新课预习衔接：数学广角——优化 （讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

数学广角——优化 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 2024年9月 目录导航 资料说明 第一部分：思维导图：单元知识简单且高效的发散性思维呈现，是一种实用性的知识小结。 第二部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第三部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第四部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第五部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 思维导图 第二部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【数字问题知识点归纳】 1．数字问题的主要题型： 数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大．通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少． 2．核心知识 （1）数字的拆分 是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等． （2）数字的排列与位数关系 解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解． 【排队论问题知识点归纳】 1．排队论问题解决方法： 要使等候时间最短，应该从等候时间较少的事情做起． 【烙饼问题知识点归纳】 1．烙饼问题公式： 总时间＝饼数×2÷每锅的可烙的数量×烙每面的时间 当时间算出来不为整数时，采用进一法取近似数．如饼数为4，每一锅的只数为3时，根据公式，4×2÷3×1约＝3分 2．深层意义： 烙饼问题只是一种数学思考的方法．其实这种合理安排时间的问题，就是“优化问题”，也是被数学家华罗庚称作“运筹安排”的问题． 【沏茶问题知识点归纳】 【田忌赛马问题知识点归纳】 1．田忌赛马： 田忌赛马说的是田忌和别人赛马的故事，大概如下：用自己的劣等马对决对手的优等马用自己的优等马对决对手的中等马用自己的中等马对决对手的劣等马这个故事告诉我们一个道理，从管理学角度叫“策划和决策”，策划计划的重要性． 2．深层意义： 通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养应用意识，提高解决实际问题的能力．只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用． 3．应用举例： 一位镇长想起了田忌赛马的故事．不与强者争一时的长短，而是依据自己的实际，错开优势，以长击短，因此取胜．联想到招商引资，如果也能注意扬长避短，制造“错位”优势，可能还是打破僵局、走向成功的一个高招． 第三部分 典型例题 例题1：妈妈准备烤鱼。烤炉上每次最多只能放两条鱼，鱼的两面都要烤，每面需要2分钟。如果爸爸、妈妈和小明各吃一条，至少需要多长时间烤好？ 方案①：一条一条地烤，烤好一条需要 　4　分钟，烤好3条需要 　12　分钟。 方案②：先同时烤好两条，再烤第三条，一共需要 　8　分钟。 方案③：你有更好的方法吗？请在下面的表格中表示出来。 1号鱼 2号鱼 3号鱼 第一次 第二次 第三次 因此，烤好3条鱼至少需要 　6　分钟。 【考点】烙饼问题． 【答案】方案①：4；12； 方案②：8； 方案③： 1号鱼 2号鱼 3号鱼 第一次 正 正 第二次 反 正 第三次 反 反 6。 【分析】因为鱼的两面都要烤，每面需要2分钟，所以将鱼烤熟需要烤2+2＝4分钟， 方案①：一条一条地烤，一条鱼需要4分钟，3条需要3×4＝12分钟； 方案②：先同时烤两条，因为烤炉上每次最多只能放两条鱼，所以还是需要4分钟，再烤剩下的1条，需要4分钟，一共需要4+4＝8分钟； 方案③：第一次先考1号鱼和2号鱼的正面，需要2分钟，第二次烤1号鱼反面和3号鱼的正面，需要2分钟，第三次烤2号鱼的反面和3号鱼的反面，需要2分钟，所以需要2+2+2＝6分钟，按要求在表格中表示出来即可。 【解答】解：2+2＝4（分钟） 3×4＝12（分钟） 方案①：一条一条地烤，烤好一条需要4分钟，烤好3条需要12分钟。 4+4＝8（分钟） 方案②：先同时烤好两条，再烤第三条，一共需要8分钟。 方案③： 1号鱼 2号鱼 3号鱼 第一次 正 正 第二次 反 正 第三次 反 反 2+2+2＝6（分钟） 因此，烤好3条鱼至少需要6分钟，比以上两种方案所用时间少。 故答案为：4，12；8；6。 【点评】此题考查烙饼问题的应用。 例题2：明明家后面有一排树。从第12棵树数到第19棵，一共数了几棵树？ 知道了什么？从第 　12　棵开始数，数到第 　19　棵。 怎样解答？让我画一画：　〇〇〇〇〇〇〇〇　 解答正确吗？数了 　8　棵树。 【考点】排队论问题． 【答案】12；19；〇〇〇〇〇〇〇〇；8。 【分析】用第19棵数减去第12棵数加1即可计算棵数。 【解答】解：由题意可知：从第12棵数开始数，数到第19棵，画图如下： （第12棵树）〇〇〇〇〇〇〇〇（第19棵树） 19﹣12+1＝8（棵） 答：数了8棵数。 故答案为：12；19；〇〇〇〇〇〇〇〇；8。 【点评】本题考查了简单的排队问题的应用。 第四部分 高频真题 1．妙想的妈妈做一道晚餐的工序有：淘米（1分钟）、电饭锅煮饭（15分钟）、洗菜（5分钟）、切菜（4分钟）、炒菜（10分钟），做这道晚餐至少需要（　　）分钟。 A．15 B．20 C．35 2．同学们排队做操，小东前面有8人，后面也有8人。这一列一共有（　　）人。 A．16 B．17 C．24 3．奇奇和妙妙坐同一辆火车去旅游。奇奇在5号车厢，妙妙在21号车厢，他们之间隔了（　　）节车厢。 A．17 B．16 C．15 4．同学们排队去春游，小力发现他前面有32人，后面有30人．请你帮他算一算，他这一队一共有（　　） A．62人 B．63人 C．64人 D．65人 5．小朋友们排成一排做游戏，从左数小强是第8，从右数他是第9，则这些小朋友共有（　　）人。 A．8 B．15 C．16 6．有三位小朋友要玩跷跷板，每人要玩2次，每次要3分钟，他们至少要用（　　）分钟才能玩完。 A．9 B．6 C．12 7．从1写到100，一共写了（　　）个8。 A．19 B．20 C．22 8．小朋友排队，从前数，小小是第4个人，从后数，她是第3个人，这一队共有（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 9．王老师要复印7张文字资料，正反面都要复印，如果复印机只能单面复印，且一次最多可放两张，如果复印一次需要10秒钟，那么最少要复印 　 　次才能印完，最少需要 　 　秒钟。 10．10个小朋友排成一排，从左边数，小红排在第2位，从右边数，小明排在第2位，小红和小明之间有 　 　个小朋友。 11．妈妈下班回家做家务，用洗衣机洗衣服需要20分钟，扫地需要8分钟，整理桌子需要2分钟，晾衣服需要5分钟。妈妈做完这些事情最少要用 　 　分钟。 12．李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要 　 　分钟。 13．17个小朋友排成一队做操，小明的前面有9人，后面有 　 　人。 14． （1）图中一共有 　 　位同学：从左边数起，小明排第 　 　；从右边数起，小红排第 　 　，小明和小红之间有 　 　人。 （2）先把左边3位同学圈出来，再把从右边数第3位同学圈出来。 15．一（1）班小朋友排队去春游，第一组队伍从前面数起，小东排第8个，从后面数起，他排在第4个，这组一共有多少人？ 小提示：先画一画，再列式计算。 16．一共有多少人？ 参考答案与试题解析 1．妙想的妈妈做一道晚餐的工序有：淘米（1分钟）、电饭锅煮饭（15分钟）、洗菜（5分钟）、切菜（4分钟）、炒菜（10分钟），做这道晚餐至少需要（　　）分钟。 A．15 B．20 C．35 【考点】沏茶问题． 【答案】B 【分析】淘米1分钟后，开始煮饭，此时同时进行洗菜、切菜、炒菜。由于洗菜、切菜和炒菜的总时间5+4+10＝19（分钟）大于煮饭时间（15分钟），所以做这道晚餐至少需要的时间为淘米时间加上洗菜、切菜、炒菜的总时间；据此解答。 【解答】解：1+19＝20（分钟） 答：做这道晚餐至少需要20分钟。 故选：B。 【点评】此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答。 2．同学们排队做操，小东前面有8人，后面也有8人。这一列一共有（　　）人。 A．16 B．17 C．24 【考点】排队论问题． 【答案】B 【分析】用小东前面的人数加上后面的人数，再加上小东1人，求出总人数。 【解答】解：8+8+1 ＝16+1 ＝17（人） 答：这一列一共有17人。 故选：B。 【点评】本题主要考查排队论问题，关键是不要忘记小东一人。 3．奇奇和妙妙坐同一辆火车去旅游。奇奇在5号车厢，妙妙在21号车厢，他们之间隔了（　　）节车厢。 A．17 B．16 C．15 【考点】排队论问题． 【答案】C 【分析】包含妙妙的车厢在内，奇奇和妙妙之间一共有21﹣5＝16（节）车厢，所以减去妙妙所在的车厢，奇奇和妙妙之间隔了16﹣1＝15（节）车厢。 【解答】解：21﹣5＝16（节） 16﹣1＝15（节） 答：他们之间隔了15节车厢。 故选：C。 【点评】这是一道关于减法的应用题，需要理解题目中的实际情景，然后运用减法求解。 4．同学们排队去春游，小力发现他前面有32人，后面有30人．请你帮他算一算，他这一队一共有（　　） A．62人 B．63人 C．64人 D．65人 【考点】排队论问题． 【答案】B 【分析】小力前面有32人，后面有30人，将前后的人数相加，再加上他自己就是总人数。 【解答】解：32+30+1 ＝62+1 ＝63（人） 答：他这一队一共有63人。 故选：B。 【点评】本题主要考查了排队问题，注意不要漏掉小力自身。 5．小朋友们排成一排做游戏，从左数小强是第8，从右数他是第9，则这些小朋友共有（　　）人。 A．8 B．15 C．16 【考点】排队论问题． 【答案】C 【分析】从左数小强是第8，从右数他是第9，由于小强多算了一次，所以总人数应该为8加9减1。 【解答】解：8+9﹣1＝17﹣1＝16（人） 故选：C。 【点评】本题是一道有关20以内数的进位加法和不退位减法的题目，侧重考查知识点的理解能力。 6．有三位小朋友要玩跷跷板，每人要玩2次，每次要3分钟，他们至少要用（　　）分钟才能玩完。 A．9 B．6 C．12 【考点】烙饼问题． 【答案】A 【分析】假设3个小朋友分别是甲、乙、丙，三人每人都玩2局，则三个人两两双人玩，只需3次：甲乙、甲丙、乙丙，即可得解。 【解答】解：3×3＝9（分钟） 答：他们至少要用9分钟才能玩完。 故选：A。 【点评】统筹安排时间，要兼顾使事情能够顺利完成，本题关键是理解每人都想玩2局，则合理安排每次的人选。 7．从1写到100，一共写了（　　）个8。 A．19 B．20 C．22 【考点】数字问题． 【答案】B 【分析】本题根据数位进行分析，在1～100中，8在个位出现了10次，十位出现了10次，据此解答即可。 【解答】解：8在个位出现了10次， 在十位出现了10次， 所以在这100个数中，共写了：10+10＝20（个）。 答：一共写了20个8。 故选：B。 【点评】此类数字问题我们也可分段进行分析。 8．小朋友排队，从前数，小小是第4个人，从后数，她是第3个人，这一队共有（　　） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【考点】排队论问题． 【答案】B 【分析】由题意可知，从前数，小小是第4个人，从后数，她是第3个人，而两者相加，小小正好被多加了一次，应减掉1。所以这队人共有：3+4﹣1＝6（人）。 【解答】解：3+4﹣1＝6（人） 答：这一队共有6人。 故选：B。 【点评】这是一个简单的排队问题．做的方法不一，目的是一样的，就是正确地反映实有人数。 9．王老师要复印7张文字资料，正反面都要复印，如果复印机只能单面复印，且一次最多可放两张，如果复印一次需要10秒钟，那么最少要复印 　7　次才能印完，最少需要 　70　秒钟。 【考点】烙饼问题． 【答案】7；70。 【分析】根据烙饼问题公式：至少需要的时间＝饼的张数×2÷每次烙的张数×每次所需时间，则次数＝张数×2÷每次烙的张数。据此解答。 【解答】解：7×2÷2＝7（次） 答：最少要复印7次。 7×2÷2×10＝70（秒） 答：最少需要70秒钟。 故答案为：7；70。 【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。 10．10个小朋友排成一排，从左边数，小红排在第2位，从右边数，小明排在第2位，小红和小明之间有 　6　个小朋友。 【考点】排队论问题；左右． 【答案】6。 【分析】这排小朋友的人数减去小红以及小红左边的人数，再减去小明以及小明右边的人数，即是所求。 【解答】解：10﹣2﹣2＝6（人） 答：小红和小明之间有6个小朋友。 故答案为：6。 【点评】本题考查了简单的排队问题以及10以内的减法计算。 11．妈妈下班回家做家务，用洗衣机洗衣服需要20分钟，扫地需要8分钟，整理桌子需要2分钟，晾衣服需要5分钟。妈妈做完这些事情最少要用 　25　分钟。 【考点】沏茶问题． 【答案】25。 【分析】根据题意，在用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地和整理桌子，加上晾衣服的5分钟即可求解。 【解答】解：根据题意，在用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地和整理桌子，加上晾衣服的5分钟。 20+5＝25（分钟） 答：妈妈做完这些事情最少要用25分钟。 故答案为：25。 【点评】此题属于沏茶问题，奔着既节约时间，又不使每个工序相互矛盾进行设计安排。 12．李阿姨开了一家手抓饼店，如果她每次只能煎2张饼，两面都要煎，每面煎3分钟，那么她煎5张饼至少需要 　15　分钟。 【考点】烙饼问题． 【答案】15。 【分析】根据烙饼问题公式：总时间＝饼数×2÷每锅可烙的数量×烙每面的时间，计算即可。 【解答】解：5×2÷2×3 ＝5×3 ＝15（分钟） 答：她煎5张饼至少需要15分钟。 故答案为：15。 【点评】解决此类问题的方法是使效率最大化，即锅能放满就尽量放满，不做无用功。 13．17个小朋友排成一队做操，小明的前面有9人，后面有 　7　人。 【考点】排队论问题． 【答案】7。 【分析】用小朋友的总人数减去小明前面的人数，再减去小明自己，即可求出小明后面的人数。 【解答】解：17﹣9﹣1 ＝8﹣1 ＝7（人） 答：后面有7人。 故答案为：7。 【点评】本题考查了排队问题，注意：求小明后面有几人时不要忘了减去他自己。 14． （1）图中一共有 　8　位同学：从左边数起，小明排第 　3　；从右边数起，小红排第 　2　，小明和小红之间有 　3　人。 （2）先把左边3位同学圈出来，再把从右边数第3位同学圈出来。 【考点】排队论问题；左右；位置． 【答案】（1）8，3，2，3。 （2） 【分析】（1）根据图示，分清左右数出各位同学的排序，完成填空； （2）分清第几和几个，圈一圈即可。 【解答】解：（1）图中一共有8位同学：从左边数起，小明排第3；从右边数起，小红排第2，小明和小红之间有3人。 （2）如图： 故答案为：8，3，2，3。 【点评】本题主要考查排队论问题，关键分清左右做题。 15．一（1）班小朋友排队去春游，第一组队伍从前面数起，小东排第8个，从后面数起，他排在第4个，这组一共有多少人？ 小提示：先画一画，再列式计算。 □〇□〇□＝□（　　） 【考点】排队论问题． 【答案】，8+4﹣1＝11（人），11人。 【分析】用8加4，其中小东被加了两次，再减去1即可。 【解答】解： 8+4﹣1＝11（人） 答：这组一共有11人。 【点评】本题主要考查了排队论问题，关键是明确小东被加了两次。 16．一共有多少人？ 【考点】排队论问题． 【答案】15人。 【分析】根据题意可得，把“我”前面和后面的人数相加，然后再加上“我”1人即可。 【解答】解：6+8+1 ＝14+1 ＝15（人） 答：一共有15人。 【点评】解答本题关键是确定三部分的人数之间的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $$