4.2一次函数与正比例函数教学设计 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

4.2《一次函数与正比例函数》教学设计 教材分析 《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级上册第四章第二节的内容，本节内容安排了1个课时.在学生掌握了变量之间的关系、函数概念的基础上继续学习本节内容.一次函数是初中阶段研究的较为简单、应用较为广泛的函数，它的研究方法具有一般性和代表性，为后面二次函数、反比例函数的学习奠定了基础，起着承上启下的作用.同时，在整个初中阶段，一元一次方程、一元一次不等式都存在于一次函数中，三者相互依存，紧密联系.函数也为方程、不等式的解法提供了新的途径.与原传统教材相比，新教材更注重学科素养的形成，借助生活中的实际背景，让学生通过一般规律的探究过程来理解一次函数和正比例函数的概念.本节的重点是从具体情境中列出相应的一次函数表达式，从而抽象出一次函数的概念.本节中，列式可能是学生学习的一个难点，教学时应选择学生比较熟悉的情境，便于学生从情境中直接列出相应的代数表达式 教学目标： （1）掌握一次函数和正比例函数的定义,理解它们之间的关系. （2）能写出实际问题中一次函数与正比例函数的表达式. 教学重难点： 重点：一次函数和正比例函数的概念,会根据所给条件写出一次函数表达式. 难点：一次函数知识的应用.教法：探究式教学法.学法：自主探究与合作交流相结合的方法. 教具准备：多媒体课件 教学过程： 第一环节：复习引入回顾与思考： （1）什么是函数？ 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. （2）函数有哪些表示方式？ 函数的表示方法有:图象法、表格法、关系式法 （3）在现实生活中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子呢？ 意图：为了激发学生的求知欲望,吸引同学们的注意力,这里采用了“复习旧知识,诱导新内容”的引入方法. 问题(1)(2)复习上节课的内容,问题(3)是让学生把所学知识运用于实际生活,提高学生的运用意识. 效果： 问题(1)(2)学生都能快而准的回答,问题 (3)是在一个开放的环境中回答,学生不能很准确的表述出来,可让学生互相补充,也可教师进行补充、完善.通过学生亲身经历感受函数在生活中的运用过程,初步形成数学建模的思想,感受成功的喜悦. 第二环节：新课讲述 问题一：某弹簧的自然长度为3cm,在弹簧限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.(1)计算所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度,并填入下表: x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2)你能写出弹簧悬挂物体后伸长的长度吗？ (3)你能写出x与y之间的关系式吗？ 答案 (1)3、3.5、4、4.5、5、5.5； (2)0.5x (3)y=3+0.5x或者y=0.5x+3 问题二：某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶100km耗油12L. (1)完成下表: 汽车行驶路程x/km 0 1 100 200 300 400 耗油量/L (2)你能用含x的代数式表式耗油量吗？ (3)你能写出油箱剩余油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ 答案 (1)0、0.12、12、24、36、48； （2）0.12x （3）y与x之间的关系式为y=60-0.12x；或者y=-0.12x＋60 问题三：停电前冰箱内的温度为-25°C，通电后每经1h，冰箱内的温度将上升1.5°C. (1)完成下表: 停电时间x(h) 0 1 2 3 4 5 停电后上升的温度(°C) (2)用x的代数式写出停电xh后上升的温度. (3)你能写出冰箱内的温度y(°C)与停电时间x(h)之间的关系式吗？ 答案 (1)0、1.5、3、4.5、6、7.5 (2)1.5x (3)y=-25+1.5x或者y=1.5x-25 通过观察、探索、总结,归纳出一次函数与正比例函数的概念:一般地,若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b (,kb为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x是自变量,y为因变量).特别地,当b=0时,则y是x的正比例函数. 意图：从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的余油量、冰箱内的温度)出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象出一次函数和正比例函数的概念. 效果：从三个具体问题的函数表达式出发,互相讨论,教师在教学上恰当地设疑立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力.主要从函数解析式这一角度去研究一次函数,这是学生第一次正式接触函数的表达式,教学中可根据学生状况多加一些例子,让学生逐步学会从函数表达式去认识函数,进一步掌握一次函数的定义. 第三环节：典例释析讲练结合 例1：写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断:y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时间x(小时)之间的关系； (2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系； (3)某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h, xh后这个水池有水ym3. 解： （1）由路程=速度×时间，得y=60xy是x的一次函数,也x是的正比例函数. （2）由圆的面积公式得y=πx2，y不是x的一次函数,也不是x的正比例函数. （3）这个水池每小时增加5m3水,xh增加5xm3水,因而y=15+5x，y是x的一次函数,但不是x的正比例函数. 意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思维能力.充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展. 效果：根据已知条件写出简单的一次函数的表达式,教学时,学生会出现一定的差异,此时,要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而不能是简单的“告诉”.另外,在教学上还必须注意培养学生的书面表达能力,这些都是逻辑思维训练的一部分.相信你能行： 1、下列函数 ①y=2x-1 ②y=πx ③y= ④y=x2中，一次函数的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 2、下列y关于x的函数中,是正比例函数的为（） A. y=x2 B. y= C. y= D. y= 答案:1、B 2、C. 例2：已知函数y=(m－1)x＋1－3m. （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）当m为何值时,y是x的正比例函数？ 解：（1）根据一次函数的定义可得： m－1≠0,所以m≠1， 答：当m≠1时,y是x的一次函数. （2）根据正比例函数的定义可得：m－1≠0且1－3m=0,所以m=， 答：当m=时,y是x的正比例函数. 相信你能行： 1、下列说法中正确的是(D) A．一次函数是正比例函数 B．正比例函数不是一次函数 C．不是正比例函数就不是一次函数 D．不是一次函数就不是正比例函数 2、若函数y＝(6＋3m)x＋n－4是一次函数，则满足m≠2；若该函数是正比例函数，则满足m≠2且n=4； 例3：我国自2019年1月1日起,居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是：每次收入不超过800元的,预扣预缴税款为0；每次收入超过800元旦不超过4000元的，预扣预缴税款=（每次收入-800）×20%；......如某人取得劳务报酬2000元,他这笔所得应预扣预缴税款（2000-800)×20%=240（元）. （1）当每次收入超过800元但不超过4000元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款y（元）与每次收入x（元）之间的关系式； （2）某人某次取得劳务报酬3500元,他这笔所得应预扣预交款多少元？ （3）如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税600元,那么此人这次取得的劳务报酬是多少元？ 解：（1）当每次收入超过800元但不超过4000元时,y=(x-800)×20％,即y=0.2x-160（800<x≤4000）; 答：预扣预缴税款y与每次收入x之间的关系式为：y=0.2x-160（800<x≤4000） (2)当x=3500时,y=0.2×3500-160=540(元), 答：他这笔所得应预扣预交款540元. (3)因为（4000-800)×20%=640（元）,600<640,所以此人这次取得的劳务报酬不超过4000元.设此人这次取得的劳务报酬是x元，则600=0.2x-160,解得x=3800, 答:此人这次取得的劳务报酬是3800元. 第四环节:课堂小结 一般地,形如y=kx+b(k、b为常数,k≠0)的函数叫做一次函数,其中x是自变量.当b=0时y=kx(k为常数且k≠0),y叫做x的正比例函数.正比例函数是特殊的一次函数,一次函数包括正比例函数；判断一个函数是否是一次函数,必须将其化成最简形式. 意图：鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识. 效果：学生畅所欲言自己对本节课的感受与收获,都能准确的说出一次函数与正比例函数的概念.但学生容易忽略一次函数与实际生活的联系,教师应做适当补充. 第五环节：布置作业 必做题：习题4.2：第1-4 选做题：习题4.2：第5题 第六环节：反馈矫正（导学案） 板书设计 1、新课导入 2、一次函数，正比例函数的概念y=kx+b(k、b为常数,k≠0) y=kx(k为常数,k≠0) 3、典例释析 4、巩固练习本课总结 学科网（北京）股份有限公司 $$