线的位置关系求参数 【例15】已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例16】已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【变式8-1】已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【变式8-2】已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【变式8-3】在中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，求直线与直线的夹角． 重难点九 已知直线的位置关系求直线方程 【例17】已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【例18】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【变式9-1】已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为 ． 【变式9-2】已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【变式9-3】直线上一点的横坐标是3，若该直线绕点逆时针旋转90°得到直线，求直线的方程． 一、单选题 1．设直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 2．过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 4．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 5．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 二、多选题 7．下列结论不正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 D．直线恒过定点 8．过点，且横纵截距的绝对值相等的直线可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．对任意的实数，直线所过的定点为 ． 10．直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 . 11．某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    四、解答题 12．直线过点，且在两坐标轴上的截距之积为6，求直线的方程． 13．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 14．已知的三个顶点分别为．求： (1)边中线所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2直线的方程 一、点斜式方程及其辨析 六、一般式方程及其辨析 二、斜截式方程及其辨析 七、直线的定点问题 三、两点式方程及其辨析 八、已知直线的位置关系求参数 四、截距式方程及其辨析 九、已知直线的位置关系求直线方程 五、直线与坐标轴围成的面积问题 知识点1直线的点斜式方程 1．点斜式方程的推导 如图,直线l经过点,且斜率为k.设为直线l上不同于点P0的任意一点,因为直线l的斜率为k,由斜率公式得,即． 2．直线的点斜式方程 方程由直线上一定点及该直线的斜率k确定,我们把它叫做直线的点斜式方程,简称点斜式． （1）当直线l的倾斜角为0°时,,即k=0,这时直线l与x轴平行或重合,直线l的方程是,即 （2）当直线l的倾斜角为90°时,由于无意义,直线没有斜率,这时直线l与y轴平行或重合,它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是或. 知识点2直线的斜截式方程 1．斜截式方程的推导 如图,如果斜率为k的直线l过点,这时P0是直线l与y轴的交点,代入直线的点斜式方程,得,即. 2．直线的斜截式方程 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．这样,方程y=kx+b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,我们把方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式．其中,k和b均有明显的几何意义：k是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距． 重难点一 点斜式方程及其辨析 【例1】已知直线的方程是，则（    ） A．直线经过定点，斜率为 B．直线经过定点，斜率为 C．直线经过定点，斜率为 D．直线经过定点，斜率为 【答案】D 【详解】直线的方程可化为， 所以直线过定点，斜率为． 故选：D 【例2】（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 【变式1-1】已知直线经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【详解】设直线的倾斜角为， 则斜率，又，故， 设直线的的倾斜角为，则， 直线的斜率， 又直线经过点， 则直线的点斜式方程为：. 故答案为：. 【变式1-2】已知直线过点，且倾斜角的正弦值为，此直线方程为 ． 【答案】 【详解】记直线倾斜角为，由题知， 所以，所以， 由点斜式方程可得，即. 故答案为： 【变式1-3】写出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； (2)经过点，且与轴平行． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）直线的斜率为， 直线的倾斜角为， 所求直线的倾斜角为，故其斜率为． 所求直线的点斜式方程为. （2）与轴平行的直线，其斜率不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为． 重难点二 斜截式方程及其辨析 【例3】（多选）关于一次函数，下列结论正确的有（    ） A．当时，函数图象经过第一、二、三象限 B．当时，函数图象经过第一、三、四象限 C．，函数图象必经过第一、三象限 D．，函数在R上恒为减函数 【答案】ABC 【详解】若，，则函数图象经过第一、二、三象限，A正确； 若，，则函数图象经过第一、三、四象限，B正确； 若，则函数图象必经过第一、三象限，且函数在R上恒为增函数，C正确，D错误． 故选：ABC 【例4】已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【详解】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 【变式2-1】若直线l的倾斜角为且在y轴上的截距为，则直线l的斜截式方程为 . 【答案】 【详解】因为直线l的倾斜角为，所以，又因为直线在y轴上的截距为， 所以直线方程为：. 故答案为：. 【变式2-2】根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【详解】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 【变式2-3】已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 知识点3直线的两点式方程 当时,经过两点的直线的斜率. 任取中的一点,例如,取点,由直线的点斜式方程,得, 当时,上式可写为，这就是经过两点 (其中 )的直线的方程,我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式． 知识点4直线的截距式方程 已知直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为,其中,则由直线的两点式方程可以得到直线l的方程为 我们把直线l与x轴的交点的横坐标a叫做直线在x轴上的截距,此时直线在y轴上的截距是b.方程由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程叫做直线的截距式方程,简称截距式． 重难点三 两点式方程及其辨析 【例5】过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 【例6】（多选）光线自点射入，经轴反射后经过点，则反射光线所在直线还经过下列点（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】关于轴的对称点为，则反射光线所在直线经过点和点，则直线为：，即，代入，则，A选项正确；代入，则，B错误；代入，则，C选项错误；代入，则，D正确. 故选：AD 【变式3-1】已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【答案】，直线l在轴上的截距为，直线l在轴上的截距为. 【详解】因为A，B两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为，整理得． 所以直线l的方程为， 所以直线l在轴上的截距为， 令，则，解得， 所以直线l在轴上的截距为. 【变式3-2】如果直线l过，两点，点在l上，那么b的值为 . 【答案】2023 【详解】直线l的方程为：，即， 因为在l上，所以，解得：. 故答案为：2023 【变式3-3】一束光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(-1，6)，分别求入射光线和反射光线所在直线的方程. 【答案】入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0. 【详解】易知点A(3，2)关于x轴的对称点为A'(3，-2). 由已知可得反射光线所在直线为直线A'B， 其方程为=，即2x+y-4=0. 点B(-1，6)关于x轴的对称点为B'(-1，-6). 由已知可得入射光线所在直线为直线AB'， 其方程为=，即2x-y-4=0. 故入射光线所在直线的方程为2x-y-4=0，反射光线所在直线的方程为2x+y-4=0.    重难点四 截距式方程及其辨析 【例7】经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线过原点时，方程为，符合题意， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线的方程为或. 故选：D. 【例8】设，，，直线将△ABC面积两等分，则m的值是 . 【答案】 【详解】解：设直线与边，分别交于点． 由，得． 又直线的方程为，而点在边上，故可设．因此，． ， ， 故答案为： 【变式4-1】（多选）直线过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线在轴上的截距可能是（    ） A． B．1 C．3 D．0 【答案】ACD 【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则，解得，此时在轴上的截距为； 当直线不过原点且截距相同，设直线方程为，则，解得， 此时在轴上的截距为； 当直线不过原点且截距相反，设直线方程为，则，解得， 此时在轴上的截距为； 综上所述：截距可能为. 故选：ACD 【变式4-2】若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线经过点，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故选：D 【变式4-3】已知直线过点. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意， 直线过点，， ∴直线方程：，即. （2）由题意， 直线过点，且在轴和轴上的截距相等 当直线过原点时，截距为，方程为 当直线不过原点时，设直线， ∴，解得：，、 ∴直线方程为 综上，直线的方程为：或. 重难点五 直线与坐标轴围成的面积问题 【例9】若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0. 设直线方程为，则. 因为，即，所以， 所以时，，当时，， 所以直线方程为或. 故答案为: 或. 【例10】已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为 ，此时的直线方程为 ． 【答案】 4 【详解】由题可知直线AB斜率为负，故设直线AB的方程为， 令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－， ∴ ，当且仅当，即时取等号. 故当时，有最小值4． 此时，直线方程为即． 故答案为：4；. 【变式5-1】若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条. 【答案】 【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为， ∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为， ∴，解得，或，或， 所以直线的条数为条． 故答案为： 【变式5-2】过点的直线分别交轴正半轴和轴正半轴于点、，则（为原点）面积的最小值为 . 【答案】 【详解】设点、，其中且，则直线的方程为， 由已知可得，由基本不等式可得，则， 当且仅当，时，等号成立，故. 故答案为：. 【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点，，则下列选项中错误的是（    ） A．存在正实数使得△面积为的直线l恰有一条 B．存在正实数使得△面积为的直线l恰有二条 C．存在正实数使得△面积为的直线l恰有三条 D．存在正实数使得△面积为的直线l恰有四条 【答案】A 【详解】由题意，直线与轴、轴交点分别为，， ∴，作出其图象如图所示， 由图知，当时，有两解；当时，有三解；当时，有四解. 故选：A 知识点5直线的一般式方程 关于的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于的二元一次方程 (其中不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式． 直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化 一般式 斜截式 截距式 (其中不同时为0) 重难点六 一般式方程及其辨析 【例11】直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率，则该直线的倾斜角为. 故选：B. 【例12】（多选）设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线垂直 【答案】BD 【详解】对于A，直线：， 则的斜率为，故A错误； 对于B，令，解得， 故在轴上的截距为，故B正确； 对于C，当时，直线：，平行于轴，故C错误； 对于D，当时，直线与直线显然垂直， 当时，直线的斜率为， 直线的斜率为， 所以，故D正确． 故选：BD． 【变式6-1】根据下列条件分别写出直线的一般式方程． (1)经过两点，； (2)经过点，斜率为； (3)经过点，平行于轴； (4)斜率为2，在轴上的截距为1． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由两点式，得直线的方程为， 即． （2）由点斜式，得直线的方程为， 即． （3）由题意知，直线的方程为， 即． （4）由点斜式，得直线的方程为， 即． 【变式6-2】在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 【答案】或 【详解】方程化为， 当时，为增函数， 则，解得， 此时方程为，即； 当时，为减函数， 则，解得， 此时方程为，即； 综上：此直线的一般式方程为或. 故答案为：或. 【变式6-3】直线，的斜率的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，直线的斜率为. 因为，所以当时，或， 由，得， 当即时，直线的斜率为. 因为，所以或， 即或. 所以直线的斜率的取值范围为. 综上所述，直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 重难点七 直线的定点问题 【例13】直线过定点 . 【答案】 【详解】由可得： ， 所以， 解得，所以定点坐标为， 故答案为：. 【例14】（多选）已知点，，直线与线段有交点，则可以为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AD 【详解】因为，即直线过定点，斜率为， 因为，， 如图所示， 所以或，解得：或， 故选：AD. 【变式7-1】已知直线，若直线l不经过第三象限，则k的最大值是 . 【答案】0 【详解】直线的方程可化为， 令，所以， 所以直线过定点，所以， 由直线可得：， 若不经过第三象限，则. 所以的最大值为. 故答案为：0.    【变式7-2】（多选）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（　　） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】ABC 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点，故A选项正确； 又因为：，即恒过定点， 由 和, 满足， 所以, 可得, 故B选项正确； 所以, 故C选项正确； 因为, 设为锐角, 则, ， 所以, 所以当时, 取最大值, 故选项D错误. 故选：ABC. 【变式7-3】已知直线与x轴，y轴的正半轴分别交于两点，O为坐标原点． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）由整理得，， 令，解得，即直线经过定点. 不妨设直线的方程为，则有（*） 由（*）和基本不等式可得，，解得， 当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，的最小值为12； （2）因，由（1）得，， 则，当且仅当时，等号成立， 故当时，取得最小值. 知识点6两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 垂直 平行 且 或 重合 且 重难点八 已知直线的位置关系求参数 【例15】已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，所以， 当且仅当或时等号成立． 即的最小值为4， 故选：B 【例16】已知直线：，：.若，则实数（    ） A．0或 B．0 C． D．或2 【答案】B 【详解】由题意得，解得或， 当时，直线：，：，满足， 当时，直线：，：，两直线重合，不合要求，舍去， 综上，. 故选：B 【变式8-1】已知直线，，，则“”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】解：直线，， 若，则，解得：或 当时，与重合，故“” “”， 故“”的必要不充分条件是“或”， 故选：C． 【变式8-2】已知两条直线，，，判断两直线的位置关系． 【答案】答案见解析. 【详解】令，解得，所以当时，与相交； 当时，与互相垂直； 令，解得； 当时，的方程为，的方程为，与重合； 当时，的方程为，的方程为，此时； 所以当时，与相交，其中时，与互相垂直；当时，与重合；当时，． 【变式8-3】在中，设a、b、c分别是角A、B、C所对边的边长，求直线与直线的夹角． 【答案】 【详解】由正弦定理得， 因为直线，直线， 所以，则两直线垂直，即两直线的夹角为． 重难点九 已知直线的位置关系求直线方程 【例17】已知两点，，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 则线段AB的垂直平分线的斜率为，又A，B两点的中点为， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即. 故选：B. 【例18】已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 【变式9-1】已知直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为 ． 【答案】或 【详解】由题意不妨设直线与直线的斜率分别为， 所以由题意可知，， 所以， 因为所求直线过点， 所以由直线的点斜式方程可知直线的方程为：， 化简并整理得或. 故答案为：或. 【变式9-2】已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 【变式9-3】直线上一点的横坐标是3，若该直线绕点逆时针旋转90°得到直线，求直线的方程． 【答案】 【详解】令，则，解得，所以，且直线的斜率， 因为直线l是由直线绕点逆时针旋转90°得到， 所以直线l过点，且斜率为， 所以直线l的直线方程为，即. 一、单选题 1．设直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为：，所以， 因为，且，所以 由解得. 故选：B 2．过点且与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可设所求直线方程为， 因为在该直线上， 所以，得， 故该直线方程为， 故选：C 3．已知直线的图象如图，则（ ） A．若，则， B．若，则， C．若，则， D．若，则， 【答案】C 【详解】易知，由直线，可得， 根据图象可得，， 若，则，； 若，则，． 故选：C 4．已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】令，得；令,得． 故与坐标轴围成的三角形的面积为，解得. 故选：B 5．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线恒过定点，如图. 又因为，，所以直线的斜率k的范围为. 故选：C. 6．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 二、多选题 7．下列结论不正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．如果，那么直线不经过第三象限 C．过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 D．直线恒过定点 【答案】BC 【详解】A选项，直线中，令得，， 故直线在轴上的截距为，A正确； B选项，不妨设，满足条件，此时直线方程为， 经过第一、二、三象限，故B错误； C选项，当在轴、轴上截距均为0时，设直线方程为， 将代入，故，解得， 故此时直线方程为， 当在轴、轴上截距不为0时，设直线方程为， 将代入得，，解得，此时直线方程为， 故过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为或，C错误； D选项，直线变形为，故直线恒过定点，D正确. 故选：BC 8．过点，且横纵截距的绝对值相等的直线可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】当直线过原点时，其横纵截距的绝对值相等，则直线方程为，即； 当直线不过原点时，由直线的横纵截距的绝对值相等，设直线方程为或， 于是或，解得或，方程为或， 所以所求方程为或或. 故选：ABC 三、填空题 9．对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【答案】 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 10．直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则l的方程为 . 【答案】 【详解】直线的倾斜角为，，则，， 直线的倾斜角为，，直线过点， 故直线方程为，即. 故答案为：. 11．某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米．若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积（单位：平方米）的最大值为 ．    【答案】 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，娱乐健身区域为矩形．    由题可知，直线的方程为，直线的方程为． 设，其中，则，， 则，， 四边形的面积． 当时，取得最大值． 故答案为： 四、解答题 12．直线过点，且在两坐标轴上的截距之积为6，求直线的方程． 【答案】或. 【详解】设直线的方程为， 由已知得.① 又直线过点，∴.② 由①②解得或， 故直线l的方程为或. 即或. 13．已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过点引直线交坐标轴正半轴于两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由可得：， 令， 所以直线过定点． （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，设直线与轴，轴正半轴交点为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 14．已知的三个顶点分别为．求： (1)边中线所在的直线方程； (2)的平分线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知的三个顶点分别为， 所以中点为，而， 所以中线方程为． （2）， 所以， 所以为钝角，且， 设的平分线与轴的交点为， 则， 即的平分线所在的直线的倾斜角为， ， 解得（负根舍去）， 所以， 所以的平分线的直线方程为， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$