精品解析：2023-2024学年人教版七年级下册期末质量检测试题

七年下期末质量检测试卷 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列运算中，正确是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，由下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，已知x轴上一点P到y轴的距离是2，则点P的坐标是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 已知方程组，则值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 5. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A. B. C. D. 6. 如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点P在x轴下方，且点P到x轴的距离是7，到y轴距离是8，则点P坐标是______． 8. 下列命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的是__________．（填序号） 9. 已知二元一次方程与二元一次方程有相同的解，则______ 10. 某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是________米． 11. 已知关于x不等式的解集与的解集相同，则a的值是____． 12. “永不言弃”的英语翻译是，短语中“e”出现的频率为________． 13. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是___. 14. 如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为______． 三、填空题（每小题5分，共20分） 15. 计算： 16. 已知二元一次方程：（1），（2），（3），请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解． 17. 如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若于点，，求的度数． 18. 解不等式组：．并写出该不等式组的最小整数解． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 宁阳大枣以果实硕大、果肉肥厚、细腻扯丝、营养丰富、风味浓郁而驰名中外，素有“天然维生素丸”之称，宁阳某特产品商店购进，两种不同包装的大枣共件，总费用为元，这两种包装大枣的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） （1）该特产品店购进，两种包装的大枣各多少件？ （2）来自外地王先生打算购买，两种包装的大枣各件，现在有特产品店在做活动，甲商店打“九折”销售，乙商店总价“满元减元”，请问王先生会选择到哪个商店买更优惠？说明理由． 20. 如图，在正方形网格中，的三个顶点和点D都在格点上（正方形网格的交点称为格点），点A，B，C的坐标分别为，，，平移使点A平移到点D，点B，C的对应点分别是点E、F． （1）请画出平移后的，并直接写出点E，F的坐标； （2）是内部一点，在上述平移条件下得到点P，请直接写出点P的坐标． （3）求的面积． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，且，，求的度数． 22. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①；②；③中，不等式的“云不等式”是______；（填序号） （2）若关于x的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 华师一附中开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中，你最喜爱哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数是______，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，教师部分的圆心角的度数是______． （3）若华师一附中共有4500名学生，请你估计该中学最喜爱教师和医生职业的学生有多少名？ 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，若点满足，我们就称点为“完美点”，若点满足，我们就称点为“漂亮点”． （1）若点是完美点，点是漂亮点，则________，________． （2）若在（1）条件下，第二象限内有一点，请求出三角形的面积（用含的式子表示）． （3）在上述情况下，若点坐标为，则在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25. 如图，，两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地的2倍，这家厂从地购买原料，制成食品卖到地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：地→食品厂；第二次：食品厂→地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元． （1）这家食品厂到地的距离是多少公里？ （2）此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？ （3）这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1079750元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费） 26. 已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七年下期末质量检测试卷 数学（人教版） 一、选择题（每小题2分，共12分） 1. 下列运算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解:A．∵，选项的计算不正确，不符合题意； B．∵，选项计算不正确，不符合题意； C．∵，选项计算正确，符合题意； D．∵，选项的计算不正确，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，由下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，本选项不符合题意； B、，，本选项不符合题意； C、，，本选项不符合题意； D、，，不能判定，符合题意， 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，已知x轴上一点P到y轴的距离是2，则点P的坐标是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，确定出P的横坐标是解题的关键．根据P的位置，结合题意确定出P坐标即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，x轴上一点P到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标是或2，纵坐标是0， ∴点P的坐标是或． 故选：D． 4. 已知方程组，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法，正确计算是解题关键．将方程组①②，然后化简求解． 【详解】解：对于方程组， 由①②，可得， 整理可得． 故选：C． 5. 若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴不等式组的解集为：， ∴ 解得：，则符合条件的所有整数的和为 故选：D． 6. 如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为a，b，c，且，则阴影部分周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和，再列式计算解答． 【详解】解：将阴影部分水平的边通过平移可得水平边之和为：2（a＋b）， 将阴影部分竖直的边通过平移可得竖直边之和为：2（a＋c－b）， ∴阴影部分的周长为：2（a＋b）＋2（a＋c−b）＝2a＋2b＋2a＋2c−2b＝4a＋2c， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平移的性质，整式的加减，根据平移的性质求出水平边之和及竖直边之和是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 点P在x轴下方，且点P到x轴的距离是7，到y轴距离是8，则点P坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．根据在x轴下方即第三或第四象限内点的坐标特征即可解答． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为7， ∴点P的纵坐标为：， ∵点P到y轴的距离为8， ∴点P横坐标为：， ∵点P在x轴下方， ∴点P的坐标为：或． 故答案为：或． 8. 下列命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③两个锐角的和是钝角；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．是真命题的是__________．（填序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查对顶角的定义，平行线的性质，点、线之间的关系，解答的关键在于熟练掌握各种概念公理． 根据概念定理进行判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，此命题是真命题； ②两直线平行，同位角相等，此命题是假命题； ③两个锐角的和不一定是钝角，比如，是直角，此选项是假命题； ④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题； ∴是真命题的是：①④． 故答案为：①④． 9. 已知二元一次方程与二元一次方程有相同的解，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法以及解的定义．联立方程组，解得和的值，再代入中，即可求出答案． 【详解】解：关于，的二元一次方程与二元一次方程有相同的解， 联立方程组， 解得， 将代入中， 即， 故答案为：3． 10. 某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设上坡路的长度为，平路长，然后根据时间路程速度结合已知条件列出方程组求解即可． 【详解】解：设上坡路的长度为，平路长， 由题意得， ， 解得， ∴上坡路的长度为，平路长， ∴该同学家到学校全程是， 故答案为：． 11. 已知关于x的不等式的解集与的解集相同，则a的值是____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了求解一元一次不等式的解，解一元一次方程，先分别解不等式与根据不等式与的解集完全相同，建立关于a的方程求解即可得到a的值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：14． 12. “永不言弃”的英语翻译是，短语中“e”出现的频率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了频率的计算方法，记住频率=频数总数是解答此题的关键．根据频数、频率的定义即可得出答案． 【详解】在11个字母中，“e”出现了3次，即频数3，频率为． 故答案为：． 13. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是___. 【答案】15，30，45，75，105，135，150，165． 【解析】 【分析】要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算． 【详解】分10种情况讨论： 解：（1）如图所示，当 时， ； （2）如图所示，当 时， ； （3）如图所示，当 时， ； （4）如图所示，当 时， ； （5）如图所示，当 时， ； （6）如图所示，当 时， ． （7）DC边与AB边平行时α=60°+90°=150° （8）DC边与AB边平行时α=180°-60°-90°=30°， （9）DC边与AO边平行时α=180°-60°-90°+45°=75°． （10）DC边与AO边平行时α=90°+15°=105° 故答案为15，30，45，75，105，135，150，165． 【点睛】此题考查旋转的性质．解题关键在于掌握旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 14. 如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现是解题的关键． 根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：根据所给翻滚方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …， 由此可见，每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现， 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 三、填空题（每小题5分，共20分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， ． 16. 已知二元一次方程：（1），（2），（3），请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解． 【答案】选择（1）和（2），，方程组的解是 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．注意组成方程组后，选择适宜的解题方法． 【详解】选择（1）和（2），则， 由，得， 把代入②，得， 即， ∴方程组的解是． 17. 如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． （1）求证：； （2）若于点，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）由对顶角相等得出，可得到，根据平行线的性质，可得； （2）根据平行线的性质可得出，由可得出，即可得到的度数． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 18. 解不等式组：．并写出该不等式组的最小整数解． 【答案】原不等式组的解集是：，最小整数解是： 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求出最小整数解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 原不等式组的解集是：． 该不等式组的最小整数解是：． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 宁阳大枣以果实硕大、果肉肥厚、细腻扯丝、营养丰富、风味浓郁而驰名中外，素有“天然维生素丸”之称，宁阳某特产品商店购进，两种不同包装的大枣共件，总费用为元，这两种包装大枣的进价、售价如表： 包装 包装 进价（元/件） 售价（元/件） （1）该特产品店购进，两种包装的大枣各多少件？ （2）来自外地的王先生打算购买，两种包装的大枣各件，现在有特产品店在做活动，甲商店打“九折”销售，乙商店总价“满元减元”，请问王先生会选择到哪个商店买更优惠？说明理由． 【答案】（1）该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件 （2）到乙商店买更优惠，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组应用、有理数混合运算的实际应用， （1）该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件，根据“购进，两种不同包装的大枣共件，总费用为元”建立关于、的二元一次方程组，求解可得答案； （2）分别求出王先生分别在甲、乙商店购买所需的费用，再比较即可得出结论； 解题的关键是正确理解题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组并求解． 【小问1详解】 解：该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件， 依题意，得：， 解得：， 答：该特产品店购进种包装的大枣件，购进种包装的大枣件； 【小问2详解】 王先生会选择到乙商店买更优惠． 理由： 如果王先生在甲商店购买，则所需费用： （元）， 如果王先生甲商店购买，则所需费用： （元）， ∵ ∴王先生会选择到乙商店买更优惠． 20. 如图，在正方形网格中，的三个顶点和点D都在格点上（正方形网格的交点称为格点），点A，B，C的坐标分别为，，，平移使点A平移到点D，点B，C的对应点分别是点E、F． （1）请画出平移后的，并直接写出点E，F的坐标； （2）是内部一点，在上述平移条件下得到点P，请直接写出点P的坐标． （3）求的面积． 【答案】（1）画图见解析，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中的平移，三角形的面积，熟练掌握坐标平移的方法和求坐标系中三角形的方法是解题关键． （1）得出点坐标，根据点和点坐标得出平移方法，即可解决； （2）利用（1）中的平移方法即可解决； （3）利用割补法补全成正方形，再减去其余三角形面积即可． 【小问1详解】 解：由图可得， 点到点横坐标加6，纵坐标减2， 可知是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度， 如图： 由图可知，； 【小问2详解】 ∵是向右平移6个单位长度，向下平移2个单位长度得到， ∴的对应点为； 【小问3详解】 利用割补法得． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，且，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定的应用； （1）求出，推出，求出，得出，根据平行线性质求出即可； （2）求出，根据平行线性质求出，求出，根据平行线性质求出即可． 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 22. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”． （1）在不等式：①；②；③中，不等式的“云不等式”是______；（填序号） （2）若关于x不等式不是的“云不等式”，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组）， （1）分别解三个不等式，根据云不等式的定义即可求解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据题意可得，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：①，解得：；②；③，解得：， ∴的“云不等式”是②③ 故答案为：②③； 【小问2详解】 解不等式，可得， 解不等式，得， 关于的不等式不是的“云不等式”， ， 解得， 故的取值范围是． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 华师一附中开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中，你最喜爱哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数是______，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，教师部分的圆心角的度数是______． （3）若华师一附中共有4500名学生，请你估计该中学最喜爱教师和医生职业的学生有多少名？ 【答案】（1）9，补全条形统计图见解析 （2） （3）估计该中学最喜爱教师和医生职业学生有1350人 【解析】 【分析】（1）用条形图中演员的数量结合扇形图中演员的百分比可以求出总调查学生数；用总调查数减去其他几个职业类别就可以得到最喜爱教师职业的人数； （2）利用调查学生中最喜爱律师职业的学生百分比可求出该中学中的相应人数； （3）利用样本所占的的百分比乘以全体的人数即可解题． 本题考查的是扇形统计图和条形统计图，由样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，从统计图中得到必要的信息． 【小问1详解】 ∵被调查的总人数为人， ∴最喜爱教师职业的人数是人， 补全图形如下： 故答案为：9； 【小问2详解】 扇形统计图中，教师部分的圆心角的度数是， 故答案为：； 【小问3详解】 估计该中学最喜爱教师和医生职业的学生有人． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，若点满足，我们就称点为“完美点”，若点满足，我们就称点为“漂亮点”． （1）若点是完美点，点是漂亮点，则________，________． （2）若在（1）条件下，第二象限内有一点，请求出三角形的面积（用含的式子表示）． （3）在上述情况下，若点的坐标为，则在轴上是否存在点，使得三角形的面积是三角形的面积的？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，三角形面积，解一元一次方程． （1）根据“完美点”，“漂亮点”的定义求解即可； （2）根据坐标的特点，由，即可解答； （3）根据题意结合（2）中，得到，则，设点D的坐标为，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：点是完美点，点是漂亮点， ， ； 【小问2详解】 解：，且 ， ； 【小问3详解】 解：存在， ，点的坐标为， ， ， 设点D的坐标为， ， ， ， 点的坐标为或． 六、解答题 （每小题10分，共20分） 25. 如图，，两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到地的距离是到地的2倍，这家厂从地购买原料，制成食品卖到地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：地→食品厂；第二次：食品厂→地）共支付公路运费15600元，铁路运费20600元． （1）这家食品厂到地的距离是多少公里？ （2）此次购进了多少吨原料？制成了多少吨食品？ （3）这家食品厂准备再新进一批原料，加工成食品后全部卖出，已知买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，保持原料产出食品的效率不变，如果希望获得利润不少于1079750元，则至少要购进多少吨原料？（注：利润＝销售款－原料费－运输费） 【答案】（1）设这家食品工厂到A地距离50公里 （2）此次购进了220吨原料，制成了食品200吨 （3）该厂至少购进275吨原料 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）设这家食品工厂到A地距离x公里，再根据铁路路程为100公里列方程即可； （2）设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨．根据“共支付公路运费15600元，铁路运费20600元．”，列方程组，再解方程组即可； （3）求解该厂原料产出食品的效率：原料：食品，设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品．利用“获得利润不少于1079750元，”再列不等式即可． 【小问1详解】 解：设这家食品工厂到A地距离x公里． 依题意得． 解得． 答；设这家食品工厂到A地距离50公里 【小问2详解】 设此次购进了m吨原料，制成了食品n吨． 依题意得 解得． 答：此次购进了220吨原料，制成了食品200吨． 【小问3详解】 该厂原料产出食品的效率：原料：食品， 设该厂购进11a吨原料，产出10a吨食品． 解得，则， 答，该厂至少购进275吨原料． 26. 已知：如图，，直线交于点M，交于点N，点E是线段上一点，P，Q分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，当时，直接写出的度数； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（1）问的条件下，若，过点P作交的延长线于点H，将绕点N顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时将绕点P逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当首次与重合时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，恰好平行于的其中一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）0或3或6或12或15 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （2）同（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，得出，，进而得出结论； （3）分情况讨论，画出图形，利用平行线的性质，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，即， ∴ ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点E作，过点F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 即； 【小问3详解】 解：总的时间为：，， 则旋转的角度范围为，直线旋转的角度范围为， 由（1）得：，则， ∵， ∴， ∴， 当时，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，如图： 则， ∵，， ∴， 解得：； 当时，设与交于点G，如图： 则， ，， 依题意得， 解得：； 当时，设与交于点I，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 当时，连接并延长，如图： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：； 综上，所有满足条件的t的值为0或3或6或12或15． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的有关计算、解一元一次方程、余角性质、垂直的定义，掌握平行线的性质、三角形外角性质列出方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$